Modèle mathématique.

Chapitre N4 : Division euclidienne, division décimale
I) Division euclidienne
Définition : Dans une division euclidienne, il y a quatre entiers : le dividende, le
diviseur, le quotient et le reste tel que :
Dividende = (diviseur × quotient) + reste et reste < diviseur.
Exemple : Effectuer la division euclidienne de 39 par 5.
39 = (5 × 7) + 4 et 4 < 5.
Dividende
Diviseur
39 5
4 7
Reste
Quotient
Effectuer la division euclidienne de 326 par 25.
En 32, combien de fois 25 ?
1 fois 1 × 25 = 25 et 32 – 25 = 7 et on abaisse le 6.
326 25
76 1
En 76, combien de fois 25 ?
3 fois 3 × 25 = 75 et 76 -75 = 1.
326 25
76 13
1
326 = (25 × 13) + 1 et 1 < 25.
Avec la calculatrice : Pour effectuer la division euclidienne de 326 par 5, on tape :
II) Critères de divisibilité
Dans la division euclidienne de 56 par 8, le quotient est 7 et le reste est 0.
On dit que 8 est un diviseur de 56 ou encore que 56 est divisible par 8.
On dit aussi que 56 est un multiple de 8.
Règles :
Un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou 6
ou 8.
Exemple : 34 est divisible par 2 et 35 ne l’est pas.
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux
derniers chiffres est divisible par 4.
Exemple : 124 est divisible par 4, car 24 = 4 × 6 et 126 ne l’est pas, car 26 = 4 × 6 + 2.
Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Exemple : 1025 est divisible par 5 et 3262 ne l’est pas.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est
divisible par 3.
Exemple : 594 est divisible par 3, car 5 + 9 + 4 = 18 et 18 = 3 × 6 et 398 ne l’est pas,
car 3 + 9 + 8 = 20 et 20 = 3 × 6 + 2.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est
divisible par 9.
Exemple : 4932 est divisible par 9, car 4 + 9 + 3 + 2 = 18 et 18 = 9 × 2 et 523 ne l’est
pas, car 5 + 2 + 3 = 10 et 10 = 9 × 1 + 1.
III) Division décimale
Définition : La division décimale permet d’obtenir soit la valeur décimale exacte, soit
une valeur approchée du quotient.
Exemples :
Effectuer la division décimale de 39 par 5.
39 5
40 7,8
0
Le reste est nul. 7,8 est le quotient de 39 par 5. 39 ÷ 5 = 7,8.
Effectuer la division décimale de 4,2 par 7.
4,2 7
42 0,6
0
Le reste est nul. 0,6 est le quotient de 4,2 par 7. 4,2 ÷ 7 = 0,6.
Effectuer la division décimale de 7 par 3.
7 3
10 2,33
10
1
Le reste n’est pas nul. 2,33 est une valeur approchée au dixième du quotient de 7 par 3.
7 ÷ 3 ≈ 2,33.
IV) Division par 10, 100, 1000…
Propriété : Diviser par 10, 100, 1000, c’est multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.
Exemples :
357 ÷ 10 = 35,7
357 ÷ 100 = 3,57
357 ÷ 1000 = 0,357
357 × 0,1 = 35,7.
357 × 0,01 = 3,57.
357 × 0,01 = 0,357.
80 ÷ 10 = 8
8 ÷ 10 = 0,8
0,8 ÷ 10 = 0,08
80 × 0,1 = 8.
8 × 0,1 = 0,8.
0,8 × 0,01 = 0,08.