5°)On note la suite définie pour tout entier ≥1 par : = − 0,2. a

Exercices de préparation pour le devoir commun du samedi 18 Janvier 2014.
Exercice 1 : Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive
procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Si le n-ième sondage
donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
On désigne par
l’évènement le « n-ième sondage est positif » et on note
sa probabilité.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :
-si un sondage est positif, la probabilité que le suivant soit aussi positif est 0,6 ;
-si un sondage est négatif, la probabilité que le suivant soit aussi négatif est 0,9 ;
On suppose que le premier sondage est positif c’est-à-dire que
=1.
1°)Calculer la probabilité des évènements :
A : « les deuxième et troisième sondage sont positifs » ;
B : « les deuxièmes et troisième sondages sont négatifs ».
2°)Calculez la probabilité
3°)On désigne par
que le troisième sondage soit positif .
un entier naturel tel que
≥ 2.
Recopiez et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’exercice
4°) Prouvez que pour tout entier ≥ 1 ,
5°)On note
= 0,5
+ 0,1.
la suite définie pour tout entier
≥ 1 par :
=
− 0,2.
a) Compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche le terme de rang
de la suite .
Entrer n
P=1
Pour I allant de 1 à n
P=0,5P+0,1
U=…………….
Fin pour
Afficher U
b) Programmer cet algorithme à l’aide de votre calculatrice et tester le programme
avec
= 1,
= 2 et
= 3.
6°)a)Démontrer que la suite
est une suite géométrique dont vous préciserez le premier
terme et la raison.
b) Exprimez
en fonction de .
c) Calculez et interpréter la limite de la suite(
).
Exercice 2 : (Exercice 73 page 351) (Tirage dans une urne, calcul de l’espérance !)
Exercice 3 : Exercice 71 page 351. (Loi binomiale et calcul de l’espérance !)
Exercice 4 : Exercice 72 page 113.
Exercice 5 : Soit la fonction
définie sur D= −∞; 2 ∪ 2; +∞ par,
1°) Etudier le sens de variation de
)=
!"
"#
.
sur D. (tableau !)
2°) Déterminer l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 3. (Contrôler !).
3°) a) Déterminer les points de D tels que la tangente à C soient parallèle à la droite
d’équation, $ =
#
%
. b) Montrer qu’il n’existe pas de points de D où la tangente à C est
parallèle à l’axe des abscisses.
4°) Application économique : On suppose que la fonction bénéfice, en millier d’euros, d’une
entreprise est donnée par f(x) sur l’intervalle 2; 60 pour l’année 2002+x.
Par exemple f(2)=7. Le bénéfice pour l’année 2004 est de 7000 euros.
a)Donner alors le bénéfice en 2010. (Arrondir à l’unité !).
b) Ecrire un algorithme qui retourne à partir de quelle année le bénéfice de cette société
sera strictement inférieur à 2500 euros. Programmer l’algorithme à l’aide de votre
calculatrice et répondre à la question posée.
Exercice 6 : (Convergence d’une suite de type homographique !)
On définit la fonction , sur l’intervalle 0; +∞
1°)Etudier les variations de
Soit la suite U définie par
)=
%"#
.
"
sur son ensemble de définition.
∈ 2; 3 alors
2°)En déduire que si
par
(
) ∈ 2; 3 .
= 2 et pour tout
=
entier par :
%)* #
)*
On souhaite montrer que la suite converge en utilisant deux méthodes.
Première méthde.
a)Montrer par récurrence que 2 ≤
b)Montrer que la suite
≤ 3 pour tout ∈ ,-.
est croissante.
c)En déduire alors que la suite converge.
d) On sait alors que la limite . de la suite
est telle que : . =
%/#
/
.
Résoudre alors l’équation et déterminer la limite de la suite .
Deuxième méthode.
Soit la suite
définie par,
=
)* #
)* #
. Soit l’algorithme
Entrer N
=2
Pour I allant de à n
=
%)# )
)
)#
)
V=)#
Afficher
Afficher
a)Programmer cet algorithme à l’aide de votre calculatrice et compléter alors le tableau :
1
2
3
c)Montrer que la suite
terme.
d)Exprimer
puis
, arrondie à 10-2
2.33
2.6
-0.5
-0.25
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
en fonction de n, et retrouver lim
→ 4
.