DM1

TS1 Spémaths
Correction du DM1
10/10/2014
Exercice de divisibilité : déterminer les entiers naturels d et n tels que :
.
s’il existe un entier d qui divise
, alors
Par suite :
.
On a donc
étant donné que d est supposé être un entier naturel.
Si d =1 , alors pour tout entier naturel
Une première famille de solutions
Si d = 5 alors on doit bien sûr avoir
on aura
et nécessairement
Réciproquement si
 n est un entier naturel,
 et
 et aussi
.
est donc trouvée avec
et comme pour tout entier n,
: il existe donc un entier naturel
,
alors
: les deux entiers sont bien divisibles par 5.
Une deuxième famille de solutions
est donc trouvée avec
b) si
tel que
, il existe un entier naturel
tel que
et on peut alors écrire
.
TS1 Spémaths
Correction du DM1
10/10/2014
Exercice n° 115 :
1° On veut établir que : SI n n’est pas le carré d’un entier, ALORS il existe dans sa décomposition un
nombre premier avec un exposant impair.
Etablissons la contraposée de cette propriété, càd : SI TOUS les exposants des nombres premiers dans
la décomposition d’un entier sont pairs, ALORS cet entier est le carré d’un autre entier.
On écrit donc la décomposition de n : il existe k entiers premiers
et k entiers naturels non nuls
, tels que
les exposants sont pairs.
Mais alors
où
suite n est le carré de m.
puisque tous
et
et par
Remarquons au passage que "réciproquement" avec l’écriture
il apparait clairement aussi que SI
un entier est un carré ALORS les exposants des nombres premiers dans sa décomposition sont tous pairs.
2° a) on sait donc à présent qu’il existe un nombre premier p dont l’exposant dans la décomposition de n
est impair.
Grace à la remarque faite en fin du 1° , on sait que l’exposant de p dans b² ne peut être que pair
(éventuellement égal à 0 d’ailleurs) et donc en multipliant les deux décompositions , celle de n et celle de
b² , on obtient une décomposition de nb² , donc LA décomposition de nb² , après avoir regroupé et
réordonné les nombres premiers : l’exposant de p qui est la somme d’un impair et d’un pair, est impair.
b) or , dans la décomposition de a² , toujours en vertu de la remarque du 1° , l’exposant de p est pair.
c) l’égalité
qui implique
implique donc (d’après l’UNICITE de la décomposition)
qu’un exposant pair (celui de p dans a²) est égal à un exposant impair (celui de p dans nb²): c’est absurde !
L’égalité est donc fausse et par suite
n’est pas un rationnel. ( il est dit irrationnel).
3° On vient donc d’établir que : SI n est un entier, non carré parfait, ALORS
est irrationnel.
Commentaire historique : Cette démonstration « remonte » à Euclide ( 300 avant JC ) qui l’expose avec
, en ayant recours à cette preuve par l’absurde, appelée démonstration « apagogique ».
Le fait que ces nombres ne soient pas rationnels a eu un grand retentissement dans la Grèce antique car
l’école Pythagoricienne (VIème et Vème siècle avant JC) pensait que deux longueurs étaient toujours dans
un rapport d’entiers (ce qui revient à dire que tous les nombres étaient soit des entiers soit des rapports
d’entiers).
Le fait que la diagonale du carré et son côté ne soient pas dans un rapport d’entiers les rendaient
« incommensurables » càd qu’il n’existait pas une longueur "unitaire commune u" qui soit telle que le
coté du carré et sa diagonale en soient deux multiples (
n’est
pas possible )…Platon (
) fait explicitement référence à cette « découverte » dans
son dialogue « Le Ménon » où Socrate demande à l’un des serviteurs de Ménon de dupliquer un carré
càd de trouver le coté d’un carré qui aurait une aire double d’un carré donné.
On sait « aujourd’hui » que l’ensemble des rationnels , est très « incomplet » par rapport à l’ensemble
des réels : il y a « beaucoup plus » d’irrationnels que de rationnels !