Projection

Nombres complexes — Forme polaire
Algèbre linéaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
Département de mathématiques et d’informatique
Université Laurentienne
Sudbury, 3 avril 2011
Forme polaire
Le nombre complexe z = a + bi est
ℑ
représenté par un point dans le plan complexe. Ce point a (a, b) pour coordonnées
cartésiennes. On peut aussi le donner par
b
ses coordonnées polaires qui sont
le module de z, r = |z| ≥ 0 et
l’argument de z, θ = arg(z).
z = a + bi
r
θ
La représentation d’un nombre complexe
a
par ses coordonnées polaires (r , θ) est appelée la forme polaire de ce nombre.
Si la forme polaire (r , θ) d’un nombre complexe est connue, sa
forme cartésienne (a, b) est alors donnée par
a = r cos θ,
b = r sin θ.
ℜ
Conventions pour les coordonnées polaires
Si r > 0, l’argument θ est unique modulo 2π ; ça signifie que
deux valeurs de l’argument qui diffèrent par un multiple entier
de 2π sont considérés comme équivalents. Pour obtenir une
représentation unique, la convention est de choisir θ dans
l’intervalle ] − π, π], c’est-à-dire −π < θ ≤ π.
Si r = 0, toute valeur de θ détermine le même nombre. Pour
obtenir une représentation unique dans ce cas, la convention
est de choisir arg(0) = 0.
Conversion de la forme polaire à la forme cartésienne
Exemples : A) Quel est le nombre complexe qui a pour forme
polaire (5, 0) ?
a = r cos θ = 5 cos(0) = 5
b = r sin θ = 5 sin(0) = 0
z = a + bi = 5.
B) Quel est le nombre complexe qui a pour forme polaire 2, π/2 ?
a = r cos θ = 2 cos(π/2) = 0
b = r sin θ = 2 sin(π/2) = 2
z = a + bi = 2i .
C) Quel est le nombre complexe qui a pour forme
√ polaire 6, −π/4 ?
a = r cos θ = 6 cos(−π/4) = 3 2
√
b = r sin θ = 6 sin(−π/4) = −3 2
√
√
z = a + bi = 3 2 − 3 2 i .
Ce qu’il faut retenir en trigonométrie
Angle
0
(0◦ )
π/6 (30◦ )
π/4 (45◦ )
π/3 (60◦ )
π/2 (90◦ )
sin
0
√0.5
√2/2
3/2
1
cos
√1
√3/2 L’unité utilisée en trigonométrie
2/2 pour les angles est le radian (noté
0.5 rad). πrad = 180˚.
0
Conversion de la forme cartésienne à la forme polaire
On suppose connue la forme cartésienne (a, b) d’un nombre
complexe. Sa forme polaire (r , θ) est alors donnée par
p
r =
a2 + b 2

arctan(b/a)
si a > 0,




arctan(b/a)
+
π
si
a < 0 et b ≥ 0,



arctan(b/a) − π si a < 0 et b < 0,
θ =
+π/2
si a = 0 et b > 0,





−π/2
si a = 0 et b < 0,


0
si a = 0 et b = 0.
La formule précédente nécessite de distinguer plusieurs cas.
Cependant, de nombreux langages de programmation fournissent
une variante de la fonction arc tangente, qui est souvent appelée
atan2(b,a), et qui traite les différents cas à l’interne.
Ce qu’il faut retenir en trigonométrie (suite)
Angle
0
(0◦ )
π/6
(30◦ )
π/4
(45◦ )
π/3
(60◦ )
π/2
(90◦ )
2π/3 (120◦ )
3π/4 (135◦ )
tan
0√
1/ 3
√1
3
+∞
√
− 3
−1
Conversion de la forme cartésienne à la forme polaire
Une formule utilisant la fonction arccos nécessite de distinguer
moins de cas :

 + arccos(a/r ) si b ≥ 0 et r 6= 0,
θ=
− arccos(a/r ) si b < 0,

0
si r = 0.
Exemples de forme polaire
1) Soit z = −2 + 2i en forme cartésienne. Trouvez la forme polaire.
Le rayon est donné par
r=
L’angle est donné par
q
(−2)2 + (2)2 =
2
−2
θ = arctan
+π =
√
8.
3π
(= 135◦ ).
4
2) Soit z = −4i en forme cartésienne. Trouvez la forme polaire.
Le rayon est donné par
r=
q
(0)2 + (−4)2 = 4.
On est dans le cas a = 0, b < 0 donc l’angle est donné par
−π
θ=
(= −90◦ ).
2
Notation de la forme polaire
Quand la forme polaire est notée
z = r (cos θ + i sin θ)
on l’appelle la forme trigonométrique.
Il existe une autre forme, la forme exponentielle.
Rappel sur les exponentiels :
e x e y = e x+y
e −x =
1
ex
e0 = 1
Exponentielles complexes
On peut prendre comme définition de l’exponentiel complexe la
formule d’Euler (1748)
ei θ = cos θ + i sin θ.
Le nombre complexe dont la forme trigonométrique est
z = r (cos θ + i sin θ) s’écrit alors
z = r ei θ ,
qui est la forme exponentielle.
Exemple de forme polaire
2) Soit z = −4i en forme cartésienne. Trouvez la forme polaire.
Le rayon est donné par
r=
q
(0)2 + (−4)2 = 4.
On est dans le cas a = 0, b < 0 donc l’angle est donné par
θ=
−π
(= −90◦ ).
2
La forme trigonométrique est
−π
−π
z = 4 cos
+ i sin
2
2
et la forme exponentielle est
z = 4 e −i π/2 .
Exemple de forme cartésienne
3) Soit z = 2e i π/3 en forme polaire. Trouvez la forme cartésienne.
On a que le rayon est r = 2 et que l’angle est θ = π/3.
La partie réelle a est donnée par
a = r cos θ = 2 cos
1
π
= 2 = 1.
3
2
La partie imaginaire b est donnée par
√
π
3 √
b = r sin θ = 2 sin = 2
= 3.
3
2
La forme cartésienne est donc
z =1+
√
3 i.
Multiplication utilisant la forme polaire
La propriété des exponentielles e x e y = e x+y s’étend au cas des
exponentielles complexes.
ei θ1 ei θ2 = ei (θ1 +θ2 )
On peut le montrer avec la trigonométrie :
ei θ1 ei θ2 = (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )
= (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 )
= cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )
= ei (θ1 +θ2 )
La multiplication de deux nombres complexes est plus facile en
forme polaire qu’en forme cartésienne :
i θ2
i θ1
= r1 r2 ei (θ1 +θ2 ) .
r2 e
z1 z2 = r1 e
Exemple de multiplication en forme polaire
4) Multipliez z = 1 − i et w = 1 +
polaire.
√
3 i en utilisant la forme
On a que les formes polaires de z et w sont
√
z = 2 e −i π/4 et w = 2 e i π/3 .
Alors le produit de z par w est donné par
√
√
zw = ( 2)(2)e i ((−π/4)+(π/3)) = 2 2 e i π/12 .
Division utilisant la forme polaire
Suivant la même idée que sur le transparent précédent, la division
de deux nombres complexes est beaucoup plus facile en forme
polaire qu’en forme cartésienne :
z1
r1 ei θ1
r1
=
= ei (θ1 −θ2 )
i
θ
2
z2
r2 e
r2
Notez aussi que
z = a − bi = re −i θ .
le conjugué est le complexe de même module, mais d’argument
opposé.
Exemple de division en forme polaire
5) Divisez z = 1 − i par w = 1 +
√
3 i en utilisant la forme polaire.
On a que la forme polaire de z et w sont
√
z = 2 e −i π/4 et w = 2 e i π/3 .
Alors la division de z par w est donnée par
√
√
2 i ((−π/4)−(π/3))
2 −i 7π/12
z
=
e
=
e
.
w
2
2
Puissances utilisant la forme polaire
La forme polaire facilite aussi le calcul des puissances entières selon
la formule de De Moivre (1730),
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
En notation exponentielle, c’est plus évident
n
ei θ = ei (nθ) .
Pour un complexe z = r ei θ quelconque, on obtient
z n = (r ei θ )n = r n (ei θ )n = r n einθ
Exemple d’une puissance en utilisant la forme polaire
6) Soit z = −1 +
√
3 i . Trouvez z 12 = (−1 +
√ 12
3 i) .
La forme polaire de z est
z = 2 e i 2π/3 .
Alors
z 12 = 212 e i (12)(2π/3) = 4096e i 8π = 4096 e i 0 = 4096.
Relation à la trigonométrie
La formule d’Euler procure un lien puissant entre l’analyse et la
trigonométrie, et permet d’interpréter les fonctions sinus et
cosinus comme des sommes pondérées de fonctions exponentielles.
Si on additionne ou soustrait les formules d’Euler :
ei θ = cos θ + i sin θ,
e−i θ = cos θ − i sin θ,
et on résout soit le sinus, soit le cosinus, on obtient
cos θ =
ei θ + e−i θ
,
2
sin θ =
ei θ − e−i θ
.
2i
Ces relations peuvent même servir de définition aux fonctions
trigonométriques avec un argument complexe θ. Par exemple, soit
θ = i ϕ, on a :
cos(i ϕ) =
e−ϕ + eϕ
= cosh(ϕ),
2
sin(i ϕ) =
e−ϕ − eϕ
= i sinh(ϕ).
2i
Identité d’Euler eiπ + 1 = 0
L’identité d’Euler, ei π + 1 = 0 , est remarquable pour sa beauté
mathématique. Trois fonctions arithmétiques de base sont
présentes exactement une fois : addition, multiplication, et
l’exponentiation. Aussi, l’identité relie cinq constantes
mathématiques fondamentales :
Le nombre 0.
Le nombre 1.
Le nombre π, qui est omniprésent en trigonométrie, en
géométrie euclidienne et en analyse mathématique.
Le nombre d’Euler e, base des logarithmes népériens, qui
apparaı̂t souvent en analyse mathématique.
Le nombre i , l’unité imaginaire des nombres complexes.
Un vote des lecteurs mené par Mathematical Intelligencer a nommé
cette identité “the most beautiful theorem in mathematics”. Un
autre vote mené par Physics World en 2004 l’a nommé “the
greatest equation ever”, à égalité avec les équations de Maxwell.