Corrigé

Cours d’Algèbre II
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
24 avril 2013
Série 20
Exercice 1.
Donner la liste des idéaux de Z contenant 8Z et la liste des idéaux de Z/8Z.
Que remarque-t-on ?
Solution.
(1) Notons premièrement que tout idéal de Z est en particulier un sous-groupe
de (Z, +), donc sous la forme nZ pour un entier n ≥ 1. Comme tous
ces sous-groupes sont des idéaux, on conclut que les idéaux de Z sont
précisément les ensembles nZ pour n ≥ 1.
Ainsi, les idéaux de Z contenant 8Z sont les sous-groupes nZ pour n ≥ 1
tel que 8Z ⊂ nZ, i.e. 8|n. Explicitement, il s’agit de
2Z, 4Z, 8Z, Z.
(2) De même, on note que les idéaux de Z/8Z sont en particulier des sousgroupes de (Z/8Z, +), donc des images des groupes abéliens de Z contenant 8Z par la projection
π : Z → Z/8Z,
par le théorème de correspondance vu en cours. Explicitement, il s’agit de
{0}, 2Z/8Z, 4Z/8Z, Z/8Z.
Comme ce sont tous des idéaux de Z/8Z, on conclut que ce sont les idéaux
de Z/8Z.
On remarque que les idéaux de Z contenant 8Z sont en correspondance bijective
avec les idéaux de Z/8Z, à travers la projection π.
Exercice 2.
Montrer que les anneaux (Z + 5Z[i])/5Z[i] et Z/5Z sont isomorphes.
Solution. Comme 5Z ∩ 5Z[i] = 5Z, il s’agit d’une application immédiate du
second théorème d’isomorphisme pour les anneaux.
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Exercice 3.
Soit G un groupe. On rappelle que le commutateur [g, h] de g, h ∈ G est défini
par la formule [g, h] := g −1 h−1 gh. On note
[G, G] := h [x, y] | x, y ∈ G i
le sous-groupe de G engendré par les commutateurs de G.
(1) Montrer que [G, G] est normal dans G.
(2) Montrer que G/[G, G] est abélien.
(3) Soit π : G −→ G/[G, G] la surjection canonique. Montrer que si
f : G −→ A est un homomorphisme de groupes avec A abélien, alors
il existe un unique homomorphisme de groupe g : G/[G, G] −→ A tel que
f = g ◦ π.
(4) Calculer [Z/nZ, Z/nZ] puis [D2n , D2n ].
(5) Montrer que [Sn , Sn ] est un sous-groupe de An .
Solution.
(1) Pour tous [g, h] ∈ [G, G] et x ∈ G, on a
x[g, h]x−1 = xghg −1 h−1 x−1
= (xg −1 x−1 )(xh−1 x−1 )(xg −1 x−1 )(xh−1 x−1 )
= [xgx−1 , xhx−1 ] ∈ [G, G].
Comme tout élément de [G, G] s’écrit comme un produit de commutateurs,
on en déduit que [G, G] est normal dans G.
(2) Notons qu’un groupe est abélien si et seulement si son sous-groupe des
commutateurs est trivial. Pour π : G → G/[G, G] la projection canonique
et g, h ∈ G, notons que
[π(g), π(h)] = π([g, h]) = 1,
d’où [G/[G, G], G/[G, G]] = [π(G), π(G)] = {1}, c’est-à-dire que G/[G, G]
est abélien.
(3) Sous les conditions de l’énoncé, remarquons que pour tous g, h ∈ G, on a
f ([g, h]) = [f (g), f (h)] = 0
puisque A est abélien. Par la propriété universelle du groupe quotient
vue en cours, il existe alors un unique homomorphisme de groupes g :
G/[G, G] −→ A tel que f = g ◦ π.
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(4) Comme Z/nZ est abélien, on a que [Z/nZ, Z/nZ] = 0. D’autre part,
rappelons que D2n = hr, s : rn = 1, s2 = 1, s−1 rs = r−1 i. Or
[ra , rb s] = ra rb sr−a s−1 r−b = ra rb ra r−b = r2a ,
[ra s, rb s] = ra srb ss−1 r−a s−1 r−b = ra r−b ra r−b = r2(a−b) ,
[ra , rb ] = 1.
Par conséquent, il vient que [D2n , D2n ] = hr2 i, qui est isomorphe à Z/ n2 Z
si n est pair et à Z/nZ si n est impair.
(5) Par définition, [Sn , Sn ] est un sous-groupe de Sn . Soit sig : Sn → {±1}
l’homomorphisme signature. Pour tous σ, τ ∈ Sn , on a que
sig([σ, τ ]) = [sig(σ), sig(τ )] = 1 ∈ {±1},
car le groupe à deux éléments {±1} est abélien. Ainsi, tous les commutateurs de Sn sont contenus dans An , ce qui montre que le sous-groupe
engendré par ceux-ci est un sous-groupe de An .
Exercice 4.
Soient K un corps et P (X) ∈ K[X]. Montrer que P (X)−X divise P (P (X)) − X.
Solution.
Considérons l’anneau R = K[X]/(P (X) − X). Pour tout f ∈ R, on note f sa
classe dans R. Notons que K s’injecte dans R par l’application K ∋ a → a ∈ R,
donc on peut voir P comme un polynôme à coefficients dans R, que nous noterons
P ∈ R[T ]. Remarquons que pour tout f ∈ K[X], l’évaluation de P en f ∈ R est
donnée par
P (f ) = P (f ) ∈ R.
Par conséquent, il vient que
P (P (X)) − X = P (P (X)) − X
= P (P (X)) − X
= P (X) − X
= P (X) − X = 0.
Ainsi, P (P (X))−X ∈ (P (X)−X), c’est-à-dire que P (X)−X divise P (P (X)) − X
comme on souhaitait le montrer.