Univers des nombres - Feuille d’exercice 3 Universit´e Blaise Pascal - 2
5 Somme des chiffres
On rappelle (voir feuille 1) qu’un nombre est congru modulo 9`a la somme des chiffres de son ´ecriture
(en base 10).
1. Calculer le reste modulo 9 de 44444444.
2. Soit n∈N∗un entier. On note Σ(n) la somme des chiffres de son ´ecriture de ndans son ´ecriture en
base 10. Montrer que l’on a
Σ(n)≤9(1 + blog10(n)c)
O`u log10 est le logarithme de base 10 et bxcd´esigne la partie entier (inf´erieure) du r´eel x, c’est-`a-dire
l’unique entier k∈Ztel que k≤x<k+ 1.
3. Que vaut la somme des chiffres de la somme des chiffres de la sommes des chiffres de 44444444 ?
6 Crit`ere de divisibilit´e par 7
1. Trouver un entier a∈Ztel que 10a≡1 mod 7.
2. Soit n∈Zun entier. On ´ecrit la division euclidienne de npar 10, n= 10 q+ravec q∈Zet 0 ≤r < 10.
Montrer que nest un multiple de 7 si et seulement si q−2rest un multiple de 7.
3. D´eduire un crit`ere de divisibilit´e par 7.
4. Adapter la m´ethode pour trouver un crit`ere de divisibilit´e par 11, 13, 17. Comment faire en g´en´eral
pour obtenir un crit`ere de divisibilit´e par pavec pun nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 7 ?
7 Reste modulo 11
Soit n∈N\ {0}un entier strictement positif. On ´ecrit nen base 10.
n=
s
X
k=0
ak10k
1. Montrer que
n≡
s
X
k=0
ak(−1)kmod 11
2. D´eduire un moyen de calculer les restes modulo 11 et un crit`ere de divisibilit´e par 11.
8 Nombres premiers congrus `a 3modulo 4
On veut montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 3 modulo 4.
1. Soit N∈Nun entier. On suppose N≡3 mod 4. Montrer que Nadmet un facteur premier congrus `a
3 modulo 4.
2. On suppose par l’absurde qu’il en existe un nombre fini de nombres premiers congrus `a 3, que l’on note
p1,...pn. Conclure en consid´erant l’entier N= 4p1· · · pn−1.
On remarque que la question 1 ne marche pas avec des entiers congrus `a 1modulo 4. En effet, si on prend
par exemple N= 9 = 32(qui est congru `a 1modulo 4) , il n’a aucun facteur premier congru `a 1modulo
4. On ne peut pas utiliser cette id´ee pour prouver qu’il existe une infinit´e de nombres premier congrus `a 1
modulo 4(on donne une preuve de ce fait dans l’exercice 11).
Jo¨el Cohen Universit´e Blaise Pascal - 2