Récréation arithmétique avec Fermat : English v. : www.happy-arabia.net/Fermat-en.pdf Théorème : L’égalité 1 = (z/y)n - (x/y)n (1), où x, y, z et n sont des entiers positifs, est impossible pour n>2 . --*-- Essai de démonstration par une voie de l’arithmétique : Résumé : De l’égalité (1) on déduit l’égalité générique : 2k = un - vn , où u, v, k et n sont des entiers positifs. Cette égalité est impossible pour n>2 . Et par suite, l’égalité (1) est impossible pour n>2 . L’égalité (1) peut s’écrire aussi : zn = xn + yn , où x, y, z et n sont des entiers positifs. Démonstration : Etablissement de l’égalité 2k = un - vn : L’égalité (1) peut s’écrire en binaire : (2) 1 = (z/y)n - (x/y)n , où 1, (z/y)n et (x/y)n sont en binaire. Les développements décimaux binaires de (z/y)n et de (x/y)n sont de même longueur et sont illimités (périodiques à partir d’un certain rang) ou limités. Avec z>y>x, on a zn<2yn, 1<(z/y)n<2 et (x/y)n<1. La partie entière de (z/y)n est égale à 1, la partie entière de (x/y)n est égale à 0. Les parties décimales de (z/y)n et de (x/y)n sont égales. En posant, avec z>y>x, b = partie décimale binaire de x/y (les zéros de tête sont conservés dans toutes les opérations de multiplication et d’addition, ces zéros de position relative sont significatifs) et a = partie décimale binaire de z/y, la partie entière de (x/y)n est égale à 0 et celle de (z/y)n est égale à 1. L’égalité (2) peut s’écrire : (3) 1 = (1.a)n - (0.b)n = (1a/(10)d)n - (0b/(10)d)n où 10 est 2 en binaire et d est la longueur de décalage, d est un entier qui peut être infini et dans ce cas : limite 1a/(10^d) = 1.a . Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même longueur et s’ils sont infinis, ils sont nécessairement périodiques à partir d’un certain rang. De l’égalité (3), on obtient (4) (10)dn = (1a)n - (0b)n , et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique : (5) 2k = un - vn , où u, v, k et n sont des entiers positifs et n>2 . Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête. Ces zéros sont significatifs. Les nombres u et v sont supposés impairs, si nécessaire après division par 2rn. Comme tout entier n>2 est un multiple de 4 ou d’un nombre impair, il suffit de considérer l’égalité (5) pour n=4 et pour n impair. Pour n = 4, l’égalité (5) devient : (6) 2k = u4 - v4 , où u, v et k sont des entiers positifs. Comme 2k = u4 - v4 = (u2 - v2) (u2 + v2) , on a nécessairement : u2 + v2 = 2α , u2 - v2 = 2β , α > β et α + β = 4 . D’où 2u2 = 2α + 2β , 2v2 = 2α - 2β et, avec u et v impairs, β=1, α = 3, et u2 - v2 = 2 , égalité impossible puisque la différence entre deux carrés parfaits distincts est supérieure à 2. Donc l’égalité 2k = u4 - v4 , où u, v et k sont des entiers positifs, est impossible. Pour n impair, l’égalité (5) peut s’écrire : (7) 2k = un - vn = (u - v)(∑i=n-1 i=0 ui v(n-1)-i), Comme u , v et n sont impairs, (∑i=n-1 i=0 ui v(n-1)-i) est un nombre impair supérieur à l’unité et, par conséquent, l’égalité (7) est impossible pour n impair > 2. Donc l’égalité générique 2k = un - vn , où u, v, k et n sont des entiers positifs, est impossible pour n>2. Par conséquent, l’égalité : 1 = (1.a)n - (0.b)n est impossible pour n>2. Et par suite, l’égalité 1 = (z/y)n - (x/y)n, où x, y, z et n sont des entiers positifs, est impossible pour n>2. Remarque : Il est possible d’utiliser d’autres bases pour le développement décimal. La base 10 conduit à l’égalité générique 10k = un - vn . Mais la base 2 est plus économique, car le nombre 2 est pair et premier, ce qui a permis des calculs plus simples. Théorème de Fermat-Wiles (1994) : L’égalité zn = yn + xn , où x, y, z et n sont des entiers, est impossible pour n>2. http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf Ahmed IDRISSI BOUYAHYAOUI INPI - Paris