Exercices sur le chapitre 1

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques et Informatique
Module A/B Mathématiques
Année 2013-2014
Exercices sur le chapitre 1
Exercice 1. On considère l’ensemble R2 = {(x, y), x ∈ R, y ∈ R} muni de l’addition
et de la multiplication terme à terme. S’agit-il d’un corps ? Si oui, le vérifier à partir des
axiomes. Si non, quels sont ceux qui ne sont pas satisfaits ?
Exercice 2. On considère l’ensemble C des nombres complexes représentés sous forme
de couples (x, y) avec x, y ∈ R.
1. Pour tous x, x′ , y ∈ R, calculer
(a) (x, 0) + (x′ , 0) et (x, 0)(x′ , 0) ;
(b) (x′ , 0)(x, y) ;
(c) (x, 0) + (0, y) ;
(d) (0, 1)(y, 0) ;
(e) (0, 1)(0, 1) ;
(f) (x, y)(x, −y).
2. À quelles conditions portant sur x, y ∈ R a-t-on le droit d’écrire
alors ce nombre complexe ? Vérifier que C est un corps.
1
? Que vaut
(x, y)
3. Donner la représentation algébrique de chacun des nombres complexes des questions
précédentes.
Exercice 3. Donner la représentation algébrique des nombres complexes suivants :
1. (4 − i) + (5 + 2i),
2. (2 − 5i)2 ,
(3 + i)(−1 + 4i),
3. (4 + i)−1 , (3 − 4i)−1
−4 + i
8 − 3i
4.
,
,
4+i
5 − 12i
5. (3 − i)(1 − 3i)(2 + 5i)(5 + 2i),
α−i
6.
, où α est un réel donné.
4α + i(α2 − 4)
Exercice 4. Représenter l’ensemble des nombres complexes z tels que le nombre
soit
z+1
z+i
1. réel,
2. imaginaire pur (c’est-à-dire de la forme ib, avec b ∈ R).
Exercice 5. On considère un arbre associé à un schéma de Bernoulli d’ordre n ≥ 1 (c’està-dire de paramètres (n, p) où p ∈ [0, 1] est un réel quelconque représentant la probabilité
d’un
succès). Montrer que le nombre de chemins menant à k succès avec 0 ≤ k ≤ n vaut
n!
n
=
.
k
k!(n − k)!
1
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Exercice 6. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 4, on a 2n ≥ n2 .
Exercice 7. Montrer que quels que soient n et k entiers ≥ 1, on a
(kn)!
∈ N.
(n!)k
[Indication : raisonner par récurrence sur k.]
Exercice 8. Montrer que quels que soient n ≥ 0 et t ≥ 1, on a
t−1 X
n+k
k=0
n
=
n+t
,
n+1
c’est-à-dire sous forme développée
n+t
n+t−1
n+1
n
.
=
+···+
+
n+1
n
n
n
Exercice 9.
1. Calculer à la main le coefficient de x6 dans le développement de (x2 − 3)5 , puis celui
de x3 dans le développement de (1 − x)3 (x + 2)6 .
2. Calculer de tête 9993 .
n X
n
.
Exercice 10. Montrer que pour tout n ≥ 1, on a 2 =
k
k=0
n
[Indication : utiliser la formule du binôme de Newton.]
Exercice 11. Soient z et z ′ deux nombres complexes tels que |z + z ′ | = |z| + |z ′ |.
1. Illustrer cette situation sur quelques exemples. Que constatez-vous ?
2. Montrer que l’on a Re(zz ′ ) = |zz ′ |.
3. En déduire qu’il existe ρ ≥ 0 tel que z ′ = ρz.
Exercice 12. Soient a, b deux nombres complexes. Montrer l’égalité
|a + b|2 + |a − b|2 = 2 |a|2 + |b|2 .
iz − 1
.
z−i
1. Montrer que pour tout z ∈ C \ {i}, on a |f (z)| = 1. Quelles sont les solutions de
l’équation f (z) = 1 + i ? f (z) = 1 ? Les représenter graphiquement.
Exercice 13. Étant donné z ∈ C \ {i}, on pose f (z) =
2. Trouver les points fixes de f , c’est à dire les nombres complexes z ∈ C \ {i} tels que
f (z) = z.
Exercice 14 (Examen intermédiaire, 2012 − 2013).
1. Déterminer les nombres complexes z tels que 4z 2 + 8|z|2 − 3 = 0.
[Indication : on pourra chercher z sous forme algébrique.]
2. Déterminer les nombres complexes z tels que z = z 3 .
[Indication : si z est solution, que vaut son module ?]
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sin x
.
cos x
1. Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction tan et montrer qu’elle est
périodique.
Exercice 15. On définit la fonction réelle tangente, notée tan, par la formule tan x =
2. Pour un angle de mesure α donné, où se lit tan α sur le cercle trigonométrique ?
3. Soient a, b deux réels tels que a, b et a + b appartiennent à D. Montrer que l’on a
tan(a + b) =
tan a + tan b
.
1 − tan a tan b
Exercice 16.
1. Soient a, b, ω des nombres réels. Montrer qu’il existe A ∈ R et ϕ ∈ [0, 2π[ tels que
pour tout réel t on ait a cos(ωt) + b sin(ωt) = A cos(ωt + ϕ).
π π
π
= − , calculer cos(π/12) et sin(π/12). Proposer une
2. En utilisant l’égalité
12
4
6
méthode similaire pour le calcul de cos(π/8) et sin(π/8).
Exercice 17.
1. Quel est l’argument d’un nombre réel ?
2. Décrire l’ensemble des nombres complexes z vérifiant :
(a) arg(z 7 ) ≡ π (mod 2π) ;
(b) arg(z + i) ≡ arg(z) + arg(i) (mod 2π).
Exercice 18. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
√
√
1. 1 + i, 1 − 3i, − 3 − i, −2 + 2i,
√
√
1+i
2i
1 + 3i 7 3 + 7i
2.
, √
,
,
,
i−1
1+i
6 − 6i
3−i
h π h iπ i
sin α
3. 1 + i
∪ ,π ,
pour α ∈ 0,
cos α
2
2
4. 1 + cos(α) + i sin(α) pour α ∈ [0, 2π[.
Exercice 19. Justifier sans calcul que les nombres suivants sont respectivement réels et
imaginaires purs, puis les déterminer à l’aide de la forme trigonométrique :
√
√
√
√
αn = (1 + i 3)n + (1 − i 3)n , βn = (1 + i 3)n − (1 − i 3)n ,
avec n entier quelconque.
Exercice 20 (Examen final, 1ère session, 2011 − 2012). Soit x ∈ [0, 2π[ un nombre réel.
x
x
1. Exprimer 1 + cos x et sin x en fonction de sin et cos .
2
2
2. Déterminer le module et l’argument (lorsqu’il existe) des nombres complexes
1 + cos x + i sin x et 1 − cos x − i sin x.
Exercice 21. Soient z, z ′ deux nombres complexes. Montrer les égalités suivantes :
′
′
1. ez ez = ez+z ;
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1
= e−z ;
z
e
3. (ez )n = enz quel que soit n ∈ Z ;
4. |ez | = eRe(z) .
2.
Exercice 22.
1. A l’aide des formules d’Euler, linéariser cos x sin2 x, cos3 x, sin x cos3 x et sin4 x.
2. A l’aide de la formule de De Moivre, exprimer cos(3x), sin(5x) et sin(3x) cos(2x) en
fonction de sin x et cos x.
Exercice 23. Soit a un nombre complexe. Quelles sont les solutions complexes z de
l’équation ez = a ?
Exercice 24. Donner la représentation exponentielle du nombre complexe eiθ + eiϕ où
θ, ϕ sont deux nombres réels de l’intervalle [0, 2π[.
Exercice 25. Déterminer sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique les
solutions complexes de l’équation z 3 = −(1 + i).
Exercice 26. Résoudre dans C l’équation 1 + iz − z 2 − iz 3 + z 4 = 0.
Exercice 27.
1. Déterminer sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique les racines carrées de 1 + i. π π
2. En déduire cos
et sin
.
8
8
3. Déterminer les entiers positifs n tels que (1 + i)n soit un réel positif.
Exercice 28.
1. Calculer les racines carrées complexes de :
(a) 5 + 12i,
√
(b) 2 + 2i 3, sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
2. Calculer les racines cubiques complexes de :
√
(a) 3 + i,
√
(b) eiπ/4 − 2.
Exercice 29 (Examen intermédiaire, 2012 − 2013).
1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes (−1 − i)3 et (1 + 2i)3 .
2. Résoudre l’équation z 3 = 2 − 2i. On donnera les solutions sous forme algébrique.
3. Résoudre l’équation z 3 = −11 − 2i. On donnera les solutions sous forme algébrique.
4. Résoudre l’équation z 6 + (9 + 4i)z 3 − 26 + 18i = 0.
Exercice 30. Résoudre dans C les équations suivantes :
1. z 6 = z
2. z 2 = 3 − 4i
3. z 2 + iz − 1 + i = 0
4. z = z 2 (On pourra d’abord étudier |z|).
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