TD 13 : les suites 1 Une suite ?
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Université Paris Est Créteil DAEU TD 13 : les suites On définit ce qu’est une suite et on en donne quelques exemples classiques. 1 Une suite ? 1.1 Exemples Une suite est une succession d’une infinité de nombres réels. C’est à dire un premier nombre, puis un deuxième .... Concrètement, on utilise des suites un peu tout les jours, par exemple : • lorsque l’on va faire une demande de prêt à la banque et que le banquier nous présente la simulation de remboursement, le total dû mois après mois correspond à une suite [ou plutôt à un morceau de suite]. • Si on étudie la population de lapin de l’île de la fécondité, alors l’évolution de la population années après années correspond à une suite. • Si on étudie le processus de division cellulaire (la mitose), le nombre de cellule à la n-ième génération correspond à une suite. Parmi les exemples (un peu moins concret) de suite en mathématiques on a : 1. La suite des entiers naturels (les éléments de N) : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... 2. La suite des nombres pairs (positifs) : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ... 3. La suite des nombres impairs (positifs) : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ... 4. La suite des puissance (positives) de 2 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; ... √ 5. La suite qui donne l’écriture approché (par défaut) de 2 avec une précision croissante : 1 ; 1, 4 ; 1, 41 ; 1, 414 ; 1, 4142 ; 1, 41421 ; ... 6. La suite des nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; ... 7. Une suite qui permet de parcourir l’ensemble des entiers relatifs : 0; 1; −1; 2; −2; 3; −3; ... 8. La suite définie récursivement par "Je commence par la valeur 5 et pour passer d’un nombre au suivant je multiplie par 2 et j’ajoute 1" : 5 ; 11 ; 23 ; 47 ; 95 ; .... Notation. Généralement un suite est indéxer sur les entiers par exemple en notant un le n-ième terme de la suite où n ∈ N. Parfois on ne commence pas en 0 mais cela ne change rien ... On note alors toute la suite par (un ). Par exemple dans les exemples précédents : 1. u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 3 ; u4 = 4 ; ... 2. u0 = 0 ; u1 = 2 ; u2 = 4 ; u3 = 6 ; u4 = 8 ; ... 3. u0 = 1 ; u1 = 3 ; u2 = 5 ; u3 = 7 ; u4 = 9 ; ... 4. u0 = 1 ; u1 = 2 ; u2 = 4 ; u3 = 8 ; u4 = 16 ; u5 = 32 ; ... 5. u0 = 1 ; u1 = 1, 4 ; u2 = 1, 41 ; u3 = 1, 414 ; u4 = 1, 4142 ; u5 = 1, 41421 ; ... 6. u0 = 2 ; u1 = 3 ; u2 = 5 ; u3 = 7 ; u4 = 11 ; u5 = 13 ; u6 = 17 ; u7 = 19 ; ... 7. u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = −1 ; u3 = 2 ; u4 = −2 ; u5 = 3 ; u6 = −3 ; ... 8. u0 = 5 ; u1 = 11 ; u2 = 23 ; u3 = 47 ; u4 = 95 ; .... 1 1.2 Deux manières pour définir une suite Une suite peut-être définie soit de manière fonctionnelle soit de manière récursive. 1.2.1 Suite donnée de manière fonctionnelle Une suite est donnée de manière fonctionnelle lorsque l’on a un = f (n) pour tout n où f est une fonction (bien définie). Par exemple : • dans l’exemple 1. on a un = n, • dans l’exemple 2. on a un = 2n, • dans l’exemple 3. un = 2n + 1, • dans l’exemple 4. un = 2n . 1.2.2 Suite donnée de manière récursive Définir une suite de manière récursive consiste en deux choses : i. Donner le premier terme [initialisation], ii. Expliquer comment on passe d’un terme au suivant [hérédité]. La première étape correspond à donner u0 (ou bien u1 si on commence l’indexation en n = 1 ou bien u2 ...). La deuxième étape consiste à avoir une relation du type un+1 = f (un ) où f est une fonction. ( u0 = un certain nombre . Cela est souvent écrit de manière concise en un+1 = f (un ) ( u0 = 5 . La suite de l’exemple 8) est donnée de manière récursive : un+1 = 2un + 1 Remarque. • Il existe des suites dont on ne connait ni expression fonctionnelle ni expression récursive. Par exemple trouver soit une forme fonctionnelle soit une forme récursive pour la suite des nombres premiers est un problème qui reste sans réponse depuis plus de 2500 ans. • Connaître l’expression fonctionnelle d’une suite est en général beaucoup plus utile que connaître une expression récursive car par exemple pour calculer u1000 on a pas besoin de calculer u999 . 2 2.1 Deux exemples classiques de suite Les suites arithmétiques Définition. Une suite (un ) est dite arithmétique si pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours le même nombre. Ce nombre est appelé la raison de la suite. Cela correspond à l’expression récursive : un+1 = un + r avec r ∈ R qui est indépendant de n. Exemple. Les suites donnée dans les exemples 1., 2. et 3. sont arithmétiques de raison r = 1 pour l’exemple 1. et r = 2 pour les deux autres. Proposition. • Une fois que l’on s’est donnée le premier terme u0 ∈ R et la raison r ∈ R il existe une unique suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. • De plus une expression fonctionnelle de cette suite est un = u0 + n × r. • Une suite est arithmétique si et seulement si un+1 − un est indépendant de n. Dans ce cas le nombre trouver est la raison de la suite. 2 Exercice 1 1. Soit (un ) une suite arithmétique dont on notera r la raison. Sachant que u0 = 2 et r = −3, donner une expression fonctionnelle de un et calculer u10 et u20 . 2. Soit (un ) une suite arithmétique. Sachant que u0 = 2 et u1 = 5, calculer u2 et u1000 . 3. Soit (un ) une suite arithmétique. Sachant que u5 = 17 et u10 = 12, calculer u0 et u50 . 2.2 Les suites géométriques Définition. Une suite (un ) est dite géométrique si pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé la raison de la suite. Cela correspond à un+1 = q × un avec q ∈ R qui est indépendant de n. Exemple. La suite donnée dans l’exemple 4. est géométrique de raison q = 2. Proposition. • Une fois que l’on s’est donné le premier terme u0 ∈ R et la raison q ∈ R il existe une unique suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. • De plus une expression fonctionnelle de cette suite est un = q n × u0 . un+1 • Une suite qui ne s’annule pas est géométrique si et seulement si est indépendant de n. un Dans ce cas le nombre trouver est la raison de la suite. Exercice 2 1. Soit (un ) une suite géométrique de raison q = 41 . Sachant que u0 = 32, donner un expression fonctionnelle de un . 2. Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0 telle que u0 = 5 et u10 = 60. Calculer u100 . 3. Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0 telle que u0 = 3 et u2 = 12. Calculer u5 . 2.3 2.3.1 Variation et convergence d’une suite Variation d’une suite Définition. • On dit qu’une suite (un ) est croissante si pour tout n on a un+1 ≥ un [ou bien un+1 − un ≥ 0] ; • On dit qu’une suite (un ) est strictement croissante si pour tout n on a un+1 > un [ou bien un+1 − un > 0] ; • On dit qu’une suite (un ) est décroissante si pour tout n on a un+1 ≤ un [ou bien un+1 −un ≤ 0] ; • On dit qu’une suite (un ) est strictement décroissante si pour tout n on a un+1 < un [ou bien un+1 − un < 0]. Remarque. Une suite peut n’être ni croissante ni décroissante. [Par exemple la suite donnée précédemment dans l’exemple 7.] Théorème. 1. Une suite arithmétique de raison r est : • croissante si r > 0 • décroissante si r < 0 • constante si r = 0. 2. Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est : • croissante si q > 1 • décroissante si 0 < q < 1 • constante si q = 1 ou bien u0 = 0 et constante à partir de n = 1 si q = 0 • ni croissante ni décroissante si q < 0. 3 Exercice 3 ⋆ Démontrer le théorème précédent [on ne traitera que le cas où q ≥ 0 pour la deuxième partie du théorème]. Exercice 4 On place 1000 euros, avec intérêts annuels composés (c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, les intérêts sont incorporés au capital), à un taux de 2%. On note un la somme, en euros, dont on dispose à la fin de la n-ème année, en convenant que u0 = 1000. 1. Calculer un pour n = 0, 1, 2. 2. Calculer un+1 en fonction de un . Quelle est la nature de la suite (un ) ? 3. En déduire une expression de un en fonction de n. 4. Après combien d’années dispose-t-on d’au moins 2000 euros ? 2.3.2 Limite d’une suite Définition. Sans rentrer dans les détails on dit que • la suite (un )n converge vers un nombre ℓ si pour n suffisamment grand, un est arbitrairement proche de ℓ. On note alors limn→∞ un = ℓ. • la suite (un )n diverge vers +∞ (resp. −∞) si pour n suffisamment grand, un est arbitrairement grand (resp. négatif). On note alors limn→∞ un = +∞ (resp. limn→∞ un = −∞). Exercice 5 ⋆ Montrer que : 1. Si un est une suite arithmétiques de raison r > 0 alors limn→∞ un = +∞. 2. Si un est une suite arithmétiques de raison r < 0 alors limn→∞ un = −∞. 3 3. Si un est une suite géométrique de raison q ∈ (−1, 1) alors limn→∞ un = 0. +∞ si u0 > 0 4. Si un est une suite géométrique de raison q > 1 alors limn→∞ un = −∞ si u0 < 0 . 0 si u0 = 0 Quelques exercices Exercice 6 Soit : u0 = −2, 1. Montrer que (vn ) est géométrique. 2un un+1 = pour n ≥ 0. 3 − un un On pose vn = pour tout n ∈ N. 1 − un 2. En déduire une expression de un en fonction de n. 3. Étudier la convergence de (un ). Exercice 7 Un particulier contracte un prêt de d0 = 200 000e dans le cadre d’une opération immobilière. Les modalités de remboursement sont les suivantes : • intérêts : à la fin de chaque année, la somme due au début de l’année augmente de 5% • remboursement : à la fin de chaque année, le particulier rembourse une somme de Re. On note dn la somme due (en euros) au bout de n années. 1. Montrer que pour tout, dn+1 = 1, 05dn − R pour tout n ∈ N (du moins tant qu’il reste quelque chose à rembourser). 2. Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = dn − 20R est une suite géométrique dont on déterminera la raison. En déduire que dn = 1, 05n d0 − 1, 05n × 20R + 20R. 3. Quel doit être le montant des annuités (remboursements annuels, à 10−2 près) pour que le prêt soit remboursé au bout de 15 ans ? Combien cela représente-t-il par mois ? À combien se monteront les intérêts, au final ? 4
