Rotation

MOUVEMENTS DE ROTATION D'UN SOLIDE
Bibliographie : [1] Dictionnaire de physique expérimentale tome 1 p. 225 Moments, p 301 Pendule pesant, p 375 Rotation autour d'un axe
[2] Ouvrages de l’enseignement secondaire en 1ère S couples de forces et rotation d’un solide
[3] Capes de physique et chimie, Montage de Physique, Bellier et al, Dunod p 177 rappels théoriques, plan, protocole expérimental [4] Mécanique générale, C. Gruber et W. Benoit
p 287 Dynamique des systèmes matériels, p 428 Solide en rotation autour d'un axe fixe
Le but de ce TP est de mettre en évidence les différents paramètres intervenant dans l'équilibre puis dans le mouvement d'un solide lorsque celui­ci est contraint par des forces de liaison à se mouvoir autour d'un axe. On se limitera aux cas de solides supposés indéformables. Autre simplification dans ce TP : on négligera l'effet de frottements sur le solide en mouvement, des poulies, etc. Ces expériences pourront servir de support pour illustrer le montage 13 intitulé « Étude expérimentale en statique et en dynamique d'un solide mobile autour d'un axe fixe » . Certaines expériences pourront également être utilisées pour le montage 14 : « Expériences portant sur la conservation de l'énergie mécanique dans quelques cas simples » et le montage 9 : « Étude expérimentale de mouvements rapides par diverses méthodes ... ». Dans ce cadre, il s'agit donc de tester et d'illustrer les lois de Newton pour un solide en rotation autour d'un axe : nous montrerons expérimentalement que la somme des moments (par rapport à l'axe) des forces qui sont appliquées au solide contrôle son accélération angulaire autour de l'axe. Les concepts/grandeurs importants de ce TP sont donc: moments d'une force, moment cinétique, vecteur rotation, moment d'inertie, le théorème du moment cinétique et l'énergie cinétique de rotation.
Liste des expériences proposées :
Étude en statique
­ Moment d’une force par rapport à un axe : expérience qualitative
­ Équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe : théorème des moments
Étude en dynamique ­ Mouvement circulaire uniforme
­ Solide en rotation autour d'un axe fixe ∆ et soumis à une force de moment constant
montage vertical, matériel Leybold / montage horizontal, matériel Pierron
­ Étude du pendule pesant
­ Roulement sans glissement d'un cylindre sur un plan incliné
1. Rappels
Moment d’une force
 d’une force F appliquée en M
O
 =OM
 ∧F

M par rapport à un point O est (figure 1) : M
Soit un point M. Le moment
O
C’est un vecteur perpendiculaire au plan (OM, F) de module :
M O =OM ×F sin 
M  par rapport à un axe ∆ passant par O est alors
 . k=M cos  où k ∈ est un vecteur unitaire. M = M
O
O
Le moment
Mo
θ M∆
F
α
O
M
k
axe ∆ Figure 1
Cinématique
Le champ des vitesses dans le solide s’identifie avec la vitesse d’entraînement du référentiel (R) par rapport à (R1). Si M est un point quelconque du solide et O un point quelconque de ∆, on a :

 ∧OM
vM =
ω
vM
O
M
Figure 2
Dynamique En général, pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (
cinétique 
 =k ), le moment O n’est pas colinéaire à ∆ (figure 3). La relation entre
ω
σo
 où [ J] est la matrice d’inertie.
O et 
 est O=[J ]
• Le moment cinétique
O
  par rapport à l’axe ∆ s’exprime par :
 =O . k=J   avec J =∭volume r 2 dm moment d'inertie du solide par rapport à l’axe ∆ .
∆
Figure 3
• J  (aussi notée I  ) est une grandeur extensive : le moment d'inertie d'un système formé de plusieurs parties
est la somme des moments d'inertie de chacune des parties.
• Soit G le centre de masse du solide, Pour tout axe ∆, I = I   M d
2
G
où ∆G est l'axe parallèle à ∆ passant par G
et d la distance entre ∆G et ∆ (théorème de Huygens).
I = M R 2
• Le rayon de giration par rapport à l'axe est la longueur R∆ tel que
c'est la distance à l'axe à laquelle il faudrait concentrer toute la masse M pour que le point matériel ainsi obtenu ait le même moment d'inertie par rapport à ∆.
• Si la liaison est parfaite, le théorème du moment cinétique exprime l’équation du mouvement du solide en rotation autour d’un axe ∆ fixe : d 
dt
= I  ̇=I  ̈=∑ M   Fext

i
Si la somme des moments est nulle, on en déduit que
Si
i
=Cte et = t .
=Cte≠0 , on a un mouvement circulaire uniforme, si =0 on a équilibre.
Le mouvement circulaire uniforme
Soit M un point du solide à la distance r fixe de l’axe : 
r =r ur
 ∧r=r u et l’accélération aM =−2 r ur
vM =
La vitesse est
Équilibre
• Un solide (ou un système de solides) est en équilibre dans un référentiel galiléen (R) si le torseur des forces extérieures du système est équivalent à zéro :
∑ Fexti =0
i
et   Fext =0 et ∀O , ∑ M
vi  0=0 ∀ i les vitesses initiales 
O
i
i
2. Étude statique
2.1 Moment d’une force par rapport à un axe : expérience qualitative
On réalise ici une série d’expériences qualitatives illustrant la notion de moment d’une force.
La force 
F étant créée avec la main, on procède de la façon suivante (figure 4). Il n’y a aucune rotation si :
1 • la force 
F est nulle ;
2 • la direction de la force passe par l’axe ∆ ( 
F appartient au plan du disque); 3 • le point d’application de 
est sur l’axe ∆
(OM = 0) ;
F
4 • 
F est parallèle à l’axe ∆ Il y a une rotation si : le point d’application de 
F est dans le plan du disque (ou de la porte) 
et la direction de F est quelconque. Le sens de la rotation dépend de sens de 
F .
Elle est d’autant plus « facile » que le point d’application est plus éloigné de l’axe ∆ et que la direction de 
F est perpendiculaire à l’axe ∆.
disque
axe ∆
axe ∆
F
F
série de trous
porte
Figure 4
2. 2 Théorème des moments
Dans un repère galiléen, la condition nécessaire pour qu’un solide mobile autour d’un axe fixe soit en équilibre est que la somme des moments par rapport à un axe ∆ des forces qui lui sont appliquées soit nulle :
∀  , ∑ M   Fext
=0
i
i
Le matériel proposé (figure 5) permet une vérification immédiate du théorème des moments ; en effet, en tournant la règle graduée, on mesure directement les distances. On peut de même déplacer facilement les poulies (grâce aux aimants) ainsi que les fiches (grâce aux nombreux trous percés sur le solide).
• On vérifie que le solide est équilibré avant l’accrochage des masses.
F1,2=m1,2 g on en déduit :
• On choisit un sens positif, puis, sachant que  ∥=−m g OA sin  =−m g d
M   F1=−∥F1 ∧OA
1 1 1 1 1 1



M   F =∥F ∧OA ∥=m g OA sin  =m g d
2
Par suite : 2 2 2 2 2 2 ∑ M   Fexti =0 ⇒m1 d1 =m2 d 2
2
i
  en fonction de M   F  : c’est une droite de On vérifie cette relation dans différents cas. On tracera M   F
1
2
pente 1. NB : on se limite ici au cas où les forces sont dans le plan du disque. Naturellement, on peut utiliser trois masses marquées.
mesure directe
règle mobile
F2
fiche
poulie
A1
θ1
F1
θ
d
2
2
M(F 1)
A2
O
axe ∆
sens +
m2g
solide mobile autour d’un axe
m 1g
panneau métallique
M (F 2)
0
Figure 5
Figure 6
On veillera à présenter les résultats avec une incertitude de mesure ∆(M).
3. Étude dynamique v
3.1 Mouvement circulaire uniforme
• On propose une étude sommaire. La vitesse angulaire est constante ω, la vitesse linéaire ω
M
a
O
M
R
est tangentielle de valeur ωR, l’accélération 2
est centripète de valeur ω R si R est le rayon. v
a
Figure 7
• On filme le mouvement d’un solide en rotation (disque, ventilateur,…) relativement lente.
• On procède à un enregistrement à l’aide d’un camescope (et d’un magnétoscope), puis on fait défiler l’enregistrement image par image. Entre chaque image, l’intervalle de temps est fixé à ∆t = 1/25 = 40 ms.
Pour ce montage :
– Brancher le camescope en auto ou manuel (lire la fiche technique pour une utilisation optimale) ;
– éclairer le projecteur ;
– Ouvrir le logiciel « Synchronie », suivre les instructions ;
– Démarrer le mouvement de rotation et lancer l’enregistrement quelques instants.
– L’exploitation consiste à pointer un même point de la périphérie du solide à des intervalles de temps égaux – Observer les vecteurs vitesse et accélération.
Connaissant la vitesse angulaire ω (mesure annexe) on vérifie que la longueur d’un vecteur vitesse est bien égale à Rω
(si R est la distance du point pointé à l’axe de rotation). On vérifie également que la longueur du vecteur accélération 2
est bien égale à Rω .
3.2 Solide en rotation autour d'un axe fixe ∆ et soumis à une force de moment constant.
(Matériel distribué par Leybold : voir le protocole proposé dans ref [1])
Pour l'équipage de la figure 8, le moment d'inertie est I ∆ = Io + 2IM avec Io = moment d'inertie de l’équipage mobile (poulie à 2 gorges + tige) sans les masselottes et I M = moment d'inertie d’une masselotte = Md
d’une masselotte) et d’autre part le moment appliqué :
2
+ ½ MR2 (R=rayon M   T =T r avec T la tension du fil que l'on obtient par m ẍ=mg− T
En appliquant le théorème du moment cinétique on trouve
est liée à l’accélération linéaire par
ẍ=r ̈ . Ainsi ̈=
I  ̈=mgr−mr 2 ̈ car l’accélération angulaire ̈ mgr
I  mr 2
ceci est l’expression de l’accélération angulaire, donc l’équation horaire est de la forme :
t=
1 mgr
t2
2
2 I  mr
si 0=0 et 0=0 • La manipulation consiste à déterminer l’accélération angulaire ̈ en fonction de divers paramètres. L'étude du mouvement pourra se faire à l'aide d'enregistrement vidéo et de traitement informatique. a) Mesure de l’accélération angulaire
Si le solide tourne de θ, la masse m se déplace de x = rθ. Si la masse m met un temps t pour parcourir une distance x, on peut écrire
x=
• On effectue les mesures suivantes :
x (m)
t (s)
2 x
1 r ̈ t 2 d’où ̈= 2 2 rt
poulie de rayon r
d
d
M
–2
̈ (rd.s )
masselotte
M
x
équipage mobile
m
Figure 8
Pour une configuration donnée de l’équipage mobile, cette accélération est constante ; on vérifiera ce fait.
t
b) Influence des paramètres (d, r, M, m)
On propose de se limiter au seul paramètre d, distance des masselottes à l’axe de rotation
• On fixe une valeur de x (par exemple 0,5 à 1 m) et on effectue les mesures suivantes : On trace ensuite rt
2
2 x
2 2
d (m)
d (m )
t (s)
...
...
...
2 2
= f  d =
I O MR mr
2
mgr

r t2
= ̈−1 (rd–1.s2)
2 x
...
2M
mgr
d 2 qui est donc une droite de pente 2M
mgr
.
3.3 Solide en rotation autour d'un axe fixe ∆ et soumis à une force de moment constant.
(Matériel distribué par Pierron : voir le protocole proposé dans ref [3] p 179)
On utilise une poulie à plusieurs gorges, mobile autour d’un axe vertical ∆ sur lequel est fixé une tige comportant
deux masselottes diamétralement opposées, de positions réglables.
On appelle :
M la masse des masselottes cylindriques de
rayon r et de hauteur h
R le rayon de la poulie autour de laquelle la
ficelle est enroulée
m la masse du corps qui provoque le
mouvement
J 0 le moment d'inertie par rapport à ∆
de l'ensemble sans masselotte
J M le moment d'inertie d'une masselotte
par rapport à ∆
J G le moment d'inertie d'une masselotte par rapport à ∆G // ∆ passant par le centre G d'une masselotte
T la tension du fil appliquée à la poulie de rayon R
d la distance entre ∆ et le centre d'une masselotte;
n le nombre de tours effectués par la tige.
En négligeant la masse de la poulie de renvoie devant m, on peut montrer que l'accélération angulaire
l'équipage s'écrit:
̈=
mgR
2
J O2J M  mR
avec
J M =J G Md2 et J G =M
Le solide étant soumis à la force T
 de moment constant
 
r2
4

h2
12
pour les masselottes considérées.
M   T =JO 2J M ̈
On mesure le temps mis pour faire n tours à l'aide d'un chronomètre ou d'un capteur optique.
On relie
̈ à n en écrivant que (vitesse initiale nulle) : =
a) Vérification de la nature du mouvement
̈ de
4 n
1 2
̈ t =2  n d'où ̈= 2
2
t
On commence par vérifier que le mouvement est bien uniformément accéléré. Pour cela, on trace alors :
On obtient une droite dont la pente permet de déduire l’accélération angulaire
b) Influence du moment de T par rapport à ∆ sur
n= f t 2  .
̈ .
̈
Pour chaque étude, on pourra faire une modélisation à l’aide de REGRESSI.
•
Influence de m :
Mesurer par exemple le temps mis pour faire 10 tours pour différentes valeurs de m ,
puis tracer
•
gt 2
en fonction de
4  nR
1
m
. On obtient une droite de pente
J 02J M
R2
.
Influence de d :
Mesurer par exemple le temps mis pour faire 10 tours pour différentes valeurs de d ,
puis tracer
•
gt 2
en fonction de
4  nR
d2
R2
. On obtient une droite d'ordonnée à l'origine
J 02J G
mR 2
1 .
Influence de R :
On pourrait éventuellement faire varier R ; cependant, étant donné que l'on ne dispose que de trois poulies, un
graphe avec 3 points de mesure ne serait pas très démonstratif.
c)
Détermination de
J 0 et J G
En enlevant une des deux masselottes et en mettant l'axe ∆ horizontal, on obtient un pendule pesant. Pour les faibles
amplitudes, on peut montrer que la période s'écrit:
T =2 

J
gMd
=2

JO J G Md2
gMd
La mesure de T permet donc d'avoir une mesure de
J 0J G ; on peut ensuite déterminer séparément J 0 et J G en
utilisant les mesures du b).
3.4 Étude du pendule pesant
Si a est la distance entre le centre de gravité et l'axe de rotation ∆ et J∆ le moment d'inertie du solide par rapport à ∆, on peut montrer que la période du pendule s'écrit:
T=2 

J
gM a
=2 

J   M a2
G
gM a
Définissons ρ le rayon de giration par rapport à ∆ G, tel que J  = M  .
Donc T = 2 
 
1
g
a

a
2
G
2
la période ne dépend pas de la masse.
On peut donc étudier l'influence de ρ et de a sur la période.
a) Influence du rayon de giration (a = Cte, g = Cte)
On utilise pour cette étude les disques "bleus" pour lesquels la valeur de a est constante; on mesure donc la période pour différentes valeurs de ρ. On peut ensuite tracer T2 en fonction de ρ2 (droite de pente 4  2
ga
et d'ordonnée à l'origine 4  2 a
g
).
b) Influence de a (ρ = Cte, g = Cte)
On travaille avec une tige percée de plusieurs trous sur toute sa hauteur. On mesure la période pour différentes valeurs de a. On trace ensuite T en fonction de a: la courbe passe par un minimum pour ρ = a, et on peut déduire Tmin de la courbe ( T
min
=2 

2
g
), ce qui donne une mesure du rayon de giration.
N.B.: pour une tige de hauteur H, largeur L et profondeur P, on peut calculer que J∆G = M
c)

L2
12

H2
12

Influence de g (a = Cte, g = Cte)
On peut simuler une variation de g avec le pendule de Mach : dans ce cas, on remplace g par gsinα.
3.5 Roulement sans glissement d'un cylindre sur un plan incliné (faiblement) [3] p122
Un cylindre de diamètre 2R=60 mm et de masse m=100 g roule sans glisser sur un plan faiblement incliné d'un angle  . Nous proposons d'étudier la conservation de l'énergie mécanique du système à l'aide d'une
webcam. L'énergie cinétique se décompose en 2 termes:
­ énergie cinétique de translation E t=
1 m ẋ 2G  y˙2G  où v = x˙2  y˙2
G
G
G
2 
est la vitesse du centre d'inertie du cylindre
­ énergie cinétique de rotation où E r=
1 J  2 2 =vG / R est la vitesse angulaire du cylindre, et où
J =∭volume r dm=
2 m R2
2
est le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe de rotation ∆ // Oz.  Le cylindre choisi pour l'expérience est creux en son centre. Le volume manquant correspond à un cylindre de rayon Rappels sur les moments d ' inertie :
J 0 =∭volume  x y z dm par rapport au centre 0 2 2 2
J =∭volume  x y dm par rapport à l ' axe ∥0z
2 2
pour un cylindre de hauteur h , de densité  et de rayonR on a : m= R2 h �
2
R

3
4 m R
donc J =∫0 r 2  h dr=  h R =
2 2 2 dans le cas d' une sphère on notera que J = J 0 3 R '=5 mm . On pourra vérifier que le moment d'inertie s'écrit alors J =
m R 2 R ' 2 
2 ≈
m R2
2
.
Le mouvement du cylindre sera filmé avec une webcam ou une caméra CCD puis analysé avec Généris ou Synchronie. Nous placerons le repère orthonormé sur le centre d'inertie du cylindre, au point de lancement (voir figure). En prenant pour état de référence ce même point, l'énergie mécanique du système s'écrit :
E = E t  E r E p=
3 m v 2 G  m g y G =0
4 NB: à partir de l'équation de conservation nous pouvons en déduire l'accélération du centre d'inertie dont la norme est
aG=
2 g sin  , (pour une sphère
3 aG =
5 g sin  ).
7