I. Force centrale

Mouvement dans un champ de force centrale conservative
Cas particulier du champ newtonien
I.
Force centrale
1.
Définition
Une force est centrale si son support passe par un point O fixe dans le référentiel d’étude
R galiléen. O est appelé centre de force.
−−→ ~ ~
OM ∧ F = 0
La force F~ peut être attractive ou répulsive.
La force F~ est donc colinéaire au vecteur ~ur des coordonnées sphériques centrées en O.
La force F~ est conservative si son travail élémentaire peut s’écrire sous la forme
−−→
δW = F~ .dOM = −dEp
2.
a)
Exemples de forces centrales conservatives
Interaction gravitationnelle
On pose F~ = F~O→M = −F~M →O
Gm0 m
F~ = −
~ur
r2
G constante de gravitation : G = 6, 67.10−11 m3 .kg−1 .s−2
−−→
−
−
Le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques vaut dOM = dr →
ur +rdθ →
uθ +r sin θdϕ −
u→
ϕ
−−→
Gm0 m
Gm0 m
−
−
F~ .dOM = −
~ur .(dr →
ur + rdθ →
uθ + r sin θdϕ −
u→
dr = −dEp
ϕ) = −
2
r
r2
dEp
Gm0 m
=
dr
r2
Ep = −
Gm0 m
+ Cte
r
1
L’énergie potentielle ne dépend que de r : Ep = Ep (r). Si choisit Ep = 0 à l’infini alors Cte = 0
Ep (r) = −
b)
Gm0 m
r
avec Ep (∞) = 0
Interaction électrostatique
On pose F~ = F~O→M = −F~M →O
F~ =
1 q0 q
~ur
4πε0 r2
ε0 permittivité du vide : ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1
En procédant par analogie avec les calculs précédents
1
4πε0
m0 m ↔ q0 q
−G ↔
Ep (r) =
c)
1 q0 q
4πε0 r
avec Ep (∞) = 0
Force élastique
On pose F~ = F~O→M = −F~M →O
F~ = −k(r − r0 )~ur
k constante de raideur du ressort
r0 longueur à vide du ressort (r0 = `0 )
−−→
−
−
F~ .dOM = −k(r − r0 )~ur .(dr →
ur + rdθ →
uθ + r sin θdϕ −
u→
ϕ ) = −k(r − r0 )dr = −dEp
dEp
= k(r − r0 )
dr
1
Ep = k(r − r0 )2 + Cte∗
2
1
Ep = k(r − r0 )2
2
∗
On retrouve bien Ep = 12 (` − `0 )2 + Cte.
2
avec Ep (r0 ) = 0
II.
1.
Propriétés générales d’un mouvement à force centrale
Conservation du moment cinétique
On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans un référentiel R galiléen
dans un champ de force centrale de centre O fixe dans R.
Le centre de force O étant fixe dans R, la loi du moment cinétique appliquée à M au point
O s’écrit
−−→
d~σO (M )
= M~O (F~ ) = OM ∧ F~ = ~0
dt
R
−−→
~σO (M ) = Cte
Le moment cinétique par rapport à O est une constante vectorielle du mouvement.
Remarque : le cas particulier où ~σO (M ) = ~0 correspond à un mouvement rectiligne :
−−→
∀t OM k ~v
2.
a)
Conséquences
La trajectoire est plane
On note ~σO = ~σO (M )
−−→
Par définition ~σO =OM ∧ m~v (M )
−−→
OM ⊥ ~σO
avec les propriétés
~v (M ) ⊥ ~σO
Le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à ~
σO passant par O
b)
Le mouvement suit la loi des aires
−−→
En des temps égaux les aires balayées par le rayon vecteur OM sont égales.
Démonstration :
Le mouvement étant plan on choisit de repérer le point M par ses coordonnées polaires (r, θ).
On choisit ~uz (
de manière à avoir ~σO = σO ~uz avec (~ur , ~uθ , ~uz ) base orthonormée directe.
−−→
OM = r~ur
~v (M ) = ṙ~ur + rθ̇~uθ
−−→
~σO = OM ∧ m~v (M ) = mr~ur ∧ (ṙ~ur + rθ̇~uθ )
~σO = mr2 θ̇~uz = σO ~uz
On pose C =
σO
= r2 θ̇ .
m
C est appelée la constante aréolaire du mouvement.
3
La constante aréolaire étant constante, son signe est constant et donc le signe de θ̇ aussi. On
peut toujours choisir une orientation de manière à avoir θ̇ > 0 et donc σ0 > 0.
−−→
Soit dA l’aire balayée par le rayon vecteur OM pendant le temps dt.
−−→
−−→
−−→
dA = 12 kOM ∧ dOM k = 21 kOM ∧ ~v dtk
−−→
dA
1 k~σ0 k
1 σ0
C
= kOM ∧ ~v k =
=
=
dt
2 m
2m
2
C
dA
=
dt
2
La vitesse aréolaire est constante et vaut
III.
C
2
.
Conservation de l’énergie mécanique : énergie potentielle effective
On suppose que le point matériel M n’est soumis à qu’à une force centrale F~ conservative.
On note Ep (r) l’énergie potentielle dont dérive la force F~ .
1.
Énergie potentielle effective
Au cours du mouvement de M dans le référentiel R galiléen d’étude, la seule force qui travaille
est la force F~ . Cette force est conservative, donc l’énergie mécanique du point M dans R est
conservée.
Em = Ec + Ep = Cte
Or Ec = 21 mv 2 avec ~v = ṙ~ur + rθ̇~uθ d’où v 2 = ṙ2 + r2 θ̇2 . On en déduit
1
Em = m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + Ep (r)
2
On introduit alors la constante aréolaire du mouvement C = r2 θ̇ qui permet de remplacer θ̇
par rC2
2
1
2
2C
Em = m ṙ + r 4 + Ep (r)
2
r
1
1 C2
Em = mṙ2 + m 2 + Ep (r)
2
2 r
1 C2
On pose Ep,eff (r) = m 2 + Ep (r) énergie potentielle effective du mouvement.
2 r
4
La conservation de l’énergie mécanique s’exprime alors sous la forme :
1
Em = mṙ2 + Ep,eff (r) = Cte
2
2.
Étude qualitative du mouvement radial
1
Em = mṙ2 +Ep,eff (r)
|2 {z }
>0
Le mouvement n’est possible que dans les domaines où Em ≥ Ep,eff .
Lorsque Em = Ep,eff , ṙ = 0 : ces positions correspondent à une valeur extrémale de r. Attention, la vitesse en ces points n’est pas nulle car il reste la composante orthoradiale ~v = rθ̇~uθ .
Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment exploiter la courbe de Ep,eff (r).
IV.
1.
Cas particulier du champ de force newtonien
Champ de force newtonien
Un point matériel M sera placé dans un champ de force newtonien s’il subit une force de la
forme (en coordonnées sphériques) :
k
F~ = − 2 ~ur
r
– interaction gravitationnelle : k = Gm0 m
1
– interaction électrostatique : k = − 4πε
q0 q
0
Lorsque k > 0 la force est attractive (gravitation, charges opposées)
Lorsque k < 0 la force est répulsive (charges de même signe)
Comme on l’a montré précédemment les forces newtoniennes sont conservatives.
−−→
k
k
−
−
ur + rdθ →
uθ + r sin θdϕ −
u→
F~ .dOM = − 2 ~ur .(dr →
ϕ ) = − 2 dr = −dEp
r
r
dEp
k
= 2
dr
r
k
Ep = − + Cte
r
Si choisit Ep = 0 à l’infini alors Cte = 0
Ep (r) = −
k
r
avec Ep (∞) = 0
5
2.
Approche énergétique : étude de l’énergie potentielle effective
On peut définir l’énergie potentielle effective
1 C2 k
Ep,eff = m 2 −
2 r
r
1er cas : force attractive (k > 0)
2
Pour r → 0 Ep,eff ' 12 m Cr2
Pour r → ∞ Ep,eff ' − kr
La courbe donnant Ep,eff en fonction de r a l’allure suivante :
1
Em = mṙ2 +Ep,eff (r)
|2 {z }
≥0
Le mouvement n’est possible que dans les domaines où la condition
Em > Ep,eff (r)
est vérifiée. On doit donc avoir Em > Em0 avec Em0 valeur minimale de Ep,eff (r).
Les valeurs de r pour lesquelles Em = Ep,eff correspondent à ṙ = 0 et donc à des valeurs
extrémales de r.
Suivant les valeurs de l’énergie mécanique, plusieurs type de trajectoires sont possibles :
6
Em = Em0
r = r0 = Cte le mouvement est circulaire
2
2
Em0 correspond au C = r θ̇ = r0 θ̇ = Cte ⇒ θ̇ = cte
si le mouvement est circulaire, il est uniforme.
minimum de Ep,eff
Le mouvement circulaire correspond à un état lié
Em = Em1
avec Em0 < Em1 < 0
Em = Em2
avec Em2 > 0
rmin 6 r 6 rmax
⇒ le mouvement est borné radialement : il correspond
à un état lié. La trajectoire est alors une ellipse.
r > r2
r peut tendre vers l’infini : le mouvement correspond
à un état de diffusion. La trajectoire est alors une
parabole (Em = 0) ou une hyperbole (Em > 0)
Dans le cas où Ep (∞) = 0 on retiendra que
Em > 0 état de diffusion
Em < 0 état lié
2eme cas : force répulsive k < 0
2
Pour r → 0 Ep,eff ' 12 m Cr2
Pour r → ∞ Ep,eff ' − kr
La courbe donnant Ep,eff en fonction de r a l’allure suivante :
On constate graphiquement que seuls des états de diffusions peuvent exister (trajectoires
hyperboliques).
7
3.
Lois de Kepler
Ces lois décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les a énoncées vers
1610. Il s’est appuyé pour cela sur les observations très précises de l’orbite de Mars effectuées
par l’astronome Tycho Brahé dont il avait été l’assistant.
Le référentiel d’étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen.
Rappel : planètes du système solaire dans l’ordre de proximité par rapport au Soleil :
Mercure<Vénus<Terre<Mars<Jupiter<Saturne<Uranus<Neptune
Loi 1 : Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l’un des foyers.
Loi 2 : La ligne qui relie le Soleil à une planète décrit pendant des temps égaux
des aires égales.
Loi 3 : Le rapport du cube du demi-grand axe a de l’ellipse sur le carré de la
période de révolution T est une constante indépendante de la planète.
a3
T2
= Cte
Ces lois furent démontrées plus tard par Newton. Pour cela on s’appuie sur les hypothèses
suivantes :
. Le Soleil et les planètes sont des astres sphériques. Dans ce cas, on peut assimiler
chaque astre à une masse ponctuelle égale à la masse totale de l’astre et placée en son
centre.
. On suppose que l’on peut négliger l’interaction des autres astres que le Soleil sur une
planète donnée.
Le fait que le mouvement soit plan et qu’il suive la loi des aires est une conséquence directe
de la conservation du moment cinétique.
La nature elliptique de la trajectoire ne sera pas établie dans le cadre de ce cours.
Enfin, la troisième loi peut rapidement être retrouvée lors de l’étude du mouvement circulaire
a correspondant alors au rayon de la trajectoire (le calcul a déjà été fait dans le cours de
Terminale).
8
Ces lois peuvent être transposées à l’étude du mouvement de satellites terrestres :
Pour les établir on doit se placer dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
. La Terre, sphérique, est assimilable à un point matériel placé en son centre et de masse
égale à la masse de la Terre.
. On ne tient compte que de l’action gravitationnelle de la Terre sur le satellite en négligeant l’action de tous les autres astres.
Loi 1 : Les orbites des satellites sont des ellipses dont le centre de la Terre est
l’un des foyers.
Loi 2 : La ligne qui relie le satellite au centre de la Terre décrit pendant des
temps égaux des aires égales.
Loi 3 : Le rapport du cube du demi-grand axe a de l’ellipse sur le carré de la
période de révolution T est une constante indépendante du satellite.
a3
T2
9
= Cte
4.
a)
Cas particulier du mouvement circulaire
Vitesse circulaire
On considère un point matériel M de masse m en
mouvement dans le champ gravitationnel créé par un
astre sphérique de masse MA de centre O.
Cet astre étant sphérique, il créée en M le même champ
gravitationnel qu’une masse ponctuelle de masse MA
placée en O.
Cela peut correspondre à différentes situations :
– soit M correspond au centre d’une planète en orbite autour du Soleil : m correspond à
la masse de la planète, MA = MS masse du Soleil et le référentiel d’étude galiléen est le
référentiel héliocentrique.
– soit M correspond au centre de masse d’un satellite en orbite autour de la Terre. m est alors
la masse du satellite et MA = MT masse de la Terre. Le référentiel d’étude est le référentiel
géocentrique.
– soit M représente un satellite en orbite autour d’une planète (exemple : Io autour de Jupiter). m représente la masse du satellite, MA la masse de la planète autour de laquelle il
gravite. On se place dans le référentiel planétocentrique (ex : Jupiterocentrique) centrée au
centre de la planète et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel héliocentrique.
Si le mouvement est circulaire alors il est uniforme.
Démonstration 1 : par la constante des aires
On a montré que C = r2 θ̇ = Cte était une constante du mouvement. Pour une trajectoire
circulaire de rayon r = r0 :
C = r02 θ̇ = Cte d’où
θ̇ = cte
la vitesse angulaire du mouvement est constante et donc la vitesse linéaire l’est aussi
v = r0 θ̇ = v0
Démonstration 2 : par la conservation de l’énergie mécanique
k
1
Em = mv 2 − = Cte
2
r
Dans le cas de l’interaction entre un astre de masse MA et un point de masse m, k = GMA m,
et pour une trajectoire circulaire r = r0 .
1
GMA m
Em = mv 2 −
= Cte
2
r0
on en déduit
1 2
GMA m
1
mv = Cte +
= cte = mv02
2
r0
2
10
L’énergie cinétique est constante, le mouvement est uniforme ( k~v k = v0 ). La vitesse v0 est
appelée vitesse circulaire.
Démonstration 3 : Calcul de la vitesse circulaire
Nous allons calculer la vitesse circulaire et vérifier que la valeur trouvée est constante.
On considère le point M en orbite circulaire de
rayon r0
−−→
OM = r0~ur
~v (M ) = r0 θ̇~uθ = v~uθ avec v = r0 θ̇
2
~u − vr0 ~ur
~a(M ) = r0 θ̈~uθ − r0 θ̇2~ur = dv
dt θ
D’après le principe fondamental de la dynamique :
dv
v2
GMA m
m~a(M ) = m
~uθ − ~ur = −
~ur
dt
r0
r02
Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ~uθ redonne bien
est uniforme v = v0
ce qu’on retrouve également en projetant le PFD sur ~ur
−
m
dv
dt
= 0 le mouvement
GMA
v2
m
=−
2
r0
r0
v2 =
GMA
= v02
r0
r
v0 =
GMA
r0
On montre ainsi que la vitesse est constante et qu’elle dépend de la masse de l’astre central
et du rayon de l’orbite. 1
On peut alors retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d’un mouvement
circulaire.
Le mouvement étant uniforme la période T de révolution est reliée à la vitesse circulaire v0
par
v0 =
2πr0
T
En élevant au carré
v02 =
4π 2 r02
GMA
=
2
T
r0
1. On peut calculer également la vitesse angulaire θ̇ =
11
v0
r0
=
q
GMa
r03
=
2π
T
ce qui permet d’aboutir à
r03
GMA
=
2
T
4π 2
En admettant la généralisation du résultat aux orbites elliptiques on aura pour les planètes
3
S 2
et pour les satellites en orbite autour de la Terre
en orbite autour du Soleil Ta 2 = GM
4π 2
GMT
a3
= 4π2 .
T2
b)
Énergie du mouvement circulaire
k
1 GMA GMA m
GMA m
1
= m
−
=−
Em = Ec + Ep = mv02 −
2
r0
2
r0
r0
2r0
On remarque la relation importante suivante pour le mouvement circulaire
1 GMA
Ep
Ec = m
=−
2
r0
2
on peut alors écrire
Ep
2
Discuter de l’effet des frottements sur la vitesse du satellite (cf TD).
Em = −Ec =
c)
Calcul à partir de l’énergie potentielle effective
On peut retrouver l’expression de la vitesse circulaire et de l’énergie mécanique associée en
considérant l’énergie potentielle effective.
Pour que le mouvement soit circulaire de rayon r0 , r0 doit correspondre à la position du
1 C 2 GMA m
.
minimum de la courbe de Ep,eff = m 2 −
2 r
r
dEp,eff
C 2 GMA m
On calcule la dérivée
= −m 3 +
. Elle s’annule au minimum en r = r0 .
dr
r
r2
C2
GMA
m
3 =
m
2
r0
r0
C 2 = GMA r0
or C = r02 θ̇ = r0 v0 , d’où
r02 v02 = GMA r0
GMA
r0
On retrouve l’expression de la vitesse circulaire.
v02 =
2. Dans ce cas, il peut être intéressant de compter les longueurs en UA unité astronomique, égale au rayon
de l’orbite de la Terre autour du Soleil (1 UA= 1, 5.1011 m), et T en année.
12
De plus, l’énergie mécanique correspond à Em0 valeur minimale de Ep,eff . Ainsi :
1 C 2 GMA m
1 GMA r0 GMA m
GMA m
Em = Ep,eff (r0 ) = m 2 −
= m
−
=−
2
2 r0
r0
2
r0
r0
2r0
On retrouve l’expression de l’énergie pour une orbite circulaire.
5.
a)
Quelques notions sur les satellites terrestre
Généralités
Première phase : propulsée
Seconde phase : balistique (celle que l’on étudie ici)
b)
Vitesses cosmiques
Vitesse circulaire :
Pour obtenir une orbite circulaire, il faut que l’injection sur orbite se fasse perpendiculairement
au vecteur position et que la vitesse communiquée au satellite soit égale à la vitesse circulaire.
D’après le calcul fait précédemment
r
r
GMT
GMT
=
v0 =
r0
RT + h
avec RT rayon de la Terre et h altitude du satellite.
q
T
.
Pour une orbite basse h RT ( RT ' 6400 km) on aura v0 ' GM
RT
Remarque :
Pour calculer cette vitesse on utilise parfois la valeur de l’accélération de la pesanteur au
niveau du sol g = 9, 8 m.s−2 . Si on ne conserve que deux chiffres significatifs 3 , alors on peut
considérer que ~g est uniquement lié à l’attraction gravitationnelle terrestre
En identifiant les deux expressions équivalentes de la force gravitationnelle s’exerçant sur une
masse m placée à la surface de la Terre
m~g = −
GmMT
~ur
RT2
on trouve
~g = −
GMT
~ur
RT2
et donc, en prenant la norme
g=
GMT
RT2
ainsi GMT = gRT2 . Si on reporte dans l’expression de v0 orbite basse :
s
p
gRT2
= gRT
v0 =
RT
3. la valeur de g à trois chiffres significatifs, tient compte des effets dûs à la rotation de la Terre et à la
non sphéricité de la Terre. Pour ces raisons g varie de 9, 78 m.s−2 sur l’équateur à 9, 83 m.s−2 aux pôles
13
en prenant RT = 6, 4.103 km on trouve v0 ' 8 km.s−1 .
La vitesse circulaire en orbite basse vaut 8 km.s−1
14
Vitesse de libération
C’est la vitesse minimale à fournir au satellite pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle
terrestre. Notons v` cette vitesse. On suppose qu’initialement la distance entre M et le centre
de la Terre est égale à r0 .
On souhaite que le satellite atteigne l’infini avec au moins une vitesse nulle. À la limite Em = 0
(si on a choisi Ep = 0 à l’infini). On a vu que c’était l’énergie minimale pour avoir un état de
diffusion.
GMT m
1
=0
Em = mv`2 −
2
r0
GMT
= 2 v02
r0
√
v` = 2 v0
v`2 = 2
où v0 correspond à la vitesse circulaire pour une orbite de rayon r0 .
Pour une orbite basse la vitesse de libération est de l’ordre de 11 km.s−1 .
La vitesse de libération en orbite basse vaut 11 km.s−1
Remarque : pour Em = 0, la trajectoire est parabolique.
c)
Satellite géostationnaire
Un satellite est dit géostationnaire lorsqu’il est immobile dans tout référentiel lié à la Terre
(référentiel terrestre).
Cela concerne par exemple, les satellites de télécommunication, ou d’observation terrestre
(comme météosat).
Ce satellite reste toujours à la verticale d’un même point de la Terre.
http://files.meteofrance.com/files/education/animations/satellite_geostationnaire/
lowres/popup.html
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/satelstat.
html
Première contrainte : la période du satellite doit être égale à celle de rotation de la Terre sur
elle même dans le référentiel géocentrique (jour sidéral Tsid , légèrement plus court que le jour
solaire Tsol ) 4 . Cette contrainte impose l’altitude.
http://guydoyen.fr/2012/02/27/difference-entre-jour-sideral-et-jour-solaire/
Cependant le plan de l’orbite contient le centre de la Terre. Pour que le satellite reste
à la verticale d’un même point il doit impérativement se situer dans le plan équatorial.
(Remarque : montrer la trajectoire relative du satellite dans le cas où sa période est correcte
mais où il n’est pas situé dans le plan équatorial, voir deuxième site).
4. Par définition Tsol = 24 h, on a Tsid =
365,25
366,25 Tsol
= 23 h 56 min 4 s
15
Calcul de l’altitude
On peut utiliser la troisième loi de Kepler
(RT + h)3
GMT
=
2
T
4π 2
h=
GMT T 2
4π 2
13
− RT = 35, 8.103 km
où on a pris les valeurs numériques :
• constante géocentrique : GMT = 398, 6.103 km3 .s−2 .
• durée d’un jour sidéral Tsid = 86164 s
• rayon de la Terre RT = 6, 38.103 km
On retiendra l’ordre de grandeur de 36.103 km (valeur à deux chiffres significatifs).
L’altitude d’un satellite géostationnaire est d’environ 36000 km
16
d)
Trajectoire elliptique
α) Description
2a = rmin + rmax : grand axe de l’ellipse
P périastre : point le plus proche de O (périgée pour un satellite terrestre, périhélie pour une
planète ou une comète).
A apoastre : point le plus éloigné de O (apogée pour un satellite terrestre, aphélie pour une
planète ou une comète).
Ces deux positions correspondent aux extrema de r. On a donc ṙ = 0 pour r = rmin et
r = rmax .
En A et P , ~v = rθ̇~uθ , A et P sont les deux points de la trajectoire où la vitesse en orthoradiale.
~ et ~vP ⊥ OP
~
~vA ⊥ OA
Conservation du moment cinétique : on exprime le moment cinétique en A et P :
−→
−→
~σ0 = OP ∧ m~vp = OA ∧ m~vA
−→
−→
OP ∧ ~vp = OA ∧ ~vA
rmin~ux ∧ vP ~uy = rmax (−~ux ) ∧ vA (−~uy )
rmin vP ~uz = rmax vA~uz
rmin vP = rmax vA
Le périgée correspond au point de vitesse maximale et l’apogée au point de vitesse minimale.
17
β) Énergie d’une trajectoire elliptique
Reprenons l’expression de l’énergie mécanique
1
1 C2
Em = mṙ2 + m 2 + Ep (r)
2
2 r
avec C la constante aréolaire du mouvement et, pour un satellite de masse m en orbite autour
GMT m
.
de la Terre, Ep = −
r
1
1 C 2 GMT m
Em = mṙ2 + m 2 −
2
2 r
r
Pour chaque valeur extrémale de r (r = rmin et r = rmax )
ṙ = 0. Ainsi rmin et rmax sont racines de l’équation
1 C 2 GMT m
Em = m 2 −
2 r
r
que l’on peut transformer pour faire apparaître un trinôme en multipliant chaque membre par r2 :
1
Em r2 = mC 2 − GMT mr
2
GMT m
1 mC 2
r +
r−
=0
Em
2 Em
2
r2 +
GMT m
1 mC 2
r−
= 0 = (r − rmax )(r − rmin )
Em
2 Em
= r2 − (rmax + rmin ) + rmax rmin
GMT m
Em
Or rmin + rmax = 2a représente la longueur du grand axe de l’ellipse (a correspondant au
demi-grand axe). D’où
On en déduit, par identification, rmin + rmax = −
Em = −
GMT m
2a
qui correspond à la généralisation de la valeur obtenue pour l’orbite circulaire : on remplace
le diamètre de l’orbite circulaire par le grand axe de l’ellipse.
18
e)
Mise sur orbite
~ 0 . On
La vitesse initiale de mise sur orbite est choisie perpendiculaire au rayon vecteur OM
fait varier sa norme v.
4
v = v`
3
v >v`
2
v0 <v <v`
v = v0 1
v <v0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
O
0.5
M0
1
r/r0
-1
On note v0 la vitesse circulaire associée à r0 = OM0 , et v` =
•
•
•
•
•
pour
pour
pour
pour
pour
√
2v0 la vitesse de libération.
0 < v < v0 la trajectoire est elliptique de foyer O. M0 est l’apoastre.
v = v0 la trajectoire est circulaire.
v0 < v < v` la trajectoire est elliptique de foyer O. M0 est le périastre.
v = v` la trajectoire n’est plus bornée : c’est une parabole de foyer O.
v > v` la trajectoire est une hyperbole de foyer O.
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Annexe : Jour solaire - jour sidéral
Le jour solaire est la durée séparant deux passages successifs du soleil au même méridien.
Le jour sidéral représente la période de révolution de la Terre par rapport au référentiel de
Copernic.
On note Tsol la durée d’un jour solaire et Tsid la durée
d’un jour sidéral.
En un jour solaire, la Terre a effectué un peu plus d’un
tour sur elle même. Elle a tourné d’un angle 2π + α où
α correspond à l’angle parcouru en un jour solaire par
la Terre sur son orbite autour du soleil. Or elle parcourt
toute l’orbite en 1 année, soit 365,25 jours solaires (on
tient compte des années bissextiles). Ainsi
α=
2π
365, 25
On peut alors écrire
2π
366, 25
2π
Tsol = 2π + α = 2π +
= 2π
Tsid
365, 25
365, 25
d’où
Tsid =
365, 25
Tsol
366, 25
Par définition, Tsol = 24h = 86400 s. On a alors
Tsid = 86164 s, soit 23h 56min 4s.
voir également le site :
http://guydoyen.fr/2012/02/27/difference-entre-jour-sideral-et-jour-solaire/
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