Terminale S spécialité Année scolaire 2014

Terminale S spécialité
Année scolaire 2014-2015
Devoir maison numéro 1
Exercice 1 (et unique)
Préliminaire : choisir un entier a impair, compris strictement entre 4 et 20.
Partie A — Diviseurs communs à deux entiers
Soient deux nombres entiers positifs N et M tels que N = M + 2.
Soit d un entier positif, diviseur commun à N et à M .
Démontrer que d est un diviseur de 2, et en déduire les valeurs possibles de d.
Définition
Soit l’ensemble des entiers positifs divisant deux nombres entiers N et M .
Alors le plus grand élément de cet ensemble est appelé le Plus Grand Commun Diviseur (pgcd) de N et M .
Exemple : déterminer le pgcd de deux nombres entiers de votre choix, tous deux pairs et compris entre 20 et 50.
Partie B — Deux entiers impairs successifs
1. On suppose dans cette partie que N et M sont deux entiers positifs, impairs et successifs.
Démontrer que le pgcd de N et M est 1.
2. On écrit M sous la forme M = 2n − 1, où n est un entier.
Etudier la parité de M × N .
Partie C — Etude en plusieurs étapes
Soit n un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : N = a × n + 1 et M = a × n − 1.
1. On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2p, avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En déduire le pgcd de M et N .
2. On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2p + 1 , avec p entier naturel.
Montrer que M et N sont des entiers pairs, puis conclure quant à leur pgcd.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on considère l’entier a2 × n2 − 1.
a) Exprimer cet entier en fonction des entiers M et N .
b) Démontrer que si n est pair alors a2 × n2 − 1 est impair.
c) Démontrer que a2 × n2 − 1 est divisible par 4 si et seulement si n est impair.
N’oubliez pas que deux et deux égalent quatre — pas quelquefois mais tout le temps.
Jacques Futrelle, Treize enquêtes de la Machine à Penser.