Interrogation 1

Université de Nice
2005-06
Licence de mathématiques (L3)
Compléments d’algèbre et arithmétique
Interrogation 1
NOM :
Exercice 1.
1.1. Donner une preuve de l’énoncé suivant : Soit H un sous-groupe de Z. Il existe un entier
naturel m tel que H = mZ.
Si H est réduit à zéro, on prend m = 0. Sinon, il existe un plus petit élément strictement positif dans H.
On le désigne par m. Pour x élément de H, on fait la division euclidienne de x par m :
x = mq + r
avec 0 ≤ r < m.
Comme H est un sous-groupe, il contient les multiples de m, donc qm et aussi r = x − qm. Comme m
est le plus petit élément strictement positif de H, c’est que r = 0 et que x est un multiple de m. On a
donc H = mZ.
1.2. On considère le sous-groupe H de Z engendré par le système (70, 36, 45). Que peut-on
en dire ?
Les entiers 70, 36, 45 sont premiers entre eux. On peut donc exprimer 1 comme combinaison de 70, 36, 45
et 1 est dans H. On en conclut que H = Z.
Par exemple, 2 × 36 − 70 = 2 et 45 − 22 × 2 = 1, d’où 1 = 45 − 44 × 36 + 22 × 70.
Exercice 2. On considère le morphisme de groupes libres
f : Z3 −→ Z
(x1 , x2 , x3 ) 7−→ 2x1 + 5x2 − 3x3 .
Rappeler la définition d’une Z-base. Déterminer l’image et le noyau de f . Montrer que ce
sont des groupes libres et en donner des Z-bases.
Un système (e
Pi , i ∈ I) est une Z-base d’un groupe abélien L si tout élément x de L s’écrit de manière
unique x = i∈J ni ei avec J sous-ensemble fini de I et nj entier pour tout j dans J. S’il existe une
Z-base, L est alors libre. S’il existe une Z-base finie à r éléments, L est alors libre de rang r.
L’image de f est le sous-groupe de Z engendré par les images 2, 5 et -3 des éléments de la Z-base
canonique de Z3 . Comme ces entiers sont premiers entre eux, f (Z3 ) est égal à Z et f est surjective. Le
noyau ker f est le sous-groupe de Z3 défini par l’équation 2x1 + 5x2 − 3x3 = 0.
(1) Le noyau contient les deux éléments y := (−5, 2, 0) et z := (3, 0, 2). Ces deux vecteurs sont
indépendants dans Q3 (ou R3 ), donc, a fortiori, indépendants dans Z3 . Forment-ils une Z-base de
ker f ? Comme ils forment une base du sous-espace vectoriel défini par l’équation 2x1 +5x2 −3x3 =
0 dans Q3 , tout élément x de Z3 a une écriture unique x = αy + βz avec α et β rationnels. On a
donc
x3
x2
y + z.
x=
2
2
Or il existe des éléments de ker f avec x2 et x3 non tous les deux pairs, par exemple (1, −1, −1).
Donc (y, z) n’est pas un système générateur de ker f .
(2) On essaie alors avec u = (1, −1, −1) et z = (3, 0, 2), toujours indépendants dans Q3 . On calcule
x + x2 u = (x1 + x2 , 0, x3 − x2 ) et on note que 2(x1 + x2 ) = 3(x3 − x2 ) puisque x est dans ker f .
On en déduit qu’il existe un entier k tel que x1 + x2 = 3k et x3 − x2 = 2k, puis que x = x2 u + kz.
Le système (u, z) est une Z-base de ker f qui est donc libre de rang 2.
2
Exercice 3. VRAI (et preuve) ou FAUX (et exemple).
3.1. Dans un groupe G d’ordre 34 = 81, l’ordre d’un élément est une puissance de 3.
VRAI : l’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe 34 , donc est une puissance de 3.
3.2. Dans Z2 le système ((3, 7), (1, 1)) est une Z-base.
FAUX : le déterminant de la matrice du système de vecteurs dans la base canonique de Z2 est −4 qui n’est
pas inversible dans Z. En revanche, comme ce déterminant est non nul les deux vecteurs sont indépendants
dans Q2 ou R2 , donc dans Z2 . Mais, le vecteur (1, 0) n’est pas combinaison linéaire à coefficients entiers
de (3, 7) et (1, 1)).
3.3. Le groupe (Z/9Z)2 est isomorphe à Z/81Z.
FAUX : Dans Z/81Z la classe de 1 modulo 81 est d’ordre 81, alors que dans (Z/9Z)2 , tout élément est
annulé par 9, donc d’ordre 1, 3 ou 9.
Attention à la rédaction : ne pas dire ”le théorème chinois ne s’applique pas”. La liste des théorèmes qui
ne s’appliquent pas ou s’appliquent en donnant une autre conclusion que celle souhaitée est très longue !
En revanche on peut dire que le théorème chinois énonce que Z/mZ × Z/nZ est isomorphe à Z/mnZ si
et seulement si m et n sont premiers entre eux.
3.4. Il y a, à isomorphisme près, un seul groupe abélien d’ordre 81 ayant un élément d’ordre
81.
VRAI : Tout groupe cyclique G d’ordre 81 est isomorphe à Z/81Z. On obtient un isomorphisme en
envoyant la classe de 1 modulo 81 sur un élément x d’ordre 81 dans G, et donc en envoyant la classe de
n sur nx.
3.5. Tous les groupes d’ordre 17 sont cycliques.
VRAI : Si G est d’ordre 17, premier, tout élément x de G a un ordre qui divise 17, donc égal à 1, auquel
cas x = 0, ou, si x 6= 0, égal à 17. Le groupe G est donc cyclique.
3.6. On considère dans un groupe abélien G un élément x tel que 36x = 0. Pour prouver que
x est d’ordre 36, il suffit de vérifier que 12x et 18x ne sont pas nuls dans G.
VRAI : Si x est annulé par 36 son ordre est un diviseur de 36. Il est d’ordre 36 si et seulement si il n’est
pas annulé par des diviseurs stricts de 36. Or, tout diviseur de 36 différent de 36 = 22 × 32 est un diviseur
de 18 = 2 × 32 ou de 12 = 22 × 3.
Exercice 4. (supplémentaire). Combien y a-t-il de matrices dans M2 (Z/2Z) ? Combien de
matrices inversibles ?
Se donner une matrice dans M2 (Z/2Z), c’est se donner 4 éléments de Z/2Z. Il y a donc 24 = 16
éléments dans M2 (Z/2Z). Une telle matrice est inversible si ses deux vecteurs colonnes sont linéairement
indépendants dans (Z/2Z)2 , espace vectoriel sur le corps Z/2Z.
Dans (Z/2Z)2 , il y a 4 vecteurs, dont 3 non nuls. Ces trois vecteurs sont deux à deux linéairement
indépendants. Se donner une matrice inversible, c’est se donner 2 vecteurs colonnes linéairement indépendants. Il y en a donc 6. Le groupe GL(2, Z/2Z) est donc d’ordre 6. Vérifier qu’il s’identifie au groupe
symétrique S3 (non abélien) : toute transformation linéaire inversible induit une permutation sur les
vecteurs non nuls.