Mathématiques de l’ingénieur I MAT-10363 – E08 A 1. Nombres complexes Définition des nombres complexes Un nombre complexe est un point du plan cartésien. Il peut donc être représenté sous la forme d’un couple z := (x, y) où x et y sont des nombres réels.1 Le nombre x s’appelle la partie réelle de z et le nombre y la partie imaginaire de z. On écrit Re z := x et Im z := y. On note que la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe sont toutes les deux des nombres réels. L’axe des abscisses est l’ensemble des points de la forme (x, 0) où x ∈ R. Dans le plan des nombres complexes, cet axe s’appelle l’axe réel et les nombres complexes sur l’axe réel sont appelés des nombres réels. Ainsi, au lieu d’écrire (x, 0), on écrit simplement x. Le symbole i représente le nombre complexe (0, 1). L’axe des ordonnées est constitué des nombres de la forme (0, y) où y ∈ R. Dans le plan des nombres complexes, cet axe s’appelle l’axe imaginaire et les nombres complexes sur l’axe imaginaire sont appelés des nombres imaginaires. Ainsi, chaque nombre imaginaire (0, y) peut s’écrire sous la forme (0, y) = y(0, 1) = yi. En combinant les deux notations, on trouve que tout nombre complexe z := (x, y) peut s’écrire sous la forme z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi. Il s’agit de la forme cartésienne d’un nombre complexe. Encore une fois, insistons sur le fait que dans l’expression z = x + yi = x + iy, les nombres x et y sont tous les deux réels et représentent respectivement les parties réelles et imaginaires de z. Clip illustrant le plan complexe. Les opérations complexes d’addition, de soustraction et de multiplication se font comme des calculs polynomiaux en i avec la règle supplémentaire i2 = −1. Exemples 1 (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = a + c + bi + di = (a + c) + (b + d)i. 2 (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i. 1 Le symbole := signifie qu’il s’agit d’une égalité qui définit le membre de l’équation du côté des deux points par celui de l’autre côté. Par exemple ici, z := (x, y) signifie que z est défini comme étant le couple (x, y). MAT-10363 – E08 A1 1/ 3 Pour calculer la division de deux nombres complexes z/w, on multiplie d’abord le numérateur et le dénominateur par le conjugué de ce dernier w. L’ı́dée est que le nouveau dénominateur ww = |w|2 est alors un nombre réel positif. Exemple Calculer 5 − 5i . 3i − 1 Sol. Le nombre complexe w := 3i − 1 = (−1) + (3)i a comme partie réelle −1 et comme partie imaginaire 3. Son conjugué est donc w = −1 − 3i. Ainsi, 5 − 5i (5 − 5i)(−1 − 3i) −5 + 5i − 15i + 15i2 (−5 − 15) + (5 − 15)i −20 − 10i = = = = = −2 − i. 2 2 2 2 3i − 1 (3i − 1)(−1 − 3i) (−1) + (3) (−1) + (3) 10 Vérification : (−2 − i)(3i − 1) = −6i + 2 − 3i2 + i = 5 − 5i. Exemple Sol. Calculer Re (1 + i)−1 . Solution clip. Résolution d’une équation quadratique. La formule quadratique est encore valide dans les nombres complexes. Ainsi, si a, b, c ∈ C (a 6= 0), alors les solutions z ∈ C de l’équation az 2 + bz + c = 0 sont : √ −b ± b2 − 4ac z1 , z2 = . 2a √ Il est à noter que le symbole ± w représente les racines complexes de w. Il y en a toujours deux, sauf dans le cas où w = 0 dans lequel cas la seule racine est 0. Exemple Sol. Résoudre dans C, l’équation z 2 + iz + 1 + 3i = 0. Solution clip. La formule quadratique avec a = 1, b = i et c = 1 + 3i donne p √ −i ± i2 − 4(1 + 3i) −i ± −5 − 12i = . z1,2 := 2 2 Il faut calculer les racines carrées du nombre complexe w = −5 − 12i, c’est-à-dire qu’on cherche les nombres x + iy (x, y ∈ R) tels que (x + iy)2 = −5 − 12i. On a l’équation −5 − 12i = (x + iy)2 = x2 − y 2 + 2xyi. MAT-10363 – E08 A1 2/ 3 De chaque côté on trouve un nombre complexe sous sa forme cartésienne. Pour avoir égalité, il faut et il suffit que les parties réelles et les parties imaginaires de ces deux nombres soient égales entre elles. Cela donne le système −5 = x2 − y 2 et − 12 = 2xy. En substituant y = −6/x dans la 1re équation on a x4 + 5x2 − 36 = (x2 − 4)(x2 + 9) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 9) = 0 et ainsi, x = ±2, ce qui donne y = −6/x = ∓3. Les solutions sont donc z1,2 := −i ± (2 − 3i) . 2 Par conséquent, z1 = Rép: −i + (2 − 3i) 2 − 4i −i − (2 − 3i) −2 + 2i = = 1 − 2i et z2 = = = −1 + i. 2 2 2 2 z1 = 1 − 2i, z2 = −1 + i. Exercices 1) Soit n ∈ Z. Montrer que i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1 et i4n+3 = −i. 2) Soit z := x + iy. Calculer 3 b) Im z . a) Im z 3 . c) Re z −2 . 3) Montrer que pour tout z, w ∈ C, on a |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ). 4) Résoudre dans C les équations suivantes a) z 2 + 7 = 24i. c) 8z 2 − (36 − 6i)z + 42 − 11i = 0. b) z 4 + 7 = 24i. d) z 4 + (5 − 14i)z 2 − 24 − 10i. 4) a) ±(3 + 4i). 2) a) 3x2 y − y 3 . b) ±(2 + i), ±(1 − 2i). c) b) y 3 . 5 2 − i, 2 + 14 i. d) ±(1 + i), ±(2 + 3i). c) x2 −y 2 . (x2 +y 2 )2 Réponses MAT-10363 – E08 A1 3/ 3