Partie I - Angles d`Euler
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MPSI B DM 14 9 avril 2017 Partie I - Angles d’Euler − − → − → − → → − → − → Soit ( i , j , k ) et ( i1 , j1 , k1 ) deux bases orthonormées directes. On suppose → − → − que ( k , k1 ) est libre. Il existe alors une unique rotation r telle que → − → − → − → − → − → − r( i ) = i1 , r( j ) = j1 , r( k ) = k1 − → j1 On se propose de définir les trois angles d’Euler θ, ϕ, ψ qui permettent de repérer − → − → − → ( i1 , j1 , k1 ) et de décomposer r en trois rotations d’angles θ, ϕ, ψ autour d’axes − → − → − → orientés s’exprimant très simplement avec ( i , j , k ). → − → − − Soit θ l’écart angulaire entre k et k1 . Il existe un unique vecteur unitaire → u → − → − → − → − − orthogonal à k et k1 tel que k1 = r→ ( k ). On notera u ,θ − → k − → i1 θ − → k1 ψ − → i ϕ − → j − r1 = r→ u ,θ − → u → − − − ( i ). On notera Soit ϕ l’unique réel dans [0, 2π[ tel que → u = r→ k ,ϕ − r2 = r→ k ,ϕ → − → − → ( u ). On notera Soit ψ l’unique réel dans [0, 2π[ tel que i1 = r− k ,ψ 1 → r3 = r− k ,ψ 1 → − → − 1. Calculer r3 ◦ r1 ◦ r2 ( i ) et r3 ◦ r1 ◦ r2 ( k ). En déduire que r3 ◦ r1 ◦ r2 = r. − 2. Soit → w un vecteur non nul, α un réel quelconque et f une rotation. Montrer Fig. 1 – Angles d’Euler que −1 − − = rf (→ f ◦ r→ w ,α ◦ f w ),α Dans la première partie, on introduit des angles d’Euler pour repérer les rotations d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Dans la suite on introduit les quaternions de Hamilton comme des matrices 2 × 2 à coefficients complexes et diverses structures sur cet espace. On définit en particulier un R-espace vectoriel euclidien de dimension 3 formé de quaternions dits purs. Bien que, de nature matricielle par définition, les quaternions purs seront regardés le plus souvent comme des vecteurs. On retrouve à la fin les angles d’Euler en termes de quaternions. Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 3. On adopte les notations suivantes : − , rϕ = r2 = r→ k ,ϕ − , rψ = r→ k ,ψ − Rθ = r→ i ,θ → − → − Que valent rϕ ( i ) et r1 ( k ) ? Exprimer r1 à l’aide de rϕ et Rθ . En déduire r = rϕ ◦ Rθ ◦ rψ − → − → − → Écrire sous la forme d’un produit, la matrice de r dans la base ( i , j , k ). 1 Rémy Nicolai M0514E MPSI B DM 14 Partie II - Quaternions. Partie III - Multiplications On appelle quaternion toute matrice complexe a −b avec (a, b) ∈ C2 q= b a On définit une application S de H dans H par : ∀q ∈ H : = 2 ∀q ∈ H : ∀q ∈ H : b. Calculer det gq . 3. Calculer det Cq . 2. Vérifier que qq = N (q)1H . Montrer que si q 6= 0H , la matrice q est inversible avec 1 q q −1 = N (q) Partie IV - Produit scalaire − − Pour tout couple (→ u,→ v ) de quaternions purs, on pose En déduire que q −1 ∈ H. 3. Montrer que pour tout couple (q, q ) de quaternions, 4. Soit q ∈ H, montrer = 1 −→ − − u− v) (→ u /→ v ) = − tr(→ 2 q0 q − q) ∈ E. On posera 1. Vérifier que la formule du dessus définit un produit scalaire sur E et que − → − → − → ( i , j , k ) est une base orthonormée. − → 1 Vq = (q − q) 2 2. L’espace vectoriel euclidien de dimension 3 E est orienté en décrétant que − → − → − → ( i , j , k ) est directe. Le produit vectoriel dans cet espace est noté ∧. Montrer que − → On dit que Vq est la partie vectorielle de q. Vérifier que q= − → 1 tr(q)1H + Vq 2 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ Cq (q 0 ) = qq 0 q −1 1. Vérifier que S, gq , dq , Cq sont des endomorphismes de H. Lorsque q est un quaternion non nul, exprimer dq−1 puis Cq à l’aide du réel N (q) et des applications S et gq . − → − → − → 2. a. Calculer la matrice de gq dans la base (1H , i , j , k ) en fonction de α, β, γ, δ lorsque a −b q= avec a = α + iβ, b = γ + iδ. b a 1. Montrer que H est un sous-espace vectoriel du R espace vectoriel M2,2 (C), − → − → − → stable pour la multiplication matricielle. Vérifier que (1H , i , j , k ) est une − → − → − → base de H et que ( i , j , k ) est une base de E. − → − → − → Dans la suite, E est orientée par cette base, c’est à dire que ( i , j , k ) est directe. qq 0 dq (q 0 ) = q 0 q Soit q ∈ H non nul, on définit une application Cq par : Un quaternion q est dit vectoriel ou pur si et seulement si q = −q. On note E l’ensemble des quaternions purs, ils seront écrits généralement avec une flèche. On pose en particulier → − → − → − 1 0 0 i 0 −1 i 0 1H = , i = , j = , k = 0 1 i 0 1 0 0 −i 1 2 (q gq (q 0 ) = qq 0 , 2 det(q) = |a| + |b| 0 S(q) = q Soit q ∈ H, on définit des applications gq et dq par : On note H l’ensemble des quaternions et on adopte les conventions suivantes : a b q = −b a N (q) 9 avril 2017 → − 1 → → − − −→ − → −→ − → −→ − → − → − → − → − − − u ∧→ v =V→ u→ v = ( u v − v u ) , u v = −( u / v )1H + u ∧ v 2 2 Rémy Nicolai M0514E MPSI B DM 14 9 avril 2017 → − c. En déduire l’expression de tan θ2 en fonction de α et de k V q k. Cette expression détermine-t-elle un unique θ dans ] − π, π[ ? Bien prendre garde à ne pas confondre − − u→ v. – le produit matriciel → → − − − − − − – le produit vectoriel u ∧→ v qui s’écrit aussi 12 (→ u→ v −→ v→ u ) à l’aide d’opérations matricielles. − − − − – le produit scalaire (→ u /→ v ) qui s’écrit − 21 tr(→ u→ v ) à l’aide d’opérations matricielles. Partie VI - Quaternions et angles d’Euler 1. Soit ω ∈]0, π[, préciser les éléments géométriques de cq pour les deux q suivants : iω e 0 cos ω i sin ω q= , q = 0 e−iω i sin ω cos ω Parties V - Rotations Dans cette partie, q désigne un quaternion non nul avec a −b q= et a = α + iβ, b = γ + iδ. b a 2. Soit θ, ϕ, ψ trois nombres réels, calculer le produit matriciel ! ! iψ φ 0 0 cos θ2 i sin θ2 ei 2 e 2 φ ψ i sin θ2 cos θ2 0 e−i 2 0 e−i 2 L’application Cq est définie dans la partie III. 1. a. Montrer que E est stable par Cq . On notera cq l’application de E dans E qui coincide avec Cq . b. Montrer que det cq = 1. c. Montrer que cq est une rotation. → − → − → − → − → − → − 2. a. Calculer (cq ( i )/ i ), (cq ( j )/ j ), (cq ( k )/ k ) en fonction de α, β, γ, δ. b. En déduire tr cq . Dans quel cas a-t-on tr cq = 3 ? → − −→ On suppose dans toute la suite que q 6∈ Vect 1H c’est à dire que V q 6= OE . → − → − 3. Montrer que cq n’est pas l’identité et que cq ( V q ) = V q . − 4. Montrer que pour tout → u ∈E : 3. Soit q un quaternion de norme 1 qui n’est ni réel ni vectoriel (pur), expliquer comment se calculent les angles d’Euler θ, ϕ, ψ qui permettent de décomposer la rotation cq . − 4α → − − (cq − cq −1 )(→ u) = V q ∧→ u N (q) En déduire que cq est un demi tour si et seulement si q ∈ E. Quel est alors son axe ? On suppose dans la suite que q 6∈ Vect 1H et q 6∈ E. Il existe alors un unique − . θ ∈] − π, π[ tel que cq = rθ,→ V q 5. a. Quelle est la matrice de cq (en fonction de θ) dans une base orthonormée → − → − − 1 V q) ? directe de la forme (→ a, b, → − N(V q) b. Montrer que cos θ = → − α2 − k V q k2 , N (q) Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ sin θ = → − 2αk V q k N (q) 3 Rémy Nicolai M0514E
