TD 3 Loi de variables aléatoires discrètes

L2 MIASHS 51EE07MT
Probabilités & Statistiques
Université Paris Diderot
2016 - 2017
TD 3
Loi de variables aléatoires discrètes
Sauf mention explicite, l’espace probabilisé sous-jacent est noté de façon générique (Ω, A , P).
Exercice 1. Soit (A, B,C ) ∈ A 3 un triplet d’événements tels que
5
4
3
3
1
P(A ∩ B) = P(B ∩ C ) =
, P(A ∩ C ) =
et P(A ∩ B ∩ C ) =
.
P(A) = , P(B) = P(C ) =
2
12
12
12
12
Déterminer la loi sous P de X = 1 A + 1B + 1C .
Exercice 2. Soient (A, B) ∈ A 2 un couple P-indépendant d’événemements tel que P(A) = P(B). Déterminer les lois
sous P des variables aléatoires Y = 1 A − 1B et Z = 1 A 1B .
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire de loi Bin(8, 43 ) sous P. Calculer P({X Ê 4}) et la fonction de répartition de X .
Exercice 4. Le nombre X de livres achetés par un client qui entre dans une librairie dépend du hasard et satisfait :
P({0 É X É 1}) =
8
,
12
P({1 É X É 2}) =
7
,
12
P({0 É X < 3}) =
10
,
12
P({X = 3}) = P({X Ê 4}).
Calculer P({X = i }) pour i ∈ {0, 1, 2, 3}.
Exercice 5. Soient (k, n) ∈ N2 tel que k É n. Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On en tire k simultanément.
Si X désigne le numéro minimal obtenu, déterminer sa loi.
Exercice 6. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On fait deux tirages indépendants avec remise. Si X
représente le plus grand numéro obtenu sur les deux boules tirées, chercher la loi de X sous P. On refait l’expérience,
les deux tirages étant maintenant sans replacement. Quelle est la loi de X sous P ?
Exercice 7. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ de loi géométrique de paramètre p. Déterminer les lois
sous P de U = X 2 , V = X + 3 et Y = inf{X , M}, où M ∈ N∗ .
Exercice 8. On dispose de 5 dés distinguables que l’on lance ensemble. Lorsqu’un dé tombe sur un as, on l’élimine.
Chercher la probabilité pour qu’à l’instant n ∈ N∗ , tous les dés sont éliminés.
Exercice 9. Soient p ∈ ]0, 1[ et r ∈ N∗ . On joue à pile ou face avec une pièce ayant une probabilité p de tomber sur Pile
et 1 − p de tomber sur Face. Les tirages sont indépendants. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de
tirages nécessaires pour obtenir r Pile.
Déterminer la loi de X sous P, aussi appelée la loi Binomiale négative de paramètre (r, p). Justifier l’adjectif négative. En utilisant une variable aléatoire de loi binomiale de paramètre (n, p), montrer que
Ã
!
à !
∞ s −1
rX
−1 n
X
r
s−r
p (1 − p)
=
p i (1 − p)n−i
r
−
1
i
s>n
i=0
Exercice 10. Calculer les espérances et les variances des lois classiques suivantes :
1. loi uniforme UN sur N∗N où N ∈ N∗ ,
2. loi de Dirac δa en a ∈ Rd
3. loi de Bernoulli bp de paramètre p ∈ ]0, 1[,
4. loi binômiale Bin(n, p) où (n, p) ∈ N × [0, 1],
5. loi multinômiale Mult(n, a) de paramètre n ∈ N et a ∈ [0, 1]m tel que
P
aj = 1
P
avec n É 1É j Ém N j
1|eq j Ém
m
6. loi hypergéométrique H(n, N) de paramètres n ∈ N et N = (N j )1É j Ém ∈ N
7. loi de Poisson(θ) de paramètre θ ∈ R∗+
8. loi géométrique G(a) de paramètre a ∈ [0, 1]
9. loi binômiale négative (ou loi de Pascal) de paramètre (n, p) où (n, p) ∈ N × [0, 1]
10. loi de Zipf (ou de Pareto discrète) Zs de paramètre s ∈ ]1, +∞[.
Exercice 11. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que :
X
X
EP (X ) =
P({X Ê n}) =
P({X > n}).
n∈N∗
n∈N
Application : calculer l’espérance d’une variable aléatoire de loi géométrique.
1
Exercice 12. Soit p ∈ ]0, 1[. N est muni de la σ-algèbre P (N) et l’on note P la mesure de probabilités sur P (N) telle que
P({n}) = (1 − p)p n pour tout n ∈ N. Pour tout n ∈ N on note Q(n) et R(n) respectivement le quotient et le reste dans la
division de n par 3. Déterminer les lois sous P des variables aléatoires Q et R.
Exercice 13. Soit X une v.a.r. dont la loi sous P est la loi de Poisson de paramètre λ ∈ R∗+ . Déterminer la loi de Z sous
P et calculer sa P-moyenne lorsque Z = X ! (resp. Z = (1 + X )−1 ).
Exercice 14. Soit n ∈ N∗ . Déterminer la loi sous P d’une variable aléatoire X à valeurs dans N∗n si P({X = i }) est proportionnel à i pour tout i ∈ N∗n .
Exercice 15. Un jeu consiste à lancer une pièce jusqu’à obtenir Pile, la probabilité d’obtenir Pile étant notée p ∈ ]0, 1[,
et, si k ∈ N∗ désigne le nombre de lancers nécessaires, à lancer ensuite k fois un dé équilibré. La partie est gagnante
si exactement un 6 a été obtenu. Calculer la probabilité de gagner à ce jeu. Comment truquer la pièce pour avoir le
maximum de chances de gagner ?
Indication : on pourra introduire les variables aléatoires X i , Y j , S n et T telles que X i est le résultat du i -ème lancer de
pièce à valeurs dans {0, 1}, Y j est le résultat du j -ème lancer de dé à valeurs dans N∗6 , S n est le nombre de 6 obtenus
après n lancers du dé et T = inf{n ∈ N∗ | X n = 1}.
Exercice 16. Un joueur joue à Pile ou Face contre une banque avec une pièce ayant une probabilité p ∈ ]0, 1[ de tomber
sur Pile. La règle du jeu est la suivante : le joueur mise une somme a au départ et tant que la pièce tombe sur Face, il
perd et mise de nouveau λ fois la mise précédente ; quand la pièce tombe sur Pile, il gagne λ fois la mise précédente
et s’arrête.
Quelle est la mise au k e coup ? Quelle est la somme sur le tapis au k e coup ? Calculer l’espérance du gain. Comment
choisir les paramètres p et λ pour que le gain moyen soit positif ?
Exercice 17. Dans un jeu de Pile ou Face, où les lancers sont supposés indépendants et la pièce possède la probabilité
p ∈ ]0, 1[ de tomber sur Pile, on s’intéresse aux deux variables aléatoires suivantes : T1 le nombre de lancers nécessaires
pour obtenir une fois Pile et T2 le nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux fois Pile.
1. Quelle est la loi de T1 ? Quelle est celle de T2 ?
2. Calculer P({T1 = k, T2 = h}) et P({T2 = h|T1 = k}) pour tout couple (h, k) ∈ N∗2 .
Les variables T1 et T2 sont-elles indépendantes ?
3. Calculer P({T2 − T1 = h} | {T1 = k}) et P({T2 − T1 = h}) pour tout couple (h, k) ∈ N∗2 .
Les v.a. T2 − T1 et T1 sont-elles indépendantes ?
Exercice 18. Soit r ∈ N∗ . Un trousseau contenant r clés ne comprend qu’une seule clé pouvant ouvrir une porte
donnée. Une personne tente d’ouvrir cette porte en essayant tour à tour les diverses clés du trousseau jusqu’à ce
qu’elle tombe sur la bonne. On note X le nombre d’essais nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de X
dans les cas suivants :
1. La personne n’essaie jamais d’ouvrir avec une clé qu’elle a déjà essayée en vain ;
2. La personne n’a pas de mémoire et ne tient jamais compte des essais précédents ;
3. La personne n’a qu’une mémoire limitée et fait chaque essai avec n’importe quelle clé autre que celle qu’elle
vient d’essayer immédiatement en vain.
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