Structures algébriques Feuille d`exercices n 1

Institut Galilée
Université Paris 13
Licence de Mathématiques
semestre 5
Structures algébriques
Feuille d’exercices n◦1
Exercice 1.
(1) Soit la loi a ∗ b = 2(a + b) sur N. Étudier sa commutativité et son
associativité.
(2) Soient E un ensemble de cardinal > 1 et ∗ la loi définie sur E par a ∗ b = b.
Étudier la commutativité et l’associativité de la loi ∗. Existe-t-il un élément neutre
à gauche ?
Exercice 2. Soit G =]0, 1[∪]1, +∞[⊂ R, et ∗ la loi sur G définie par a ∗ b = alog(b) . Est-ce
une loi de groupe ?
Exercice 3. Soit E un ensemble. On définit la loi ∆ sur P(E) en posant
X∆Y = (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ) = (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y )
pour X, Y ∈ P(E) (différence symétrique). Montrer que (P(E), ∆) est un groupe abélien.
Exercice 4. Soit E un ensemble. On définit la loi ∗ sur P(E) en posant
(
X ∪Y
si X ∩ Y = ∅
X ∗Y =
E
sinon
Montrer que ∗ est associative et commutative.
Exercice 5. Soit ∗ une loi de composition sur un ensemble G qui est associative. On
suppose qu’il existe e ∈ G tel que pour tout x ∈ G, on a e ∗ x = x, et il existe y ∈ G tel
que y ∗ x = e. Montrer que (G, ∗) est un groupe.
√ Exercice 6. Soit G = x ∈ R× , (∃(a, b) ∈ Q2 ), x = a + b 3 . Montrer que c’est un
sous-groupe de R× pour la multiplication.
Exercice 7. Montrer que, pour n ∈ Z× = {±1} et m ∈ Z, les applications
fn,m : Z → Z
a 7→ na + m
forment un groupe non abélien (pour la composition).
Exercice 8.
(1) Combien y-a-t-il de lois de composition sur un ensemble à n éléments ?
Pour n = 2 , combien sont commutatives, unitaires ?
(2) Trouver sur un ensemble à deux éléments {a,b}, une loi de composition associative
et non commutative, puis une loi commutative et non associative.
(3) Combien a-t-on de lois de groupe sur un ensemble à 1, 2 ou 3 éléments ?
Exercice 9.
(1) Soit U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Vérifier que
(U, .) est un groupe.
1
2
(2) Étant donné un entier n > 0, montrer que l’ensemble Un des racines n-ièmes de
l’unité est un sous-groupe de U. Quel est son ordre ?
Exercice 10. Soient (G, ∗) un groupe et g un élément de G. Montrer que l’application
x 7→ g ∗ x est une bijection de G dans lui-même.
Exercice 11.
(1) Montrer, pour un groupe G, que l’application x 7→ x−1 est un homomorphisme si et seulement si G est abélien.
(2) Montrer, pour un groupe G, que l’application x 7→ x2 est un homomorphisme si et
seulement si G est abélien.
Exercice 12. Soit (G, ∗) un groupe fini. Montrer que, pour tout a et tout b de G les
éléments a et a−1 ont même ordre, que les éléments a et b ∗ a ∗ b−1 ont même ordre, puis
que les éléments a ∗ b et b ∗ a ont même ordre.
Exercice 13. Soient G un groupe et e son élément neutre.
(1) Montrer que si x2 = e pour tout x ∈ G, alors G est abélien.
(2) Si x3 = e pour tout x ∈ G, le groupe G est-il nécessairement abélien ?
Exercice 14. Soit G un groupe qui contient un seul élément x d’ordre 2. Montrer que
x ∗ g = gx pour tout g ∈ G.
Exercice 15. Montrer que, dans un groupe commutatif G, l’ensemble des éléments d’ordre
fini forme un sous-groupe de G. Est-ce vrai pour un groupe non commutatif ? (Considérer
les symétries par rapport à deux droites parallèles).
Exercice 16. Vérifier que l’intersection de deux sous-groupes H1 et H2 d’un groupe G est
un sous-groupe de G. Montrer qu’il en est de même de leur réunion si et seulement si on
a H1 ⊆ H2 ou H2 ⊆ H1 .
Exercice 17. Soient G un groupe et a, b ∈ G d’ordres m et n respectivement, tels que
ab = ba et pgcd(m, n) = 1. Montrer que ab est d’ordre mn. Trouver un contre-exemple
lorsqu’on ne suppose pas ab = ba ou pgcd(m, n) = 1.