nombres complexes - MPSI-1

NOMBRES COMPLEXES
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Travail préparatoire
P Q
A.1 Sommes et produits ; les symboles
et
A.1.1 Notations et exemples . . . . . . . .
A.1.2 Quelques propriétés générales . . .
A.1.3 Un peu plus compliqué . . . . . . .
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2
2
2
3
4
B Le corps des nombres complexes
B.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Comportement de ces ensembles vis à vis de l’addition et la multiplication
B.3 Les propriétés fondamentales de (C, + ,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Forme algébrique d’un nombre complexe, parties réelle et imaginaire . . .
B.5 Interprétation géométrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
5
5
7
7
C Conjugaison et module
C.1 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
C.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
C.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . .
C.2.3 Nombres complexes de module 1
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8
8
8
8
8
8
9
9
D Arguments d’un complexe non nul, forme trigonométrique d’un complexe
D.1 Représentation des complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Arguments d’un complexe non nul,forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . .
D.3 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
10
E Applications à la trigonométrie
E.1 Formules d’Euler, linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Formule de Moivre, ”délinéarisation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
F Racines n-ièmes dans C
F.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . .
F.2 Racines n-ièmes d’un complexe quelconque . . .
F.3 Cas particulier des racines carrées . . . . . . . .
F.4 Équations du second degré à coefficients dans C
12
12
13
13
13
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G Interprétation géométrique de quelques transformations de C
15
H Les exos en vrac
15
Mathématiques
chapitre : Nombres complexes
page 2
A Travail préparatoire
A.1
Sommes et produits ; les symboles
A.1.1
Notations et exemples
P Q
– Les notations
et :
P
et
Q
– Soit E un ensemble muni d’une opération notée additivement (le plus souvent E sera l’un de nos
ensembles de nombres). Soit (p,n) ∈ Z2 tel que p ≤ n, et soient xp , xp+1 , ..., xn des éléments de E.
On note
n
P
xk la somme xp + xp+1 + . . . + xn .
k=p
– Soit E un ensemble muni d’une opération notée multiplicativement. Soit (p,n) ∈ Z 2 tel que p ≤ n, et
soient xp , xp+1 , ..., xn des éléments de E.
On note
n
Q
xk le produit xp .xp+1 . . . . . xn .
k=p
– Que pensez-vous de
n
P
xk ,
k=p
n
P
i=p
xi ,
n
P
xj ? ............................................................... ...................................................
j=p
........................ ...................................
Exemple 1
À COMPLÉTER ET À CONNAITRE PAR COEUR
de E.
1.
2.
3.
4.
p
P
xk =
k=p
p
Q
xk =
k=p
n
P
k=
k=0
n
Q
k=
k=0
5. Soit a ∈ C.
6. Soit a ∈ C.
n
P
k=0
n
Q
a=
a=
k=0
7. Soient a ∈ C\ {1} .
8. Soit a ∈ C .
9. Soit a ∈ C.
10. Soit a ∈ C.
n
Q
n
P
ak =
k=0
ak =
k=0
n
P
k=p
n
Q
a=
a=
k=p
n
11. Soient a,b ∈ C. (a + b) =
12. Soient a,b ∈ C. an − bn =
Remarque 1
n
P
xk se note aussi
k=p
P
p≤k≤n
xk .
Soit (p,n) ∈ Z2 tel que p ≤ n, et soient xp , xp+1 , ..., xn des éléments
Mathématiques
A.1.2
page 3
chapitre : Nombres complexes
Quelques propriétés générales
Dans toute la suite, sauf précision, on se donne, si besoin est, (p,n,p 0 ,n0 ) ∈ Z4 , tels que p ≤ n et p0 ≤ n0 .
Propriétés (à compléter)
Soient xp , xp+1 , ..., xn , yp , yp+1 , ..., yn et α des nombres complexes.
n
P
αxk =
1.
k=p
2.
3.
4.
n
P
k=p
n
Q
k=p
n
Q
(xk + yk ) =
αxk =
x k yk =
k=p
Propriété (Relation de Chasles) On suppose que p, q et n sont des entiers tels
que p < q < n. Soient xp , xp+1 , ..., xn des nombres complexes. On a :
n
X
xk =
k=p
n
Y
q
X
xk +
k=p
q
Y
k=p
xk
k=q+1
k=p
xk =
n
X
xk .
n
Y
xk
k=q+1
Tout ce qui va suivre concerne aussi la notation
– Changement d’indices (changements de ”compteur”) :
–
n+1
P
Q
.
xj−1 =
j=p+1
– Pour n ∈ N∗ ,
n
P
xn−i =
i=1
– Pour j0 ,n ∈ N avec n ≥ j0 ,
n
P
xj−j0 =
j=j0
1. utilisable directement Soient n ∈ N∗ , a1 , a2 , ..., an+1 des nombres complexes. Simplifier
Exemple 2
n
P
1
(pour n ≥ 1).
2n
−i
i=0
3. A connaitre Montrer que l’on a, pour tout n de N∗ :
2. Exprimer plus simplement
n
P
n (n + 1) (2n + 1)
.
6
k=1
n
P
n (n + 1) 2
) .
k3 = (
(b)
2
k=1
(a)
k2 =
4. Soit n ∈ N . Exprimer
∗
n
Q
(2k − 1)
k=1
n
Q
à l’aide de factorielles.
(2k)
k=1
¶
µ
¶
n
P
n
n
k
5. A connaitre Soit n ∈ N. Calculer
et
(−1)
.
k
k
k=0
k=0
¶
µ
n
P
1
6. Soit n ∈ N,n ≥ 2. Calculer
ln 1 − 2 .
k
k=2
n
P
µ
n
P
k=1
(ak+1 − ak ).
Mathématiques
page 4
chapitre : Nombres complexes
7. Montrer que pour tout p ∈ N, arctan (p + 1) − arctan p = arctan
n
P
p2
1
.
+p+1
1
, où n ∈ N.
+k+1
k=0
µ
µ
¶
¶
E( n
E( n−1
P2 )
P2 )
n
n
0
8. A connaitre Pour n ∈ N, calculer S =
et S =
. On pourra commencer par
2k
2k + 1
k=0
k=0
calculer S + S 0 et S − S 0 . µ
¶
n
P
n
k
.
9. Pour n ∈ N, calculer
k
k=0
En déduire
A.1.3
arctan
k2
Un peu plus compliqué
– Les sommes doubles. Soit (xi,j )(i,j)∈{p,...,n}×{p0 ,...,n0 } une famille de nombres complexes (note 1 ).
0
–
n
n P
P
i=pj=p0
– On a
n
P
xi,j est une somme double ; elle représente
0
αi où l’on a posé αi =
i=p
0
n P
n
P
0
n P
n
P
n
P
xi,j pour i = p,...,n.
j=p0
xi,j . On peut intervertir les signes de sommation car i et j sont des indices
P
indépendants. On peut alors noter
xi,j la somme double.
xi,j =
i=pj=p0
j=p0 i=p
p≤i≤n
p0 ≤j≤n0
– ajouter des conditions supplémentaires
– On peut aussi écrire ce genre de choses :
2n
X
xk =
k=2p
k pair
Ainsi, si l’on rajoute une condition sous le signe
vérifient la condition.
Exemple 3
P
, cela signifie que l’on se limite aux indices qui
1. Comment intervertir les indices dans :
n P
n
P
xi,j et dans
i=0j=i
2. Transformer :
–
–
n
n
P
P
k=p k0 =p
n
n
Q
Q
n P
i
P
xi,j ?
i=0j=0
x k yk 0 =
x k yk 0 =
k=p k0 =p
3. Calculer
P
xi,j (que l’on note aussi
1≤i≤n
1≤j≤n
i<j
P
xi,j ) lorsque xi,j = 1
1≤i<j≤n
( resp i + j , c’est plus difficile )
µ
¶
n P
n
P
k
4. Calculer, pour n ∈ N :
.
p
p=0k=p
B Le corps des nombres complexes
B.1
Présentation
Nos ensembles usuels de nombres sont les ensembles :
– N = {0,1,2,...}, ensemble des entiers naturels ;
1. Pour un contexte plus général : (xi,j )(i,j)∈{p,...,n}×{p0 ,...,n0 } est une famille d’éléments d’un ensemble E muni d’une opération + qui
est associative et commutative.
Mathématiques
page 5
chapitre : Nombres complexes
– Z = {..., − 2, − 1,0,1,2,...}, ensemble des entiers relatifs ;
¾
½
p
, (p,q) ∈ Z × N∗ , ensemble des nombres rationnels ;
– Q=
q
– R, ensemble des nombres réels ;
– C, ensemble des nombres complexes .
On a les inclusions successives N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C et ces inclusions sont strictes.
Nous nous plaçons cette année dans les conditions suivantes : nous admettons l’existence de l’ensemble R des
réels ; c’est dans R que nous allons faire vivre les sous-ensembles N, Z, Q ; pour l’instant nous admettons l’existence de C mais dans un futur plus ou moins proche, nous donnerons une construction de C à partir de R.
(Note 2 )
Chacun de ces ensembles de nombres a des particularités qui ne sont pas seulement liées à la présence d’éléments
nouveaux :
– d’une part, les propriétés des opérations que l’on effectue en leur sein les différencient ; nous allons voir
ça tout de suite.
– d’autre part, sauf pour C qui n’est pas concerné, les propriétés liées à l’exitence de la relation d’ordre
usuelle ≤ les distinguent les uns des autres ; nous verrons cela au cours de prochains chapitres.
B.2
Comportement de ces ensembles vis à vis de l’addition et la multiplication
On va consigner dans le tableau qui suit les propriétés de N, Z, Q et R relatives aux opérations usuelles + et ×,
sachant que + et × sont bien des opérations (des lois de composition internes) de N (respectivement de Z, de
Q, de R) car la somme et le produit de deux éléments de N (respectivement de Z, de Q, de R) reste encore un
élément de N (respectivement de Z, de Q, de R).
Lois
+
Propriété
P 1. Associativité
P 2. Commutativité
P 3. Existence d0un élément neutre
P 4. T out élément admet un opposé
Nom de la structure
×
P 10 . Associativité
P 20 . Commutativité
P 30 . Existence d0un élément neutre
×,+
P 40 . Distributivité de × sur +
P 50 . T out élément non nul admet un inverse
Nom de la structure
B.3
Les propriétés fondamentales de (C, + ,×)
1. L’addition usuelle (que vous connaissez) dans C est ce qu’on appelle opération ou loi de composition
interne sur C : additionner dans C c’est associer à tout couple (z,z 0 ) de complexes un complexe que l’on
2. C mis à part, nous ne nous interessons pas à une construction de ces ensembles. On peut en effet bâtir (a posteriori, ce n’est naturellement pas ce qui s’est passé historiquement) les ensembles dans un ordre ascendant : d’abord construire N (cela se fait à partir d’axiomes),
en déduire Z (en gros, en ”adjoignant” les opposés des entiers naturels), puis Q (en définissant les fractions d’un entier par un entier non
nul) ; on construit ensuite R à partir de Q (c’est un passage difficile, techniquement et conceptuellement, par rapport aux constructions précédentes -nous ne l’étudierons pas mais nous nous en ferons une idée lors du chapitre consacré aux propriétés de R qui préparera à l’étude
des fonctions-).
Mathématiques
chapitre : Nombres complexes
page 6
note z + z 0 . En d’autres termes, on a une application C × C → C
.
(z,z 0 ) 7→ z + z 0
L’addition dans C possède certaines propriétés remarquables :
P1
P2
P3
P4
elle est associative :
elle est commutative :
elle possède un élément neutre, c’est 0 :
tout élément de C possède un symétrique pour la loi +, appelé opposé :
Du fait que l’addition de C possède les propriétés P1, P3 et P4, on dit que C muni de l’addition (abrégé
(C,+)) possède une structure de groupe ou est un groupe (plus simplement).
De plus le groupe (C,+) est commutatif (propriété P2) : (C,+) est un groupe commutatif ou groupe abélien.
2. Dans C, il y a aussi une autre opération (ou loi de composition interne), la multiplication : multiplier dans
C c’est associer à tout couple (z,z 0 ) de complexes un complexe que l’on note z × z 0 ou z.z 0 ou encore zz 0
(i.e. on a une application C × C → C ).
(z,z 0 ) 7→ zz 0
La multiplication dans C possède les propriétés suivantes :
P1’
P2’
P3’
P4’
P5’
– Du fait que (C,+) est un groupe abélien (paragraphe précédent) et que la multiplication de C possède
les propriétés P1’, P3’, et que les lois + et × sont liées par la propriété P4’ , on dit que C muni de l’addition et de la multiplication possède une structure d’anneau ou est un anneau (plus simplement).
– La propriété P’2 en fait par ailleurs ce qu’on appelle un anneau commutatif.
– Enfin avec la propriété P’5 on dit que est muni d’une structure de corps.
– On abrège : (C, + ,×) est un corps commutatif .
3. S YNTHÈSE ET COMPLÉMENTS Les quatre propriétés fondamentales de l’ensemble des nombres complexes C muni de ses opérations usuelles + et × sont les suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
(C, + ,×) est un corps .
C contient R (i.e. R ⊂ C) et les opérations + et × de C prolongent les opérations + et × sur R.
Il existe un élément de C, noté i, tel que i2 = −1.
Tout z ∈ C s’écrit de façon unique sous la forme z = x + iy avec (x,y) ∈ R 2 . (Note 3 ).
3. Il suffit en fait de poser que pour tout z ∈ C, il existe (x,y) ∈ R2 tel que z = x + iy. En effet, si z ∈ C, l’unicité de (x,y) ∈ R2 de
z = x + iy est une nécessité : si z = x + iy = x0 + iy 0 avec (x0 ,y 0 ) ∈ R2 , alors x − x0 = i (y 0 − y), donc (x − x0 )2 = i2 (y 0 − y)2 d’où
(x − x0 )2 = − (y 0 − y)2 donc (ce sont des réels) x − x0 = y 0 − y = 0 et finalement (x0 ,y 0 ) = (x,y).
Mathématiques
chapitre : Nombres complexes
page 7
Remarque 2
Pour nous, ces propriétés fondamentales ne sont que des constats (c’est-à-dire que nous admettons ici l’existence de
(C, + ,×) vérifiant les quatre propriétés fondamentales) ; nous verrons un de ces jours en exercice une ”construction” de C à partir de R (justifiant par là qu’il existe bien un ensemble muni de deux lois vérifiant les quatre
points fondamentaux 1)2)3)4) énoncés plus haut).
B.4
Forme algébrique d’un nombre complexe, parties réelle et imaginaire
Définition 1 L’écriture sous forme algébrique d’un nombre complexe z est son écriture (unique)
sous la forme z = x + iy où (x,y) ∈ R2 . Si z = x + iy, le réel x est appelé la partie réelle de z et est
noté Re (z), le réel y est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im (z).
Définition 2
– Le sous-ensemble des nombres réels est alors l’ensemble des nombres complexes z tels que Im (z) = 0.
– On appelle imaginaire pur tout nombre complexe z tel que Re (z) = 0 (i.e. z = iy avec
y ∈ R). Le sous-ensemble des imaginaires purs est noté iR.
Remarque 3
L’ensemble des imaginaires purs est-il un groupe pour la loi + usuelle de C?
L’ensemble des imaginaires purs est-il un corps pour les lois + et × usuelles de C?
Propriétés (se vérifiant tranquillement)
1. (a) ∀ (z,z 0 ) ∈ C2 ,Re (z + z0 ) = Re (z) + Re (z0 ).
(b) ∀z ∈ C,Re (−z) = −Re (z) .
(c) ∀ (z,z 0 ) ∈ C2 ,Re (zz0 ) = Re z Re z0 − Im z Im z0
µ ¶
Re z
1
=
(d) ∀z ∈ C\ {0} ,Re
2
2
z
Im (z) + Re (z)
2. (a) ∀ (z,z 0 ) ∈ C2 ,Im (z + z0 ) = Im (z) + Im (z0 ) .
(b) ∀z ∈ C,Im (−z) = −Im (z).
(c) ∀ (z,z 0 ) ∈ C2 ,Im (zz0 ) = Re z Im z0 + Re z0 Im z
µ ¶
Im z
1
=−
(d) ∀z ∈ C\ {0} ,Im
2
2
z
Im (z) + Re (z)
B.5
Interprétation géométrique des complexes
−
−
On appelle plan complexe un plan P affine euclidien muni d’un repère orthonormal (O, →
e1 ,→
e2 ).
Il y a ”deux” interprétations géométriques des complexes :
– la première est affine (i.e. relative aux points de P) :
– tout nombre complexe z = x + iy où (x,y) ∈ R2 peut être représenté par le point M de P de coordon−
−
nées (x,y) dans (O,→
e1 ,→
e2 ) : M est appelé l’image (le point image) de z ; on le note M (z).
−
−
– tout point M de P de coordonnées (x,y) dans (O,→
e1 ,→
e2 ) est, réciproquement, l’image d’un unique
complexe : z = x + iy qui est appelé l’affixe de M .
– la seconde est vectorielle (i.e. relative aux vecteurs de P) :
−
– tout nombre complexe z = x + iy où (x,y) ∈ R2 peut être représenté par le vecteur →
u de P de
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
coordonnées (x,y) dans la base ( e1 , e2 ) ( u = x e1 + y e2 ) : u est appelé (aussi) l’image (le vecteur
−
image) de z ; on le note →
u (z).
→
−
−
−
– tout vecteur u de P de coordonnées (x,y) dans (→
e1 ,→
e2 ) est, réciproquement, l’image d’un unique
→
−
complexe : z = x + iy qui est appelé (aussi) l’affixe de u .
Mathématiques
chapitre : Nombres complexes
page 8
– on a de plus les propriétés suivantes, qui font le lien entre le groupe (C,+) et le groupe (V P ,+) (note 4 )
des vecteurs de P :
→
−
−
−
1. ∀ (z,z 0 ) ∈ C2 ,→
w (z + z 0 ) = →
u (z) + u0 (z 0 )
→
−
−
2. →
u (0) = 0
→
−
−
3. ∀z ∈ C,→
u (−z) = − u0 (z)
Notons que les deux interprétations géométriques (affine et vectorielle) sont reliées l’une à l’autre par la pro−−−→
priété : si M a pour affixe z et M 0 a pour affixe z 0 , alors M M 0 a pour affixe z 0 − z.
−
Définition 3 L’axe (O,→
e1 ) est appelé axe des réels : ses points sont les points d’affixe réelle ; l’axe
→
−
(O, e2 ) est appelé axe des imaginaires : ses points sont les points d’affixe imaginaire pur.
C Conjugaison et module
C.1
Conjugaison
C.1.1
Définition
Définition 4 Si z = x+iy est un nombre complexe sous forme algébrique , on appelle conjugué de
z le nombre complexe x − iy ; il est noté z. On appelle conjugaison dans C l’application C → C .
z 7→ z
Interprétation géométrique :
C.1.2
Propriétés
Propriétés 1 Pour tous z, z 0 de C on a : z = z, z + z 0 = z + z 0 , −z = −z,
µ ¶
1
1
zz 0 = zz 0 et si de plus z 6= 0
= .
z
z
1
Propriétés 2 1. Pour tout z ∈ C, on a Re (z) =
(z + z) et Im (z) =
2
1
(z − z).
2i
2. z ∈ R si et seulement si z = z.
3. z ∈ iR si et seulement si z = −z.
C.2
Module
C.2.1
Définition
Définition 5 et proposition
Etant donné un nombre complexe z , zz est un réel positif et on appelle module de z le réel positif
√
| z |= zz
4. (VP ,+) est en effet un groupe...
Mathématiques
C.2.2
page 9
chapitre : Nombres complexes
Propriétés
Proposition 1 Pour tout complexe z ∈ on a
1. | z |= 0 ssi z = 0
2. | z |=| z |
3. | Im(z) |≤| z | avec égalité ssi z ∈ i
4. | Re(z) |≤| z | avec égalité ssi z ∈
Proposition 2 Pour tous complexes z1 et z2 on a :
1. | z1 z2 |=| z1 | × | z2 |
2. Si en plus z2 6= 0
| z1 |
z1
|=
(a) |
z2
| z2 |
(b) ∀n ∈ :| z2n |=| z2 |n
(c) | z1 + z2 |≤| z1 | + | z2 | avec égalité ssi z1 et z2 sont positivement
liés .
(d) || z1 | − | z2 || ≤| z1 − z2 |
Exemple 4
1. L’ensemble des nombres sommes de deux carrés d’entiers est stable par produit.
2. Montrer que pour tout z ∈ C, √12 (|Rez| + |Imz|) ≤ |z| ≤ |Rez| + |Imz|.
C.2.3
Nombres complexes de module 1
Proposition 3 L’ensemble U des nombres complexes de module 1 est un
groupe pour la loi ×.
Remarque 4
• Rappelant que ( ∗ ,×) est lui même un groupe, on dira alors que (U,×) est un sous groupe de (
• Rappelons aussi que pour tout complexe z non nul :
z ∈ U ⇐⇒ z =
∗
,×) .
1
z
Proposition 4 Tout complexe non nul s’écrit de façon unique sous la forme
z = ρu avec ρ ∈ ∗+ et u ∈ U.
D Arguments d’un complexe non nul, forme trigonométrique d’un complexe
D.1 Représentation des complexes de module 1
Notation 1 Pour θ ∈
on note eiθ le complexe cos(θ) + i sin(θ).
Remarque 5
1. eiθ est un complexe de module 1.
i0
2. e = 1
3. Pour θ ∈ on note e−iθ le complexe ei(−θ ) de sorte qu’on a
e−iθ = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos(θ) − i sin(θ) = eiθ
Proposition 5 L’application Φ :
→ U vérifie
θ 7→ eiθ
1. Φ est surjective.
2. ∀(θ,θ 0 ) ∈ 2 , Φ(θ + θ 0 ) = Φ(θ)Φ(θ 0 )
3. ∀θ ∈ , Φ(θ) = 1 ⇐⇒ θ ≡ 0 (mod 2π)
=
eiθ ∈U
1
eiθ
Mathématiques
page 10
chapitre : Nombres complexes
D.2 Arguments d’un complexe non nul,forme trigonométrique d’un nombre complexe
Définition 6 Soit z ∈ . On appelle forme trigonométrique de z toute écriture de la forme z =
ρeiθ avec ρ ∈ + et θ ∈ .
Proposition 6
1. Tout complexe possède une forme trigonométrique.
2. Si ρ1 eiθ1 et ρ2 eiθ2 sont deux formes trigos de z ∈ ∗ alors
ρ1 = ρ2 = |z| et θ1 ≡ θ2
(mod 2π)
Proposition 7 Soient z1 et z2 deux complexes non nuls de formes trigos respectives z1 = ρ1 eiθ1 et z2 = ρ2 eiθ2 6= 0. On a alors
1. z1 z2 = ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 )
z1
ρ1
2.
= ei(θ1 −θ2 )
z2
ρ2
3. ∀n ∈ : (z1 )n = ρn1 ei(nθ)
tels que z = |z|eiθ . Un élément de
Remarque 6
1. Pour z ∈ ∗ , on note arg(z) l’ensemble des réels θ ∈
arg(z) est alors appelé un argument de z.
2. Les propositions 6 et 7 permettent alors facilement d’obtenir les résultats suivants :
Corollaire 1
(a) Si z ∈
∗
alors arg(z) 6= ∅ . Mieux , si θ0 ∈ arg(z) alors
arg(z) = {θ0 + 2kπ,k ∈ }
En gros ceci permet de dire qu’un argument de z " est défini de façon unique à 2π près " et en particulier on pourra sans risque de confusion noter θ ≡ arg(z) (mod 2π) pour signifier que θ ∈ arg(z).
(b) On peut encore préciser un peu : Pour tout réel a , il existe un unique élément de arg(z) dans ]a,a+2π].
Pour a = −π , le réel obtenu est appelé argument principal de z et noté Arg(z).
(c) On a les caractérisations , pour z1 et z2 complexes non nuls d’arguments θ1 et θ2 :
z1 = z2 ⇐⇒ |z1 | = |z2 | et θ1 ≡ θ2
(mod 2π) ⇐⇒ |z1 | = |z2 | et arg(z1 ) ≡ arg(z2 )
(mod 2π)
θ ∈ arg(z1 z2 ) ⇐⇒ θ ≡ θ1 + θ2 (mod 2π) ⇐⇒ θ ≡ arg(z1 ) + arg(z2 ) (mod 2π)
z1
θ ∈ arg( ) ⇐⇒ θ ≡ θ1 − θ2 (mod 2π) ⇐⇒ θ ≡ arg(z1 ) − arg(z2 ) (mod 2π)
z2
∀n ∈ : θ ∈ arg(z1n ) ⇐⇒ θ ≡ nθ1 (mod 2π) ⇐⇒ θ ≡ n arg(z1 ) (mod 2π)
1+z
∈ R.
1−z
2. Montrer que si |z| ≤ k < 1 alors 1 − k ≤ |1 + z| ≤ 1 + k. Faire un dessin et montrer qu’il peut y avoir égalité.
3. Montrer
¯
¯ algébriquement et géométriquement que si |z| = 1 alors |1 + z| ≥ 1 ou
¯1 + z 2 ¯ ≥ 1.
Exemple 5
1. Montrer que si z ∈ U \ {1} alors i
D.3 Exponentielle complexe
Définition 7 Soit z = x + iy un nombre complexe écrit sous forme algébrique. On appelle exponentielle complexe et on note ez ou exp(z) le nombre complexe
ez = exp(x)eiy
Remarque 7 Les éternels problèmes de cohérence avec les notations e iθ et ex pour θ et x réels.
Proposition 8 Soit z = x + iy un nombre complexe écrit sous forme algébrique :
1. | exp(z)| = exp(Re(z))
2. ∀θ ∈ : θ ∈ arg(ez ) ⇐⇒ θ ≡ y (mod 2π)
Mathématiques
chapitre : Nombres complexes
Proposition 9 L’application Φ :
page 11
→ ∗ vérifie
z 7→ ez
1. Φ est définie et surjective.
2. ∀(z,z 0 ) ∈ 2 , Φ(z + z 0 ) = Φ(z)Φ(z 0 )
3. ∀z ∈ , Φ(z) = 1 ⇐⇒ z ∈ 2iπ
Exemple 6
1. Mettre sous forme trigonométrique 1 + eiθ où θ ∈ [−π,π]. Mettre sous forme trigonométrique
iθ
1 + e où θ ∈ [0,2π]. Mettre sous forme trigonométrique 1 − eiθ où θ ∈ [0,2π].
√
2. Résoudre dans C l’équation exp(z) = 3 + 3i.
E Applications à la trigonométrie
E.1 Formules d’Euler, linéarisation
Propriété 1 (Formules d’Euler) Pour tout θ ∈ R on a les relations :
cos θ =
¢
1 ¡ iθ
e + e−iθ
2
sin θ =
¢
1 ¡ iθ
e − e−iθ .
2i
Les formules d’Euler sont très utiles lorsqu’il s’agit de linéariser des quantités de la forme cos p θ sinq θ (p,q ∈ N),
c’est-à-dire de les exprimer comme somme avec des coefficients réels constants (on dit combinaison linéaire) de
1, cos θ, sin θ, cos 2θ, sin 2θ,...., cos mθ, sin mθ (m ∈ N et en fait m = p + q).
Remarque 8
Rem1 Les linéarisations de cos2 θ = ......................, sin2 θ = ......................, et cos θ sin θ = ...................... doivent
être connues.
Rem2 Intérêt de l’opération : linéariser permet par exemple de simplifier notablement la dérivation et surtout la
primitivation (et donc l’intégration) des fonctions de la forme θ 7→ cos p θ sinq θ.
Exemple 7
1
Montrer que pour tout θ réel : sin2 θ cos3 θ = − 16
cos 5θ −
π
¢
R
R π2 ¡ 2
3
2
2
Calculer 0 sin θ cos θ dθ et 0 cos θdθ
1
16
cos 3θ +
1
8
cos θ.
E.2 Formule de Moivre, ”délinéarisation”
Propriété 2 (Formule de Moivre) Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N, on a :
n
(cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ.
Le formule de Moivre est très utile lorsqu’il s’agit de ”délinéariser” cos nθ ou sin nθ, c’est-à-dire de les exprimer
comme un polynôme en sin θ, cos θ. La méthode consiste simplement à identifier cos nθ et sin nθ avec la partie
n
réelle et la partie imaginaire respectivement de (cos θ + i sin θ) en développant cette quantité à l’aide de la
formule du binôme de Newton.
Le cas général est traité en exercice (où nous déduisons aussi tan nθ comme fonction rationnelle de tan θ).
Rem1 Les ”délinéarisations” de sin 2θ = ................. et cos 2θ = .................. = .................. = .................. sont à
connaître par coeur.
Rem2 Intérêt de l’opération : ”délinéariser” permet d’exprimer cos nθ et sin nθ comme des polynômes en sin θ
et cos θ ; or les polynômes ont des propriétés divines ... (comme admettre des racines que parfois l’on sait
déterminer...).
Exemple 8
cos 5θ = cos5 θ − 10 cos3 θ sin2 θ + 5 cos θ sin4 θ ; sin 5θ = sin5 θ − 10 cos2 θ sin3 θ + 5 cos4 θ sin θ
Mathématiques
page 12
chapitre : Nombres complexes
et que
cos 5θ = 16 cos5 θ − 20 cos3 θ + 5 cos θ
sin 5θ = 16 sin5 θ − 20 sin3 θ + 5 sin θ
– Remarque 9 En est-il toujours de même? Peut-on toujours exprimer cos nθ comme polynôme en cos θ
uniquement ? La réponse est oui (voir exercice). Peut-on toujours exprimer sin nθ comme polynôme
en sin θ uniquement? La réponse est non en général, cela dépend de la parité de n ; si n est impair on
peut (exemple n = 5), si n est pair on ne peut pas (exemple n = 2 : sin 2θ = 2 sin θ cos θ ... difficile de
l’exprimer comme polynôme en sin θ uniquement -ou même cos θ -).
Exemple 9
1. Calculer les sommes, pour n ∈ N,x ∈ R : Sn =
nous sommons, calculer aussi Un =
n
P
k=0
ch (kx) et Vn =
n
P
k=0
n
P
cos (kx) et Tn =
k=0
n
P
sin (kx). Pendant que
k=0
sh (kx) pour n ∈ N et x ∈ R.
2. Linéariser sin3 x cos3 x (où x ∈ R).
3. Soient (p,q) ∈ R. Retrouver directement, en utilisant les nombres complexes, les formules de transformation des sommes cos p + cos q et sin p + sin q en produits.
4. Expressions de cos nθ et sin nθ en fonction de cos θ et sin θ.
π
π
5. Expression à l’aide de radicaux de cos . On pose λ = cos . Pour θ ∈ R, exprimer cos (5θ) comme un
10
10
polynôme en cos θ. En déduire un polynôme de degré 4 dont λ est une racine. En déduire λ.
F Racines n-ièmes dans C
On se donne n ∈ N∗ pour toute la suite.
Intro Dans C, c’est une propriété essentielle, tout complexe admet au moins une racine nième ; en d’autres
termes l’eq z n = a admet toujours au moins une solution. Plus précisément, nous allons voir que z n = a
admet une solution si a = 0, en admet exactement n si a 6= 0 que nous allons exprimer à l’aide des
racines nièmes de 1 et de l’écriture trigonométrique des complexes. Nous finirons le paragraphe par le cas
particulier des racines carrées qui nous mènera naturellemenrt aux équations du second degré dans C.
F.1 Racines n-ièmes de l’unité
Définition 8 Une racine nième de l’unité est un complexe z tel que z n = 1. On note Un l’ensemble des racines nièmes de l’unité : Un = {z ∈ C/z n = 1} (autrement dit l’ensemble des solutions dans C de l’équation z n = 1).
D’abord, on l’a déjà dit :
Propriété 3 On a
1. Un ⊂ U
2. 1 ∈ Un
3. Pour tout z,z 0 ∈ Un , zz 0 ∈ Un (le produit de deux racines nièmes est une
racine nième)
1
4. Pour tout z ∈ Un on a (z 6= 0 et) ∈ Un (l’inverse d’une racine nième est
z
une racine nième)
Remarque 10
C’est-à-dire que
avec 1)on a Un ⊂ U ⊂ C∗
puis avec 2),3),4) (cf ce qui a été vu pour U ) on peut dire que Un est un groupe -commutatif- muni de la loi ×
usuelle de C.
De plus Un est inclus dans U (1)) qui est aussi un groupe pour la loi × : on dira que U n est un sous-groupe de
(U,×) (on verra ça un de ces jours).
Mathématiques
page 13
chapitre : Nombres complexes
Maintenant, qui sont les éléments de Un ?
Proposition 10 Un =
ments qui sont 1,e
i 2π
n
n
2π
1,ei n ,...,ei
,...,e
2(n−1)π
i
n
.
2(n−1)π
n
o
: Un possède exactement n élé-
2π
Autrement dit : l’équation z n = 1 possède exactement n solutions qui sont 1,ei n ,...,ei
2(n−1)π
n
.
Exemple 10
U1 = {1}, U2 , U3 ,U4 avec les ωi . Notation j. Dessins.
Remarque 11
ª
©
2π
Rem1 On a Un = 1,ωn ,...,ωnn−1 où ωn = ei n : on dit qu’il est engendré par l’élément ωn , ou encore que ωn est
un générateur du groupe (Un ,×).
Il peut y avoir d’autres éléments qui engendrent Un (il y en a toujours d’autres en fait dès que n ≥ 3).
Rem2 On peut ajouter aux propriétés algébrique de Un que : si z ∈ Un alors z ∈ Un .
Rem3 Une propriété à retenir aussi pour n ≥ 1 :
– pour α ∈ Un \ {1} on a 1 + α + ... + αn−1 = 0..... Attention pour α = 1 c’est faux : 1 + α + ... + αn−1 = n.
– En particulier la somme des n racines nièmes (distinctes) de l’unité est nulle.
Exemple : 1 + (−1) = 0 (n = 2), 1 + j + j 2 = 0, 1 + i − 1 − i = 0.
F.2 Racines n-ièmes d’un complexe quelconque
Définition 9 Soit z un nombre complexe quelconque . On dit que u ∈
lorsque un = z.
est une racine n ieme de z
Proposition 11 Soit z un nombre complexe quelconque et u ∈
nieme de z. L’ensemble des racines niemes de z est alors
une racine
{uξ , ξ ∈ Un }
Proposition 12 Soit z un nombre complexe quelconque non nul écrit sous
√ θ
forme trigo z = ρeiθ . Alors u = n ρei n est une racine nieme de z. L’ensemble
iemes
des racines n
de z est alors
n√
o
θ
2kπ
n
ρei( n + n ) ,k ∈ [[0,n − 1]]
Remarque 12
1. Bien entendu on peut décliner la propo 12 sous diverses formes concernant la description
de l’ensemble des racines niemes de z. Il vaut par exemple
o
n√
2kπ
θ
n
ρei( n + n ) ,k ∈ [[a,a + n − 1]]
pour a quelconque dans .
2. On retiendra la caractérisation de l’égalité An = B n dans
rencontrée dans la propo 11.
F.3 Cas particulier des racines carrées
F.4 Équations du second degré à coefficients dans C
Proposition 13 Soit z un nombre complexe non nul . Alors l’ensemble des
racines carrées de z contient exactement deux nombres complexes distincts et
opposés.
Mathématiques
page 14
chapitre : Nombres complexes
π
π
Remarque 13 Point méthode avec application à la recherche de cos( ) et sin( ) via l’extraction des racines
8
8
carrées de 1 + i.
Proposition 14 Toute équation du second degré à coefficients dans
dans deux racines ( éventuellement confondues ) .
possède
Remarque 14 On retiendra bien , comme c’était déjà le cas dans
.
, le rôle joué par le discriminant de l’équation
Exemple 11
1. Déterminer les racines quatrièmes de −7 − 24i.
2. Des équations à gogo. Résoudre dans C les équations : 1) z 2 = 27z̄. 2) 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0. 3) z 2 +
(1 − 2i) z − 2i = 0. 4) z 4 − 30z 2 + 289 = 0.
¡
¢n
2n
3. Soit n ∈ N∗ . Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ C : z 2 + 1 − (z − i) = 0.
4. Comment se déplacent dans C les racines de l’équation z 2 − 2λz + 1 = 0 quand λ décrit R?
Qn
2ikπ
le polynôme X n − 1 en
5. On admet la factorisation ∀ z ∈ C : z n − 1 = k=1 (z −Q
e n ): Décomposer
Qn alors kπ
n
kπ
produit de polynômes réels de degrés 1 ou 2 et calculer k=1 cos( n ) et k=1 sin( n ).
6. Racines 2nièmes de l’unité et déduction de quelques identités
(a) Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : z 2n − 1 = 0. Que dire des images des solutions
dans le plan complexe? Exprimer z 2n − 1 en produit de facteurs du premier degré.
(b) Justifiez la formule, pour z 2 6= 1 :
n−1
z 2n − 1 X 2k
=
z
z2 − 1
k=0
(c) Montrer que, pour n ≥ 2 :
n−1
¢¡ 2
¡ ¢
¢
¡ ¢
P 4k n−1
Q ¡ 2
z + 2i sin kπ
z =
z − 2i sin kπ
2n z − 1
2n z − 1 .
k=0
k=1
(d) En déduire que, pour n ≥ 2 :
n−1
Y
k=1
sin
µ
kπ
2n
¶
=
√
n
.
2n−1
Mathématiques
page 15
chapitre : Nombres complexes
G Interprétation géométrique de quelques transformations de C
On présente rapidement au tableau la notion de fonction complexe associée à une transformation
de plan . On admettra ensuite que
1. On l’a déjà dit : la conjugaison C → C est l’écriture complexe de la
z 7→ z
symétrie orthogonale par rapport à (Ox).
Soit λ ∈ R+ . La transformation C → C est l’écriture complexe de l’homothétie de
z 7→ λz
centre O et de rapport λ.
Soit α ∈ R. La transformation C → C
est l’écriture complexe de la rotation de centre
z 7→ eiα z
O et d’angle α.
(Cas englobant les deux précédents, le premier avec λ 6= 0). Soit a ∈ C ∗ . Si on écrit a = λeiα
avec λ ∈ R+ et α ∈ R, la transformation C → C est l’écriture complexe de la composée
z 7→ az
commutative (i.e. dans n’importe quel sens) de l’homothétie de centre O et de rapport λ et
de la rotation de même centre O et d’angle α : c’est une similitude directe du plan, c’est la
similitude directe de centre O, de rapport λ et d’angle α.
(Cas général). Soit a,b ∈ C. On considère la transformation f : C → C
.
z 7→ az + b
Proposition 15
2.
3.
4.
5.
– Si a = 0, f est l’application constante égale à b.
– Si a = 1, f est l’écriture complexe de la translation de vecteur d’affixe b.
b
, et si on écrit
– Si a 6= 0 et a 6= 1, alors f admet un unique point fixe, le complexe
1−a
a = λeiα avec λ ∈ R∗+ et α ∈ R, f est l’écriture complexe de la composée commutative
b
et de rapport λ et de la rotation de même
de l’homothétie de centre Ω d’affixe
1−a
centre Ω et d’angle α : c’est la similitude directe de centre Ω, de rapport λ et d’angle α.
Exemple 12
1. Soient, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives a,b et c tels que |a| =
|b| = |c|. Prouver que ABC est équilatéral ssi a + b + c = 0.
2. Soient [AB] et [A0 B 0 ] des segments de longueurs non nulles du plan affine euclidien P. Montrer qu’il existe
−−→ −−−→
une similitude directe de P envoyant A sur A0 et B sur B 0 . Que pouvez-vous ajouter lorsque AB = A0 B 0 ?
−−→ −−0−→0
Lorsque AB 6= A B ?
3. Soit n ∈ ∗ ; on note P,Q les polynômes de [X,Y ] définis par:
∀ (x; y) ∈
2
: (x + iy)n = P (x; y) + iQ(x; y)
Soit (a; b) ∈ 2 − {(0; 0)}. Montrer que l’équation aP (x; y) + bQ(x; y) = 0 représente la réunion de n droites
passant par O et faisant entre elles des angles successifs égaux.
x+iy
.
Indication: On pourra commencer par étudier ϕ = Arg x−iy
H Les exos en vrac
1. Vrai ou Faux?
(a) Il existe (x,y) ∈ R2 , tel que pour tout z ∈ C, z = x + iy : V
(b) Pour tout z ∈ C, il existe (x,y) ∈ R z = x + iy : V
2
(c) Si x + iy = x + iy , alors x = x et y = y : V
0
0
0
(d) Tout complexe s’écrit sous la forme ρe
0
iα
F
F
F
avec ρ ∈ R+ , unique, et α ∈ R, unique à 2π près : V
(e) Dans C, une équation du second degré admet deux racines conjuguées : V
F
F
Mathématiques
chapitre : Nombres complexes
page 16
2. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z tels que les images dans le plan complexe
de i, iz et z soient alignés.
n
n
P
P
3. Soit n ∈ N. Calculer
ik puis
(k + 1) ik .
k=0
k=0
4. Montrer que si a = eiα et b = eiβ (α,β ∈ R) sont tels que ab 6= −1, alors :
´
³
cos α−β
2
a+b
³
´
=
1 + ab
cos α+β
2
5. Soit a,b,c ∈ C tels que |a| = |b| = |c| = 1. Montrer que |a + b + c| = |ab + bc + ca| .
6. Déterminer l’affixe des centres de gravité des
µtriangles
¶ ABC qui sont tels que : ABC est rectangle en A, où
−
−
→
π
\
−
A a pour affixe 1 + i, B est sur l’axe (Oy) et →
e1 ,BA ≡ − mod2π, AC = 2.
3
7. Soient a,b,c ∈ R tels que:
cos (a) + cos (b) + cos (c) = sin (a) + sin (b) + sin (c) = 0
Montrer que
cos (2a) + cos (2b) + cos (2c) = sin (2a) + sin (2b) + sin (2c) = 0
8. cor Soit a,b,c ∈ C tels que |a| = |b| = |c| = 1 et a + b + c = 1. Montrer que a = 1 ou b = 1 ou c = 1.
9. cor Lieu des points dont l’affixe z vérifie :
¯
¯
¯
¯
¯z − 1 ¯ = 2
¯
z¯
∗
10. cor Quelques
Soient
µ
¶ sommes.
µ
¶ p ∈ Nµ et n ≥ p −
¶1. On définit les p sommes Sk , où k ∈ {0,...,p − 1}, suivantes :
n
n
n
Sk =
+
+ ... +
, λ étant le plus grand entier tel que k + λp ≤ n.
k
k+p
k + λp
(a)
(b)
(c)
Pour p = 1, donner S0 .
Pour p = 2, reconnaître un exercice déjà fait.
n
n
Pour
p ¢= 3, calculer S0 , S1 et S2 . Il pourra être judicieux d’exprimer successivement (1 + 1) , (1 + j) et
¡
2 n
1+j
en fonction de S0 , S1 et S2 .
(d) Pour p = 4, proposer une méthode pour calculer S0 , S1 , S2 et S3 .
(e) Dans le cas général, écrire q = k + λp à l’aide d’une partie entière.
11. On note D = {z ∈ C; |z| < 1} et
H = {z ∈ C; Re (z) < 0} . On considère l’application :
u : C − {i} → C, z 7→
i+z
i−z
12. Soit z ∈ C − R− . On pose z = x + iy, avec (x,y) ∈ R2 .
Soit θ la détermination principale de l’argument de z. Montrer que :
Ã
!
y
p
θ = 2 arctan
x + x2 + y 2
13. Soient O,A,B trois points deux à deux distincts de E2 et C et D les images respectives de A et B dans une
simitudes directe S de centre O. On construit les triangles ADM et CBN directement semblables à ABO.
Montrer que O est le milieu de [M N ].
b−d
Indication: On pourra, en notations complexes, noter A(a),B(b) . . . et prouver par exemple que m = a b−a
.
¤
£
π π
∗
14. Une équation (un peu) plus compliquée que d’habitude (l’habitude...). Soient n ∈ N et a ∈ − 2 ; 2 .
¶n
µ
1 + iz
1 + i tan a
.
On cherche à résoudre l’équation (E) d’inconnue z ∈ C :
=
1 − iz
1 − i tan a
(a)
i. Justifier que
1 + i tan a
= e2ia .
1 − i tan a
Mathématiques
page 17
chapitre : Nombres complexes
1 + i tan a
.
1 − i tan a
1 + iz
(b) Soit ω ∈ C. Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ C :
= ω. On précisera pour quelle valeur du
1 − iz
paramètre ω ∈ C cette équation n’admet pas de solution.
2kπ
2a
(c) Pour la suite de l’exercice, on pose, pour k ∈ {0,...,n − 1}, ω = ei( n + n ) .
ii. Résoudre l’équation d’inconnue Z ∈ C : Z n =
k
i. Montrer que les solutions de (E) sont les complexes de la forme
et ωk 6= −1.
ii. Soit k ∈ {0,...,n − 1} tel que ωk 6= −1. Montrer que
ωk − 1
avec k ∈ {0,...,n − 1}
i (1 + ωk )
ωk − 1
= tan
i (1 + ωk )
µ
¶
a kπ
.
+
n
n
(d) Montrer qu’il existe k ∈ {0,...,n − 1} tel que ωk = −1 si et seulement si n est pair et a = 0.
i. Donner l’ensemble des solutions de l’équation (E).
ii. Combien l’équation (E) admet-elle de solutions?
15. cor
(a) Soient A,B,C des points distincts du plan complexe, d’affixes respectives a,b,c.
b−a
est imaginaire pur.
Justifier que le triangle ABC est rectangle en B si et seulement si
b−c
(b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z ∈ C\ {−1; 0; 1} tels que les points M , N d’affixe z 2 , P
d’affixe z 3 , constituent un triangle rectangle. On traitera successivement les trois cas.
16. cor
• On désigne par l’ensemble des nombres complexes de module 1 et par
complexes de module inférieur ou égal à 1.
l’ensemble des nombres
• Soit a un nombre complexe non nul de module strictement inférieur à 1. Pour z ∈
fa (z) =
\ { a1 }, on pose
z−a
1 − az
(a) Prouver que fa induit une bijection de \ { a1 } sur un ensemble à préciser.
(b) Prouver , pour z ∈ \ { a1 }, les équivalences suivantes :
|z| < 1 ⇐⇒ |fa (z)| < 1
|z| = 1 ⇐⇒ |fa (z)| = 1
(c) On note ϕa la restriction de fa à
. Prouver que ϕa induit une bijection de
dans
.