MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation

MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 2 - Année 2016
EXERCICE 1 -Saturation et détection
Soit X une v.a. exponentielle de paramètre 1, et a, ε des réels positifs.
1. Déterminer les fonctions de répartition de Y = min(X, a) et de Z = X1{X>ε} .
2. Y et Z ont-elles une densité ?
3. Calculer E[Y ].
EXERCICE 2 -
De nouvelles lois.
1. Déterminer la densité de eX où X est une N (0, 1) (on appelle cette loi la loi log-normale).
2. Soit R de densité x 7→ 21 exp(−|x|). Quelle est la loi de |R| ?
√
3. Si T suit la loi exponentielle de paramètre 1, quelle est la loi de T ?
EXERCICE 3 -Une formule utile
Soit X une variable aléatoire positive, démontrer que
Z +∞
E(X) =
P(X ≥ t)dt.
0
Indication. On peut intervertir espérance et intégrale : pour toute fonction positive
R+ ,
on a
R
I E[f (Y, t)]dt = E
f : R×I →
R
I f (Y, t)dt .
Une personne décide de vendre sa maison au premier acheteur
qui fera une ore supérieure à s euros. On suppose que les ores sont indépendantes et toutes
de même fonction de répartition F .
1. Soit K ≥ 1 le nombre d'ores nécessaires pour vendre la maison, quelle est la loi de K ?
2. Déterminer la loi du prix de vente X ∈ [s, +∞) de la maison.
EXERCICE 4 -Temps
d'arrêt.
EXERCICE 5 -Convergence du minimum
Soient X1 , X2 , . . . des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0, 1].
On note Mn = min{X1 , X2 , . . . , Xn }.
1. Déterminer la fonction de répartition de Mn , en déduire sa densité et E[Mn ].
2. Démontrer à l'aide du Lemme de Borel-Cantelli que, presque-sûrement, la suite (Mn )
converge vers zéro.
3. Trouver une suite an telle que pour tout t ≥ 0
P (an Mn ≤ t)
n→+∞
→
P(E ≤ t),
où E est une exponentielle de paramètre 1.
4. Bonus : Quelle est la loi de Nn , la deuxième plus petite valeur des Xi ?
Soit X de loi N (0, 1), et a, b des constantes.
1. Quelle est la loi de aX + b ?
EXERCICE 6 -
Loi normale.
2. Montrer que pour tout a > 0 on a P(X ≥ a) ≤
exp(−a2 /2)
√
.
a 2π
3. Soit t ∈ R, calculer E[etX ].
EXERCICE 7 -Projection orthogonale
Soit X et Y deux variables aléatoires de carré intégrable. On dit que X, Y sont
E[XY ] = 0.
orthogonales
si
1. Soit E1 l'espace vectoriel des variables aléatoires constantes, quelle est la projection orthogonale de X sur E1 ?
2. Soit E2 l'espace vectoriel engendré par Y (l'ensemble des v.a. {aY, a ∈ R}) quelle est la
projection orthogonale de X sur E2 ?
EXERCICE 8 -Détruquer
une pièce
On dispose d'une pièce truquée qui renvoie "pile" avec une probabilité p et on souhaite s'en servir
pour générer un pile ou face équilibré. John von Neumann1 a imaginé l'algorithme suivant :
pile
DEBUT
Lancer
la pièce
pile
Lancer
la pièce
face
Renvoyer
“face”
face
Lancer
la pièce
pile
Renvoyer
“pile”
FIN
FIN
face
On note T ∈ {2, 4, 6, . . .} la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour
que l'algorithme se termine, et R ∈ {"pile", "face"} le résultat de l'algorithme.
1. Que valent T et R si on obtient comme premiers tirages P P P P F F P P P F F P ?
2. Démontrer que pour tout k ≥ 1,
P(T = 2k) = p2 + (1 − p)2
k−1
2p(1 − p),
en déduire que l'algorithme se termine presque-sûrement : P(T < +∞) = 1.
3. Démontrer que l'algorithme renvoie bien "pile" ou "face" avec même probabilité, c'est-àdire que P(R = "Pile") = 1/2.
1
4. (*) Démontrer que E[T ] = p(1−p)
. Imaginer une variante de l'algorithme de von Neumann
pour réduire E[T ].
1
Mathématicien et physicien américano-hongrois (1903-1957).