LES SUITES 1. Définitions ( ) n

LES SUITES
1. Définitions
 Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n
on associe un nombre réel noté un et appelé terme de rang n.
Exemple :
On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre
croissant : 1, 3, 5, 7, …
On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, …
Remarque : On peut lui associer une fonction définie sur ℕ par u :
ℕ→ℝ
n u  n   un
 Une suite définie par une formule explicite est une suite dans laquelle chaque terme est
exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents.
Exemple :
Pour tout n de ℕ, on donne : un  2n qui définit la suite des nombres pairs.
Les premiers termes sont : u0 = 2 x 0 = 0, u1 = 2 x 1 = 2, u2 = 2 x 2 = 4, …
 Une suite définie par une relation de récurrence est une suite dans laquelle chaque terme
est exprimé en fonction du terme précédent.
Exemple :
On définit la suite (un) par :
u0 = 5 et chaque terme de la suite est le triple de son précédent.
Les premiers termes sont : u0 = 5, u1 = 3 x u0 = 3 x 5 = 15, u2 = 3 x u1 = 3 x 15 = 45, …
YDV 150922
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2. Représentation graphique
Dans un repère du plan, on représente une suite par un « nuage » de points de coordonnées  n ; un 
Exemple :
Pour tout n de ℕ, on donne : 𝑢𝑛 =
𝑛²
2
−3
On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :
n
un
0
-3
1
-2,5
2
-1
3
1,5
4
5
5
9,5
6
15
7
21,5
8
29
On place ensuite ces points dans un repère :
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3. Sens de variation
 Une suite numérique (un) est croissante si pour tout entier 𝑛, on a 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛
 Une suite numérique (un) est décroissante si pour tout entier 𝑛, on a 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛
Exemple :
On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d'une suite (un) :
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4. Suites arithmétiques
 Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n,
on a : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟. Le nombre r est appelé raison de la suite.
La formule explicite du terme de rang 𝑛 est : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 × 𝑟
 Si r > 0 alors la suite (un) est croissante.
Si r = 0 alors la suite (un) est constante
Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante
 Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés
Exemple 1 :
Considérons une suite (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et
égale à 5. La suite est définie par : 𝑢0 = 3 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 5
Les premiers termes sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18 …
Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
Exemple 2 :
La suite arithmétique (un) définie par un1  un  4 et u0  5 est décroissante car de raison négative
et égale à -4.
Exemple 3 :
On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4.
 La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique (un) est
(𝑛 + 1)(𝑢0 + 𝑢𝑛 )
𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 =
2
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5. Suites géométriques
 Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q, strictement positif, tel
que pour tout entier n, on a : 𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 .
Le nombre q est appelé raison de la suite.
La formule explicite du terme de rang 𝑛 est : 𝑢𝑛 = 𝑞 𝑛 × 𝑢0
 Si q > 1 alors la suite (un) est croissante
Si q = 1 alors la suite (un) est constante
Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante
 Les points de la représentation graphique d'une suite géométrique
suivent une courbe
Exemple 1 :
Considérons une suite (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à
2. La suite est définie par : 𝑢0 = 5 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛
Les premiers termes sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40.
Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
Exemple 2 :
On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élève à 4%.
Chaque année, le capital est multiplié par 1,04.
Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.
On a ainsi : u1  1,04  500  520 , u2  1,04  520  540,80 , u3  1,04  540,80  562, 432
De manière générale : un1  1, 04  un avec u0  500
 La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison 𝑞 est
(1 − 𝑞 𝑛+1 )
𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 𝑢0
1−𝑞
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6. Formulaire
(un) une suite arithmétique
- de raison r
- de premier terme u0
La différence entre un terme et son précédent
est égale à -0,5.
Variations
Si r > 0 : (un) est croissante.
Si r < 0 : (un) est décroissante.
Représentation
graphique
Remarque :
Les points de la représentation
graphique sont alignés.
Somme des n
premiers termes
-
(un) une suite géométrique
- de raison q > 0
- de premier terme u0 > 0
Variations
Si q > 1 : (un) est croissante.
Si 0 < q < 1 : (un) est décroissante.
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La suite (un) est décroissante.
Exemple :
q  0,5 et u0  5
un1  0,5  un
un1  q  un
Somme des n
premiers termes
r   0,5  0
(𝑛 + 1)(𝑢0 + 𝑢𝑛 )
2
Définition
Représentation
graphique
r   0,5 et u0  4
un1  un  0,5
un1  un  r
Définition
Exemple :
Le rapport entre un terme et son précédent
est égal à 0,5.
q  0, 5  1
La suite (un) est décroissante.
Remarque :
Si q < 0, la suite géométrique
n'est ni croissante ni
décroissante.
𝑢0
(1 − 𝑞 𝑛+1 )
1−𝑞
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