TS3. Correction Devoir à la maison no 5 rendu Vendredi 19 Octobre

TS3. Correction Devoir à la maison no 5 rendu Vendredi 19 Octobre 2007

xex

f (x) =
si x 6= 0
Exercice I : On considère la fonction f définie sur R par :
ex − 1
 f (0) = 1.
→
− →
−
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i , j ).
1.
(c) Le tableau des variations de f est alors :
x
g (x)
e
(a) Étude de la limite de f en −∞ :
On a lim ex = 0 donc lim ex − 1 = −1, mais lim xex = 0
x→−∞
x→−∞
x→−∞
Donc
lim f (x) = 0
¡
0
−∞
+
x
ex − 1
+∞
0
+
+
¢2
+
f ′ (x)
+
0
+
x→−∞
+∞
(b) On a :
f
µ
µ x
¶
¶
xex
e −1+1
1
ex
xex
xex
−
x
1
+
−
x
−x x
=0
=
= x
ex − 1
ex − 1
ex − 1
ex − 1
e −1
e −1
¶
µ
1
.
Ainsi, pour tout nombre réel x non nul, on a f (x) = x 1 + x
e −1
1
1
On a lim ex = +∞ donc lim x
= 0 et lim 1 + x
= 1, mais lim x = +∞
x→+∞
x→+∞ e − 1
x→+∞
x→+∞
e −1
Donc
lim f (x) = +∞
x→+∞
0
4. Soient x un nombre réel non nul et les points M(x ; f (x)) et M ′ (−x ; f (−x)) de la courbe C .
−x
, or :
(a) On a f (−x) = −xe
e−x −1
x
−xe−x (ex − 1) − x(ex − 1) −x + xe−x − xe−x + x
−xe−x
− x
=
=
=0
−x
e −1 e −1
(e−x − 1)(ex − 1)
(e−x − 1)(ex − 1)
Ainsi,
x
ex − 1
Et le coefficient directeur de la droite (M M ′ ) est :
f (−x) =
x
e −1
x
1
1
2. On a lim
= 1, ainsi lim x
= lim x
= = 1, donc :
x→0
x→0 e − 1
x→0 e − 1
x
1
x
f (x) − f (−x)
=
x − (−x)
x
= e 0 × 1 = 1 = f (0)
lim e × x
x→0
e −1
x
(a) Soit g la fonction définie sur R par g (x) = ex − (x + 1) = ex − x − 1, alors
A=
g ‘′ (x) = ex − 1
x
0
−∞
′
g (x)
−
0
A=
+∞
+
x→0
′
f (0), donc :
lim
0
x→0
2x
=
1
2
Ainsi
f ′ (0) =
(b) Calcul de la dérivée f ′ de la fonction f :
(1 × ex + xex )(ex − 1) − xex × ex
2
− 1)
=
ex (xex − x + ex − 1 − xex )
(ex
2
− 1)
1
ex (1 + x)(ex − 1) − xex × ex
=
(ex
− 1)
ex (ex − x − 1)
(ex
2
− 1)
2
=
ex g (x)
(ex − 1)2
=
f (x) − f (0)
f (−x) − f (0)
= f ′ (0) et lim
=
x→0
x
−x
¢
f (x) − f (−x) 1 ¡ ′
=
f (0) + f ′ (0) = f ′ (0)
2x
2
Donc, pour tout réel x 6= 0, g (x) > 0 ⇔ ex − (x + 1) > 0 ⇔ ex > x + 1, et l’égalité n’a lieu
que pour x = 0.
Donc, f ′ (x) =
x(e x −1)
ex −1
·
¸
1 f (x) − f (0) f (−x) − f (0)
+
2
x
−x
Mais la fonction f est dérivable en 0, donc lim
g
(ex
2x
=
·
¸
f (x) − f (−x) f (x) − f (0) + f (0) − f (−x) 1 f (x) − f (0) f (0) − f (−x)
=
=
+
2x
2x
2
x
x
Soit
Et g ′ (x) > 0 ⇔ ex − 1 > 0 ⇔ ex > 1 ⇔ x > ln(1) ⇔ x > 0,
Ainsi,
f ′ (x) =
− exx−1
(b) Comme
Ainsi f est continue en 0.
3.
xex
ex −1
ex ((1 + x)(ex − 1) − xex )
(ex − 1)2
.
2
1
2