Chapitre n°5 : « La multiplication »

6ème3
2010-2011
Chapitre n°5 : « La multiplication »
I. Vocabulaire
Définition
Un produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les
facteurs.
Exemple
Dans 1,5×12=18 , 18 est le produit et les facteurs sont 1,5 et 12 .
Remarque
Multiplier un nombre par 1,5 , c'est ajouter à ce nombre sa moitié.
Par exemple : 9×1,5=94,5=13,5 .
Dictée
1/ 12×2=24
2/ 12 – 2=10
3/ 122=14
4/ 78=15
5/ 7×8=56
6/ 98=17
7/ 12 – 5 =7
8/ 7×11=77
9/ 99=18
10/ 14×1,5=21
S'exprimer
• 12 – 5 se traduit ainsi : « Faire la différence entre 12 et 5 »
• 125 se traduit ainsi : « Faire la somme de 12 et 5 »
• 12×5 se traduit ainsi : « Faire le produit de 12 par 5 »
Propriété fondamentale des multiplications
Dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat.
Exemple
2×3×4=24
3×2×4=24
4×3×2=24
etc.
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1ère application de la propriété fondamentale
(voir le site pour le tableau)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
8
9
8
9
16 18
24 27
32 36
40 45
48 54
56 63
64 72
72 81
80 90
88 99
96 108
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
11
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
121
132
12
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
Autres tables
• Table de 11 : 11×2=22 , 11×3=33 , … , 11×9=99 , 11×10=110 ,
11×11=121
• Table de 12 : 12×2=24 , 12×3=36 , 12×4=48 , 12×5=60 .
• Table de 15 : 2×15=30 , 3×15=45 , 4×15=60 … (pensez aux quarts d'heure).
• Table de 25 : 25×2=50 , 25×3=75 , 25×4=100 , 25×5=125 , 25×6=150 ,
25×7=175 , 25×8=200 , etc.
• Tables de 20 , 30 , 40 , …, 90 : il suffit d'ajouter un zéro aux résultats que l'on
connaît !
2ème application de la propriété fondamentale
A=12×15×5×8
A=12×5×15×8
A=60×120
A=6×12×100
A=7200
De même que pour les additions, on regroupe des facteurs pour rendre les calculs plus faciles.
B=5×11×8×2
B=2×5×8×11
B=10×88
B=880
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II. Poser une multiplication
1/ Rappel : avec des entiers
Posons la multiplication de 683 par 79 .
5
7
2
2
6 8 3
×
7 9
6 1 4 7
+ 4 7 8 1☻
Conseils
• On aligne correctement les chiffres.
• A chaque nouvelle ligne de calcul, on se décale.
On peut ajouter un zéro pour ne pas se tromper.
• On positionne correctement les retenues. On
peut les barrer au fur et à mesure.
5 3 9 5 7
Exemples
Pose pour calculer 8463×75 et 4396×9753 .
3
2
4
3
2
1
3
2
1
1
8 4 6 3
×
7 5
4 2 3 1 5
+ 5 9 2 4 1☻
6 3 4 7 2 5
8
6
4
2
5
4
3
1
4 3 9 6
× 9 7 5 3
1
+
2 1
+
3
7
+ 3 9 5 6
3
9
7
4
1 8 8
8 0 ☻
2 ☻ ☻
☻ ☻ ☻
4 2 8 7 4 1 8 8
2/ Avec des nombres décimaux
L'objectif est de poser la multiplication de 7,85 par 9,5 .
• 1ère étape : on calcule sans les virgules
7
4
4
2
7
8
9
3
7 0
9
6
2 5
5 ☻
7 4
5
7
×
5
5
5
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• 2ème étape : on place la virgule
Dans 7,85 , il y a deux chiffres dans la partie décimale. Dans 9,5 , il y a un chiffre
dans la partie décimale. En tout, cela fait trois chiffres dans les parties décimales.
Il faudra donc trois chiffres dans la partie décimale du résultat.
Donc : 7,85×9,5=74,575
5
2
1
Autre exemple
Pose le calcul suivant : 17,46×7,42 .
×
3
1
1
4
2
1
1 7, 4 6
7, 4 2
34 9 2
+
6 98 4 ☻
+ 1 2 2 22 ☻ ☻
1 2 9,55 3 2
Méthode
• 1ère étape : on pose la multiplication sans se préoccuper de la virgule.
• 2ème étape : il faut qu'il y ait autant de chiffres dans la partie décimale du résultat que
dans les parties décimales des nombres que l'on multiplie.
• 3ème étape : on vérifie que le résultat obtenue est cohérent par rapport aux nombres que
l'on multiplie (est-ce qu'on ne raconte pas de bêtise !)
Application
Place correctement la virgule pour que l'égalité soit correcte :
12,8×5,3 =67,84
28,7×1,04 =29,848
0,15×6,3 =0,945
0,008×543,9 =4,3512
0,235×0,132 =0,003102
Point de calcul mental
Il est bon de connaître par cœur certains résultats...
125×8=1000
Cela permet de faire d'autres calculs...
1,25×8=10 ; 0,125×8=1 ; 8×12,5=100
On sait que 12×5=60 . On en déduit que : 1,2×5=6 ; 120×5=600 ; 0,12×5=0,6 …
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III. Multiplication par 10, 100, 1000 ...
Activité
L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 13,574×10 . Dans ce nombre :
• 1 chiffre des dizaines, devient le chiffre des centaines,
• 3 chiffre des unités, devient le chiffres des dizaines,
• 5 chiffre des dixièmes, devient le chiffre des unités,
• etc.
Donc, lorsqu'on multiplie un nombre décimale par 10 , tous les chiffres se décalent vers la
gauche d'une position. Ou inversement, c'est la virgule qui se décale d'un chiffre vers la
droite.
13,574×100=1357,4 car on décale deux fois de suite...
13,574×1000=13 574 car on décale trois fois de suite...
Exemples
9045,42 × 100000
752,717 × 100
36370,9 × 100
= 904542000
= 75271,7
= 3637090
12,5789×100=1 257,89 ; 0,0047×1000=0004,7=4,7
4,5×100=450 ; 1,78×1 000=1780
87,54×10=875,4 ; 0,1245×100=12,45
874×100=87 400 ; 1,24×1000=1240
0,7×1000=700
Méthode
Pour multiplier un nombre décimal par 10 , 100 , 1000 … il suffit de décaler la virgule de
un, deux, trois... chiffres vers la droite.
Lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres pour décaler la virgule, on ajoute des zéros.
La méthode de primaire qui consiste à ajouter des zéros ne fonctionne que pour des nombres
entiers.
Application de calcul mental
A=25×3,789×4
A=25×4×3,789
A=100×3,789
A=378,9
B=25×48,4×8
B=25×8×48,4
B=200×48,4
B=100×96,8
B=9680
« Multiplier par 200 revient à multiplier par 100 puis par 2 »
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Encore des exemples
C=0,5×19×4×3
Il faut savoir que multiplier par 0,5 un nombre, revient à le diviser par 2 .
C=0,5×4 ×19×3
C=2×57
C=114
D=7×0,25×20
D=7×0,25×10×2 « Multiplier par 20 revient à multiplier par 10 puis par 2 »
D=7×2,5×2
D=7×5
D=35
E=8×9,4×125
E=8×125×9,4
E=1000×9,4
E=9400
IV. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001...
Rappel
• un dixième : 0,1=
1
10
• un centième : 0,01=
1
100
• etc.
Activité
Comment calculer 4,5×0,1 ?
Multiplier par 0,1 , c'est rendre le nombre dix fois plus petit :
• 4 unités devient 4 dixièmes,
• 5 dixièmes devient 5 centièmes.
Donc 4,5×0,1=0,45 .
De même : 156,7×0,01=1,567
Méthode
Pour multiplier un nombre décimale par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … on décale la virgule de un,
deux, trois... chiffres vers la gauche.
S'il manque des chiffres pour se décaler, on ajoute des 0 devant notre nombre.
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V. Conversions
Rappels
Tableau des unités de mesure
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
kilomètre hectomètre décamètre
mètre décimètre centimètre
millimètre
1000 m
1m
100 m
10 m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
ou
ou
ou
1
m
10
1
m
100
1
m
1000
A savoir par cœur
• « kilo » : 1000
• « hecto » : 100
• « déca » : 10
• « déci » :
0,1=
1
10
1
100
• « milli » : 0,001= 1
1000
• « centi » : 0,01=
Exemples
12,5 hm=1250 m
45,8 cL=0,458 L
0,1235 kg =123,5 g
45 dam=450 m
(on multiplie par
(on multiplie par
(on multiplie par
(on multiplie par
12,89 hL=1289 dL
7,5 L=75 dL
(on multiplie par 1000 )
(on multiplie par 10 )
100 )
0,01 )
1000 )
10 )
Méthodes
• Il est possible, en s'imaginant dans sa tête un tableau, de convertir en utilisant la
méthode de cycle 3 (primaire).
• Méthode de sixième : si je veux convertir 12,56 dag en cg , je me pose d'abord la
question suivante « combien y a-t-il de cg dans 1 dag ? » ; on trouve que
1 dag =1 000 cg ( dg ; g ; dag ) ; finalement, on multiplie 12,56 par 1000 et on
obtient 12,56 dag =12,56×1000=12 560 cg .
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Un autre exemple détaillé
Je veux convertir 1,4589 mL en hL . En partant de mL , on a cL , dL , L , daL et hL .
Donc 1 mL=0,00001 hL ; on va donc multiplier 1,4589 par un cent-millième :
1,4589 mL=1,4589×0,00001=0,000014589 hL .
Exemples
45,8 dam=0,458 km
0,125 dam=12,5 dm
VI. Ordre de grandeur
Explication
Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il se calcule de tête en
prenant des nombres proches de ceux donnés dans le calcul ou le problème. Par exemple, si je
veux acheter 15 stylos à 0,90 € alors que je n'ai qu'un billet de 10 € , cela semble assez
difficile. Sans faire de calcul, on pressent que le prix sera un peu inférieur à 15 € tout en
étant supérieur à 10 € .
L'intérêt est de pouvoir contrôler la vraisemblance du résultat ou d'anticiper un résultat. On
parle alors d'un résultat cohérent.
Exemple 1
Je suis au supermarché et j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 14,95 ; 3,98 ;
151,23 . Je peux dépenser 170 euros . Aurai-je assez d'argent ?
• Calculons un ordre de grandeur :
14,95 est proche de 15 ; 3,98 est proche de 4 ; 151,23 est proche de 150 ; donc
le total est proche de 170 euros .
Cet ordre de grandeur n'est pas assez précis pour se déterminer.
• Calculons le résultat exacte :
14,953,98151,23=170,16 euros
Conclusion : il manque donc 16 centimes.
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Exemple 2
Au supermarché, j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 12,45 € ; 7,29 € ;
49,18 € . J'ai quatre billets de dix, un billet de vingt et deux de cinq. Est-ce que je pourrai
payer tous mes achats ?
• En termes d'argent, je possède 4×10202×5=70 €
• 12,457,29 est proche de 20 et inférieur à 20 ; 49,18 est proche de 50 mais
inférieur à 50 .
Mes dépenses sont inférieures à 5020=70 .
• Conclusion : je pourrai payer tous mes achats ! (ouf)
Quelle est la somme exacte de mes dépenses ?
• 12,457,2949,18=68,92 qui est inférieur à 70 !
Remarque
Il y a autant d'ordres de grandeur que de personnes qui décident d'en chercher !
Méthode pour trouver un ordre de grandeur
• On cherche une valeur approchée de chacun des facteurs (en général un nombre entier
ou un multiple de 10 , 100 ou 1000 ). Ces valeurs approchées doivent permettre de
faire des calculs de tête.
• On calcule de tête le produit de ces valeurs approchées.