Chapitre 11 : Nombres complexes (1re partie).

Chapitre 11 : Nombres complexes (1re partie).
I
Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition (et théorème)
Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les
propriétés suivantes :
1. L’ensemble R des nombres réels est inclus dans C.
2. L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes ;
3. C contient un nombre noté i tel que i2 = −1.
4. Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique z = a + ib, avec a et b réels.
Définition
L’écriture z = a + ib avec a et b réels s’appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
a est la partie réelle de z, elle est notée Re(z).
b est la partie imaginaire de z, elle est notée Im(z).
Remarque
1. Lorsque b = 0, z est un nombre réel.
2. Lorsque a = 0, ont dit que z est imaginaire pur.
Exercice 1
Montrer que (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 .
Propriété (opérations dans C)
Soient z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ deux nombres complexes sous leur forme algébrique (a, b,
a′ , b′ réels).
1. Somme :
z + z ′ = (a + ib) + (a′ + ib′ ) = (a + a′ ) + i(b + b′ )
2. Produit :
zz ′ = (a + ib)(a′ + ib′ ) = aa′ − bb′ + i(ab′ + ba′ )
3. Inverse : si z 6= 0,
4. Quotient : si z ′ 6= 0,
1
a − ib
1
=
= 2
z
a + ib
a + b2
z
a + ib
1
= ′
= (a + ib) × ′
′
′
z
a + ib
a + ib′
Remarque
Pour l’écriture algébrique d’un nombre complexe, on ne laisse pas de i au dénominateur.
Si le dénominateur est (a + ib), on multiplie au numérateur et au dénominateur par son
conjugué (a − ib).
Le dénominateur devient (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 .
1
Exercice 2
Mettre sous forme algébrique
1 + 2i
1
et
1 − 3i
1+i
Remarque
On a i2 = −1, i3 = −i, et i4 = 1.
On en déduit que pour tout entier n ∈ Z, i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, et i4n+3 = −i.
1
En particulier, = −i.
i
Propriété (égalité de deux nombres complexes)
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire.
Autrement dit, si z = a + ib et z ′ = a′ + ib′ avec a, b, a′ , b′ réels, alors
z = z ′ ⇔ (a = a′ et b = b′ )
Conséquence
Soit z = a + ib avec a et b réels. Alors,
z = 0 si et seulement si (a = 0 et b = 0).
II
Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Soit z = a + ib, avec a, b réels.
Le conjugué de z est le nombre complexe z = a − ib.
Exemple :
3 + 5i = 3 − 5i.
Remarque
1. z = z.
2. z + z = 2Re(z).
3. z − z = 2Im(z).
Propriété
Soient z et z ′ deux nombres complexes.
1. z + z ′ = z + z ′ .
2. z × z ′ = z × z ′ .
3. Pour tout entier n > 0, z n = z n .
z
1
1
z
′
et
.
=
=
4. Si z 6= 0,
′
′
z
z
z′
z′
5. zz = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 .
6. z est un nombre réel si et seulement si z est égal à son conjugué.
z∈R⇔z=z
7. z est imaginaire pur si et seulement si z est égal à l’opposé de son conjugué.
z ∈ iR ⇔ z = −z
2
Démonstration
1. (a + ib) + (a′ + ib′ ) = (a + a′ ) + i(b + b) = a + a′ − i(b + b′ ) = (a − ib) + (a′ − ib′ ) = z + z ′ .
2. On procède de même en passant aux formes algébriques.
3. On raisonne par récurrence.
4. On procède comme pour 1.
5. Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (a et b réels).
z ∈ R si et seulement si b = 0.
Or, z = z si et seulement si a + ib = a − ib, ce qui équivaut à b = 0.
On a vu que deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire.
6. z est imaginaire pur si et seulement si a = 0.
III
Équation du second degré à coefficients réels
Propriété
Soit l’équation az 2 + bz + c = 0, avec a, b et c réels, a 6= 0.
Le discriminant de l’équation est ∆ = b2 − 4ac.
1. Si ∆ > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
et z2 =
.
z1 =
2a
2a
−b
2. Si ∆ = 0, l’équation a une solution double réelle z0 =
.
2a
3. Si ∆ < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées distinctes (non
réelles) :
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
et z2 =
.
z1 =
2a
2a
Démonstration
On montre le résultat du 3. Les points 1. et 2. ont été vus en première.
#
"
2
∆
b
− 2 .
On part de la forme canonique, P (z) = a z +
2a
4a
√
Si ∆ < 0, alors −∆ > 0, et l’on peut écrire −∆ = ( −∆)2 .
√
√
√
2
2
Ainsi, ∆ = −( −∆)2 = i2 −∆ = i −∆ .
On peut alors factoriser le polynôme P (z) via une identité remarquable à l’aide de facteurs complexes :
#
"
2
∆
b
− 2
P (z) = a z +
2a
4a
"
√
2 #
2
i −∆
b
−
= a z+
2a
4a2
"
2 √
2 #
i −∆
b
−
= a z+
2a
2a
√
√
b + i −∆
b − i −∆
= a z+
z+
2a
2a
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
ou z =
.
Donc l’équation P (z) = 0 équivaut à z =
2a
2a
3
Exercice 3
Modifier le programme de résolution des équations du second degré à la calculatrice vu
en première pour qu’il renvoie la forme algébrique des solutions complexes lorsque ∆ < 0
(Penser à utiliser la fonction Math ◮Frac).
4