Nombres premiers Dans cette partie, on appelle nombre tout entier naturel non nul. 1 Dé…nition Dé…nition 1 Soit p un nombre. On dit que p est un nombre premier si p de p sont 1; 1; p et p. On note P l’ensemble des nombres premiers. 2 et si les seuls diviseurs Exemple 2 Les entiers 2; 3; 5; 7 et 11 sont des nombres premiers. Les entiers 1 et 4 ne le sont pas. Remarque 3 Si p est un nombre premier alors pour la plupart des nombres q : p est premier avec q, mais attention 4 est premier avec 15 mais 4 n’est pas un nombre premier (15 non plus). 2 Crible d’Eratosthène Recherchons tous les nombres premiers plus petits que 100 par exemple. Le nombre 1 n’est pas un nombre premier. On l’enlève. Le nombre 2 est premier. Tous les multiples de 2 autres que 2 ne sont pas premiers et sont donc otés. Le nombre 3 est premier. On enlève ensuite tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3 (ils ne sont pas premiers). Le plus petit nombre restant est 5, qui est donc premier. On enlève tous les multiples de 5 strictement supérieurs à 5. Cette méthode permet donc de proche en proche d’obtenir les nombres premiers plus petits que 100. 1 2 21 22 41 61 81 3 42 3 23 43 4 5 6 7 8 9 10 24 25 26 27 28 29 30 44 45 46 62 63 64 65 66 47 67 82 83 84 85 86 87 11 31 12 13 14 15 16 32 33 34 35 36 17 37 54 55 56 57 58 74 75 76 77 78 59 79 94 95 96 97 98 99 48 49 50 51 52 68 69 70 71 72 53 73 88 89 90 91 92 93 Nombres premiers et divisibilité Proposition 4 Soit p un nombre, p 2. Il y a équivalence entre : 1. l’entier p est un nombre premier. 2. les seuls entiers non premiers avec p sont les multiples de p. 3. le nombre p est premier avec 1; 2; : : : ; p 1. 18 19 20 38 39 40 60 80 100 Démonstration. On va montrer 1 =) 2 =) 3 =) 1 Supposons que p est un nombre premier. Soit a un entier non premier avec p. Soit d = pgcd(a; p), on a d 6= 1, or d divise p et d est positif donc d = p. Comme d divise aussi a, on en déduit que p divise a. Soit p un nombre tel que les seuls entiers non premiers avec p sont les multiples de p. Soit k 2 f1; 2; : : : ; p 1g et d = pgcd(k; p). Comme d divise p, on a d = 1 ou d = p. Si d était égal à p alors p diviserait k et on aurait p k ce qui est exclu. Donc d = 1 donc p et k sont premiers entre eux. Supposons que le nombre p est premier avec 1; 2; : : : ; p 1. Soit d un diviseur positif de p. Alors d p et pgcd(d; p) = d. Si 1 < d < p alors pgcd(d; p) = 1 par hypothèse et l’on aurait d = 1. Donc d = 1 ou d = p. Donc p est un nombre premier. Corollaire 5 Soit p un nombre premier. Pour tout a 2 Z, les entiers a et p sont premiers entre eux si et seulement si p ne divise pas a. Corollaire 6 Soit p et p0 deux nombres premiers. Alors p et p0 sont premiers entre eux si et seulement si p 6= p0 . Démonstration. Si pgcd(p; p0 ) = 1 alors p 6= p0 . Si p 6= p0 alors p0 ne divise pas p (sinon p ne serait pas un nombre premier) et par conséquent pgcd(p; p0 ) = 1. Lemme 7 Lemme d’Euclide. Soit a et b deux entiers relatifs et soit p un nombre premier. Si p divise ab alors p divise a ou p divise b. Démonstration. Il existe q 2 Z tel que ab = p. Si p ne divise pas a alors alors p est premier avec a. Donc p divise b (théorème de Gauss). 4 Décomposition en facteurs premiers Dé…nition 8 Soit a 2 N . Un nombre premier p qui divise a s’appelle un facteur premier de a. Exemple 9 L’entier 3 est un facteur premier de 12. Les entiers 1 et 1 n’admettent pas de facteur premier. Exemple 10 Soit a = 491. On veut savoir si a est premier ou pas. On teste si a est divisible par 2, par 3, par 5, par 7, par 11, par 13, par 17, par 19. Le nombre premier suivant est 23. Comme 232 = 529 > 491, 491 est un nombre premier. Proposition 11 L’ensemble P des nombres premiers est in…ni. Démonstration. On sait que P est non vide (il contient les entiers 2, 3, 5, etc). Supposons qu’il est …ni, de cardinal N , c’est à dire que P = fp1 ; : : : ; pN g. Posons alors a = 1 + p1 pN . Comme a 2, il admet un facteur premier p donc p 2 P donc il existe m tel que p = pm . Mais alors pm divise a p1 pN = 1, ce qui est impossible. Dé…nition 12 Soit a 2 Z . Soit p un nombre premier. L’ensemble fm 2 N; tels que pm j ag admet un plus grand élément, noté vp (a) et appelé p valuation de a ou indice de multiplicité de p dans a ou exposant de p dans a. Exemple 13 12 = 22 3 donc v2 (12) = 2 et v3 (12) = 1. Si x = 3 5 alors v3 (x) = et v5 (x) = . Théorème 14 Décomposition en facteurs premiers. Soit a 2 Z tel que jaj 2. Il existe " 2 f 1; 1g, s 2 N , des nombres premiers 0 < p1 < p2 < < ps et des entiers naturels non nuls m1 ; : : : ; ms tels que 1 s a = " pm pm 1 s De plus, cette décomposition est unique et m1 = vp1 (a); : : : ; ms = vps (a). Démonstration. Unicité de la décomposition. Avec des notations évidentes, supposons que 1 s a = "pm pm = "0 q1n1 qrnr . Si a > 0 alors " = "0 = 1 et si a < 0 alors " = "0 = 1. 1 s Soit i, 1 i s. Supposons que pi soit di¤érent de q1 ; : : : ; qr . Alors pi est séparément premier avec q1 ; : : : ; qr donc séparément premier avec q1n1 ; : : : ; qrnr donc premier avec q1n1 qrnr = p. Mais ceci est en contradiction avec le fait que pi est un facteur premier de p. On montre ainsi que fp1 ; : : : ; ps g = fq1 ; : : : ; qr g. On en déduit alors que s = r puis que p1 = q1 ; : : : ; ps = qs . Existence de la décomposition. Soit a 2. On pose " = 1. Considérons l’ensemble P des facteurs premiers de a. On sait qu’il est non vide, et qu’il est …ni (tout facteur premier est inférieur à a). Soit p1 ; : : : ; ps ses éléments, avec p1 < p2 < ps . Pour chacun de ces facteurs, soit Mi = fm 2 m m N ; pi jag. Ce sont des ensembles non vides (par dé…nition des pi ) et …nis (pm a =) i ja =) pi m ln(a)= ln(pi )). Soit mi le plus grand élément de Mi . Comme a est séparément divisible par 1 s pm ; : : : ; pm premiers entre eux deux à deux, a est divisible par leur produit. Il existe q 2 N tel 1 s m1 s q. Si q 2, q admet un facteur premier qui serait aussi un facteur premier de que a = p1 pm s i +1 divise a, ce qui est impossible par a. Il existe alors i avec 1 i s tel que q = pi . Mais alors pm i dé…nition de mi . Donc q = 1. Si a 2, on pose " = 1 et on décompose jaj. Exemple 15 L’entier a = 84 admet pour décomposition en facteurs premiers a = 22 3 7. Proposition 16 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Alors pour tout nombre premier p, vp (ab) = vp (a) + vp (b) L’entier a divise b si et seulement si pour tout nombre premier p, vp (a) vp (b) Proposition 17 Soit a1 ; : : : ; an des entiers relatifs non nuls. On a : pgcd (a1 ; : : : ; an ) = Y p2P où p = min(vp (a1 ); : : : ; vp (an )) et p p p et ppcm (a1 ; : : : ; an ) = Y p p p2P = max(vp (a1 ); : : : ; vp (an )) pour tout p 2 P. Proposition 18 Soit a 2 N . Alors a est un carré parfait si et seulement si pour tout p 2 P, vp (a) est pair.