Télécharger maintenant!

2 Divisibilité dans A
Objectifs du chapitre
À travers le problème des clés de contrôle, nous allons approfondir la notion de
divisibilité dans .
B
Activité 1
Pour débuter
Les codes-barres
Les codes-barres sont omniprésents dans la vie courante. Ils trouvent leurs
applications dans des domaines aussi variés que la gestion des prêts d’une
bibliothèque, les caisses enregistreuses à lecture optique ou le contrôle de la
production dans l’industrie.
Les codes EAN 13 (European Article Numbering à 13 chiffres) sont des codesbarres utilisés dans le monde entier sur l’ensemble des produits de grande
consommation. Ils comportent 13 chiffres :
les deux premiers chiffres correspondent au pays de provenance du produit ou
à une classe normalisée de produits ;
les quatre chiffres suivants correspondent au codage du fabriquant ;
les six suivants forment le numéro d’article ;
le treizième chiffre est une clé de contrôle calculée en fonction des douze précédents.
La clé de contrôle sert à la vérification de la bonne saisie du code. Nous allons
nous intéresser à son calcul.
Calcul de la clé de contrôle
Un code-barres est symbolisé par le tableau suivant :
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10 C11 C12
R
où C1,C 2 ,...,C12 et R sont les 13 chiffres constituant le code-barres ; R est donc
la clé.
Les chiffres C1,C 3 ,...,C11 sont ceux de rangs impairs et C 2 ,C 4 ,...,C12 désignent
les chiffres de rangs pairs.
La clé R est calculée de telle sorte que :
[ (somme des chiffres de rang impair) + 3 × (somme des chiffres de rang pair) + R ]
est un multiple de 10.
a) Vérifier que l’on ne détecte pas d’erreur dans le code-barres ci-dessous.
b) Déterminer la clé associée au code-barres suivant :
c) Le système de lecture optique d’une caisse enregistreuse étant défectueux, un
employé doit saisir les codes à la main. Parmi les codes saisis, lesquels comportent à coup sûr une erreur ?
9 782940 199617
9 782940 199167
3 782940 199617
d) Calculer la clé des deux codes suivants :
1 672345 678900
7 612345 678900
Toutes les erreurs de saisie peuvent-elles être détectées grâce à la clé de contrôle ?
Remarques La clé de contrôle permet de détecter des erreurs de saisie d’un code-barres
(l’inversion de deux chiffres consécutifs ou un chiffre erroné par exemple) mais
elle ne permet pas de détecter toutes les erreurs (comme celle du d.).
Le calcul de la clé de contrôle fait appel à la notion de divisibilité
.
Activité 1 Les codes barres
■
9 782940 199617
9 782940 199167
3 782940 199617
1 672345 678900
7 612345 678900
C
Cours
1. Définition
Définition 1
Soient a et b deux entiers relatifs quelconques.
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a s’il existe un
entier relatif k tel que a = b × k .
Exemple
L’ensemble des multiples de 3 est E = {… ; –12 ; –9 ; –6 ; –3 ; 0 ; 3 ; 6 ; …}.
On écrit encore E = { 3k ; k ∈ } ou E = 3.
Remarque
Soit b un entier relatif.
L’ensemble des multiples de b coïncide avec l’ensemble des multiples de −b.
La proposition « b divise a » s’écrit symboliquement b | a.
2. Propriétés
Propriété 1
Transitivité
Soient a , b et c des entiers relatifs.
Si b divise a et si c divise b, alors c divise a.
Démonstration
Comme b divise a , il existe un entier k tel que a = b × k .
Comme c divise b , il existe un entier k ’ tel que b = c × k ′.
Ainsi, a = b × k = (c × k ′ ) × k = c × (k ′ × k ) = c × K où K = kk ′ donc c divise a.
Propriété 2
Combinaison linéaire entière
Soient a , b et c des entiers relatifs.
Si c divise a et b, alors pour tous les entiers relatifs n et n‘, c divise n × a + n '× b .
Remarque
Autrement dit, si c divise a et b alors il divise toutes les combinaisons linéaires
entières de a et b.
Démonstration
Comme c divise a et b , il existe deux entiers k et k ’ tels que a = kc et b = k’c.
Alors :
et ainsi
Exemple 1
Déterminer l’ensemble de tous les diviseurs de 42.
Solution
Exemple 2
Raisonnement par disjonction de cas
En raisonnant par disjonction de cas, démontrer que, pour tout entier k,
l’entier k(k+1) est pair.
Solution
Exemple 3
Raisonnement par contraposée
En utilisant un raisonnement par contraposée, démontrer que, pour tout entier n,
si n 2 est impair alors n est impair.
Remarque
Solution
La proposition contraposée de la proposition « A implique B » est « non B
implique non A ». Ces deux implications sont équivalentes. Ainsi, pour démontrer
qu’une implication est vraie, il suffit de démontrer que sa contraposée l’est : pour
montrer que la proposition « A implique B » est vraie en raisonnant par contraposée, il suffit de prouver que la proposition « non B implique non A » est vraie.
Remarque
Divisibilité et calculatrice
À la calculatrice, une méthode pour déterminer si b divise a consiste à regarder
 b b
si E   = où E désigne la fonction « partie entière ».
a a
 b b
Ceci repose sur l’équivalence suivante : b divise a si, et seulement si, E   = .
a a
Exemple 4
Écrire un algorithme donnant tous les diviseurs d’un entier N donné.
Comment utiliser une feuille de calculs pour obtenir les diviseurs d’un entier
entré dans la cellule C2 ?
Solution
A
1
B
C
Diviseurs
Nombre ?
2
3
4
5
On saisit les formules entre « » dans chaque cellule puis on les « copie-glisse »
dans les colonnes A puis B.
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Vrai/Faux
Justifier les réponses.
a) Si un entier est divisible par 49 et par 35 alors cet entier est divisible par
49 × 35 = 1715.
b) Si un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par 9.
c) Si a divise b et c alors a divise b − c .
d) La somme de deux diviseurs d’un entier est encore un diviseur de cet entier.
e) Le produit de deux entiers pairs est pair.
f) Le produit de deux entiers impairs est impair.
Exercice 2
Démontrer que, pour tout entier n, si n 2 est pair alors n est pair.
Exercice 3
Nombres amis
Deux entiers distincts sont dits « amis » si la somme des diviseurs positifs de
A excepté A est égale à B et la somme des diviseurs positifs de B excepté B est
égale A.
a) Démontrer que 220 est un nombre ami d’un autre entier.
b) Écrire un programme qui, prenant en entrée une borne, affiche tous les couples
de nombres amis entre 1 et cette borne. Implémenter cet algorithme sur Algobox. (On pourra reprendre et compléter l’algorithme qui calcule la somme de
tous les diviseurs positifs d’un nombre donné).
c) Afficher tous les couples de nombres amis compris entre 1 et 1 500.
Exercice 4
Sur le catalogue d’une entreprise de vente par correspondance, la référence de
chaque article est constituée d’un nombre à cinq chiffres xyztu (le premier de ces
chiffres x étant différent de zéro), suivi d’une lettre majuscule choisie entre A et
N, à l’exception de la lettre I.
À cette lettre majuscule est associé un nombre appelé « clé » selon le tableau
suivant :
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
N
Clé
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
À des fins de contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du
nombre à cinq chiffres et de la clé obtenue grâce au tableau, soit un nombre
divisible par 13.
Les deux références suivantes vérifient-elles la condition précédente ? Justifier.
13587 M
45905 A
On veut retrouver la lettre d’une référence dont il ne reste que le nombre à
cinq chiffres 26014. Déterminer la lettre manquante.
Exercice 5
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (a ; b ) tels que (a + 4 )(b − 1) = 14.
Exercice 6
Raisonnement par récurrence
En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier
n
n
naturel n , 7 − 2 est un multiple de 5.
Exercice 7
Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n :
n
An = (n + 1)(n + 2)...(2n − 1)(2n ) est divisible par 2 .
Exercice 8
On considère le nombre A = n (n + 1)(n + 2).
a) Démontrer que A est divisible par 2.
b) Démontrer que A est divisible par 3.
c) Si A est divisible par 8, n est-il pair ?