7 Notion de fonction

Chapitre
7
Notion de fonction
I. Programme de la classe de troisième
Connaissances
Capacités
Commentaires
1.1. Notion de fonction – Déterminer l’image d’un nombre par
une fonction déterminée par une courbe,
un tableau de données ou une formule.
Image, antécédent,
notations
– Déterminer un antécédent par lecture directe
f(x), x ↦ f(x).
dans un tableau ou sur une représentation
graphique.
[Thèmes
de convergence]
Toute définition générale de la notion de fonction
et la notion d’ensemble de définition sont hors
programme.
La détermination d’un antécédent à partir
de l’expression algébrique d’une fonction n’est exigible
que dans le cas des fonctions linéaires ou affines.
II. Contexte du chapitre
L’un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur
des exemples, la notion de fonction en tant que processus
faisant correspondre à un nombre, un autre nombre. Les
exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires.
L’utilisation des expressions « est fonction de » ou « varie
en fonction de », amorcée dans les classes précédentes,
est poursuivie et est associée à l’introduction de la
notation f(x).
L’usage du tableur-grapheur contribue aussi à la mise en place
du concept, dans ses aspects numériques comme dans ses
aspects graphiques.
III. Ressources disponibles sur le site compagnon et le manuel numérique Premium
Animation : Déterminer l’image d’un nombre par une fonction.
Animation : Déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction.
Savoir faire
Exercices
PDF à télécharger pour l’exercice 111
Travaux pratiques
avec un ordinateur
Pour aider à la correction en videoprojection :
• Figure dynamique de l’activité 1
• Tableur de l’activité 2
• Figure dynamique de l’activité 3
Fichier « boite_noire_07 »
PDF : Fiches-réponses élèves imprimables pour les quatre activités
Du côté du site compagnon
PDF : Les courbes remarquables
IV. Intentions pédagogiques
des activités
A. Activités d’introduction
Activité 1 : Vers la notion de fonction
Dans les classes antérieures, les élèves ont travaillé la notion de
fonction au travers de l’usage de la variable dans des exemples
concrets mettant en œuvre du calcul algébrique. L’expression
« en fonction de » est connue depuis la classe de sixième.
Cette activité a pour objectif de réinvestir ces connaissances
afin de les formaliser par l’expression algébrique d’une fonction.
Les notations nouvelles doivent être introduites prudemment
et progressivement.
La fin de l’activité montre qu’une fonction peut être représentée graphiquement dans un repère. Il s’agit de faire comprendre aux élèves que les lectures graphiques qui en découlent facilitent grandement l’interprétation de certains éléments
du problème posé.
36
Activité 2 : Image d’un nombre par une fonction
La notion d’image d’un nombre par une fonction est nouvelle bien que connue des élèves de façon intuitive. Dans les
classes antérieures, la substitution d’un nombre inconnu par
une valeur numérique a déjà été pratiquée.
Cette activité réinvestit ce savoir-faire et le formalise. Elle donne
l’occasion d’introduire la notation nouvelle du type f : x ….
La détermination d’images passe également par la lecture
d’un tableau de données (question 5) ou la lecture d’un
graphique (Activité 3).
Activité 3 : Antécédent d’un nombre
par une fonction
La lecture graphique facilite l’introduction de la notion d’antécédent d’un nombre par une fonction. Elle est intimement
liée à la notion d’image. Le passage réciproque d’un axe à
l’autre du repère en passant par la courbe doit faire preuve
d’une attention particulière.
L’étude d’un exemple concret permet de débattre de ces
notions et plus particulièrement de l’opportunité qu’a un
nombre de posséder plusieurs antécédents alors qu’un nombre
ne possède qu’une seule image.
Dans l’exemple étudié, à 10 h, on ne peut faire correspondre
qu’une unique valeur pour la hauteur de marée (image unique).
Alors qu’une même hauteur de marée peut correspondre à
plusieurs heures de la journée.
B. Activités TICE
Activité 1 : Programmes de calcul et fonctions
• Considérations didactiques : Le tableur est un outil à privilégier pour introduire la notion de variable. Les calculs peuvent être automatisés ; un changement de valeur dans une cellule entraîne le changement immédiat de l’affichage de toutes
les cellules liées à celle-ci. Dans les programmes de calculs, le
nombre choisi au départ prend le rôle de la variable, le programme lui-même correspond à l’expression d’une fonction
qu’il faudra modéliser.
Cette activité donne également l’occasion de faire du calcul
algébrique pour démontrer les résultats conjecturés.
7
1. 0
8
5
9
1. 3
10
1. 2 est un antécédent de –3 et –1 est un antécédent de 1.
2. g(2) = –3 et g(–1) = 1.
11
Environ 6,5 cm.
• Considérations didactiques : L’utilisation d’un logiciel pour
représenter et modéliser une situation concrète permet d’en
faciliter l’interprétation.
Le logiciel permet d’afficher la courbe représentative de la
fonction et d’y faire glisser un point dont les coordonnées
sont affichées. Il s’agit ainsi d’interpréter les valeurs de ses
coordonnées par rapport au problème posé. Par exemple, lire
les coordonnées (1 ; 2) signifie qu’après 1 seconde, la balle se
trouve à 2 m de hauteur.
• En pratique : Aucune difficulté technique n’est à attendre.
Cette activité est l’occasion de montrer que de nombreux
logiciels permettent de représenter les courbes représentatives de fonctions. C’est aussi l’occasion de débattre de l’ensemble de définition d’une fonction qui peut dépasser les
contraintes du problème.
2. –1, 1 et 2
Exercices d’entraînement
12 1. 1980 : 800 000 ; 1970 : 850 000 ; 1950 : 850 000 ;
1910 : 825 000.
2. Taux le plus élévé en 1902 ; le plus faible en 1916.
3. En 1915 ; 1920 ; 1935 ; 1945.
4. De 1914 à 1916 et de 1939 à 1941. Ces périodes correspondent aux deux guerres mondiales.
13
1. 6 m ; 3 m ; 4 m.
2. 5 fois.
3. 4 m ; 2,5 m.
4. 1,1 s.
14
1. 70 min.
2. Oui car pour t = 70 minutes, on a d = 0.
3. 20 km.
4. Le cycliste fait une pause de 10 minutes.
5. Entre 50 et 70 minutes de course.
15
1. 6 jours.
2. 10 jours.
3. Entre 4 jours et 20 jours.
4. Après 18 jours.
16
1. A = 7x
17
N = 2x + 5
18
N=
19
1. c2
20
À vérifier sur le cahier de l’élève.
21
x2
22
3
x+5
• En pratique : Aucune difficulté technique n’est à attendre si
les élèves ont quelques expériences du tableur. Ce type d’activité est un grand classique à résoudre à l’aide du tableur.
Activité 2 : La balle de tennis
2. 5
Activité 3 : L’enclos de Mathilde
2. B = x2 + 5
3. C = 2. 2πr
3. 2h
x
4+x
x2
+x
2
x3
2
• Considérations didactiques : Cette activité permet de
résoudre un problème d’optimisation en s’aidant d’un logiciel.
Les objectifs didactiques sont identiques à ceux de l’activité 2.
Une difficulté supplémentaire est cependant à envisager :
la modélisation du problème est ici demandée aux élèves.
23
24
1. f ( x ) = 36π − πx 2.
2. Pour 0 < x < 6.
3. f ( 4 ) = 20π ≈ 62, 8.
• En pratique : Aucune difficulté technique n’est à attendre
(voir commentaires de l’activité 2).
25
L’image de 2 est 4. L’image de –3 est –6.
26
L’image de 3 est 9. L’image de –7 est 49.
Activité 4 : La boîte noire du chapitre 7
27
1. 6
2. –1
3. 10
4. –1 et 15
28
1. 5
2. 3,5
3. 3
4. –5 et 0
29
7
1. −
3
2. –2
3. –4
4. 0 et 4
La boîte noire du chapitre demande de saisir un nombre et
lui fait correspondre son image par une fonction. L’élève doit
déterminer l’expression de cette fonction.
Il s’agit de la fonction f : x x 2 + 1.
30
V. Corrigés des exercices
L’image de 1 par la fonction f est 2
Savoir faire
L’image de 3 par la fonction f est –1
f(1) = 2
f : 1↦2
f(3) = –1 f : 3 ↦ –1
f(0) = 4 f : 0 ↦ 4
1
L’image de 3 est 4. L’image de 4 est 3.
L’image de 0 par la fonction f est 4
2
1. L’image de –2 est 5. L’image de 1 est 0.
2. g(–1) = 7 et g(1) = –3.
L’image de –1 par la fonction f est 5
3
4 et 4,5.
L’image de –6 par la fonction f est 6
4
48
– 4, 6, − , – 8,995.
7
5
L’image de 1 est –2. L’image de –2 est 0.
6
Réponse C
L’image de 6 par la fonction f est –6
1
x2
31
1. f : x 2 x + 4
2. f : x 32
1. f(1) = 5
3. f(–4) = 5
2. f : 6 6
4. f : −2 –2
f(–1) = 5 f : –1 ↦ 5
f(6) = –6 f : 6 ↦ –6
f(–6) = 6 f : –6 ↦ 6
3. f : x − x 2
Chapitre 7 • Notion de fonction
37
33 1. a. L’image de –5 par la fonction g est 3.
b. L’image de –2 par la fonction g est égale à 10.
c. –4 a pour image 1 par la fonction g.
2. –10 et 10 ont pour image –6 ; –5 et 3 ont pour image 3 ; –4
et 1 ont pour image 1.
34
1. –100
35
2. –8, –2 et 6.
1. –5, –3 et 0.
2. –2, 1 et 1,6.
3. –1,5, –0,5 et 2,4.
4. –5.
3. Oui
4. 100
36
4
6
7
, 1,
et .
5
5
5
37
–8, –9, –8 et 0.
38
g(–2) = –6, g(0) = –4, g(5) = 36, g(10) = 126.
39
Octave a calculé l’image de 3.
40
a. f(5) = 625
c. f : 107 1028
a. 3 est un antécédent de 7 par la fonction f.
b. 8,2 est l’image de –5 par la fonction g.
c. 1 est un antécédent de 2,6 par la fonction g.
d. –1 est un antécédent de 9 par la fonction f.
e. 7 est l’image de –3 par la fonction f.
57
4, 1, 0, 1, 4.
58
–2 et 2, –1 et 1, 0.
59
(C1) : f, (C2) : k, (C3) : h, (C4) : g.
60
1. (10 × 3 + 102) × 2 = 260.
44
2. 20,
, 6 5 + 10.
9
3. 0
61 1. ( −2 + 4 ) × ( −2 ) + 4
2. 49
3. a. À vérifier sur la copie de l’élève.
b. On obtient un carré parfait.
4. –1
b. f(3) = 81
d. f : 105 1020
3
1
3
3
1
41 1. f(0) = ; f(1) = ; f(2) = ; f(3) =
et f(4) = .
5
2
7
8
3
2. Pour x = 5, le dénominateur s’annule.
1
1
1
, f(0) = −
, f(1)= −
.
28
30
30
2. Pour x = 6, le dénominateur s’annule.
3. Oui, –5.
42
56
1. f(–1) = −
62 1. a. À vérifier sur le cahier de l’élève.
b. À vérifier sur le cahier de l’élève.
c. 3
2. Le programme mène au double du nombre de départ.
( x + 1)2 − x 2 − 1 = 2 x.
63
Partie 1
a. Un antécédent de 4 par la fonction f est le nombre –2.
b. Le nombre 4 est un antécédent de 1 par la fonction f.
c. Le nombre 0 est un antécédent de 2 par la fonction f.
43
44
1. 4
2. 6
3. 5
45
1. 0
2. 2 ou –2
3. 1
4. 2
46
1. 1
2. 3
3. –2
4. 0,5
0
20
500
1
19
550
2
18
600
4
16
700
10 000
550 × 19 =
10 450
600 × 18 =
10 800
700 × 16 =
11 200
2.
2 est un
antécédent de 3
par la fonction f.
–4 est un
antécédent de 6
par la fonction f.
5 est un
antécédent de 3
par la fonction f.
7 est un
antécédent de –3
par la fonction f.
48
a. 4
49
a. 1 ou 4,2
c. –2, 0, 2 et 4
3 est l’image de 2
par la fonction f.
f(2) = 3
6 est l’image
de –4 par
la fonction f.
3 est l’image de 5
par la fonction f.
20 – x
–3 est l’image
de 7 par la
fonction f.
b. 2
b. 0
f(3) = 5
f : 3↦5
f(–3) = 7 f : –3 ↦ 7
Parcours autonome
64
70
b. 2,5 et 3,7
d. 2
71
a. 3,5
Franck a calculé l’image de 2.
53
1. L’affirmation a.
2. –1 et 1.
3. 3x2 > 0, donc 3x2 + 1 > 1.
54
a. 3 est un antécédent de 0 par la fonction g.
b. 3 est l’image de 2 par la fonction f.
c. 6 est un antécédent de 2 par la fonction h.
d. 0 a pour image –1 par la fonction h.
e. 15 a pour antécédent 5 par la fonction f.
b. Vrai
c. Faux
(20 – x)
(500 + 50x)
Partie 2 1. 11 000 €
2. Réduction : 17 €, prix d’une place : 3 €.
3. R(8) ≈ 10 800.
4. La recette maximale est de 11 300 € pour une place à 15 €.
c. –2,7, –0,5 et 3,6
c. 7,3
500 + 50x
3. − 50 x 2 + 500 x + 10 000.
52
38
Prix de la Nombre de Recette du
place en € spectateurs spectacle
f(6) = –4 f : 6 ↦ –4
a. –2,5, 0, 0,8 ou 3,6. b. –2,6 ou 3,7.
c. –2, –1, 2 ou 3.
d. –2
a. Faux
f : 2↦3
Réduction
en €
x
51
55
Prix de la Nombre de Recette du
place en € spectateurs spectacle
5. 9
47
50
1.
Réduction
en €
d. 0,4
72
65
B
66
A
67
B
68
B
69
B et C
x
5+
3
1
x +1
1. 2x2
2. f(6) = 72
1. a. f(2) = –1
b. f : 6 16
c. f(–2) = 5
d. f : 5 0
2. 1 et 5 ont pour image 0 ; 3 et 4 ont pour image –5.
73
74
d. Vrai e. Vrai
C
75
76
1. 0, 20 et 18.
2. –1, 4 et 5.
3. Un nombre à peu près égal à 7.
4. 4,5.
1
g(–2) = 14 ; g(0) = 0 ; g   = –1 et g(103) = 1 997 000.
 2
1
1
a. f(5) =
b. f(2) =
23
2
1
c. f : 10 d. f : 1 −1 ou f : −1 –1
98
77
1. 1010
2. 10–8
3. 1010
78
1. 0
2. 10
3. –1
4. –1,9
79
a. –1
b. 0
c. 2
d. 1,1
80
a. –2 ;
b. –1 ; 3,8 et 5 ;
c. –0,5 ; 1,6 et 6,2 ;
d. 4,5.
81
1. a. et c.
91
5. –6
20
40
60
80
100 120 140 160
v
f(v) 2,58 10,32 23,23 41,29 64,52 92,9 126,45165,16
180
160
140
120
100
80
60
40
20
2. –2
Exercices d’approfondissement
82
1. 4,5 m puis 5,8 m.
2. 0,8 s.
3. 5,8 m après 1 s.
4. 2 s.
0
83 1. À vérifier sur le cahier de l’élève.
2. Il y a une forte augmentation démographique à partir de
1900.
3. Entre 1200 et 1400.
1. Programme 1 : 14 et Programme 2 : 64.
2. Programme 1 : g et Programme 2 : f.
3. Choisir un nombre ; lui ajouter 3 ; élever au carré.
84
86
1. –8,4, –1,6, 7,2, 18
3,1
–0,81
3,2
0
3,3
0,83
3,4
1,68
3,5
2,55
3,6
3,44
3. 3,2.
87
1.
x –1,2
f(x) 5,04
–1
4
–0,8 –0,6 –0,4 –0,2
3,04 2,16 1,36 0,64
0
0
0,2 0,4
–0,56 –1,04
1,2 1,4 1,6 1,8
2
x 0,6 0,8 1
f(x) –1,44 –1,76 –2 –2,16 –2,24 –2,24 –2,16 –2
2. v(5) = 100, v(6) =
250
500
, v(7) =
.
3
7
⎛ 400
⎞
− 2 − 2⎟
2. A(x) = AB × AD = ( x − 2 − 2 ) ⎜
⎝ x
⎠
⎛ 400
⎞
= ( x − 4 ) ⎜
− 4 ⎟.
⎝ x
⎠
3.
5
76
7,5
10
172,7 216
12,5
15
4. À vérifier sur le cahier de l’élève
5. x = 20.
3. V(3) = 18π ≈ 56, 55 ; V(5) = 50π ≈ 157, 08 ; V(7) = 98π ≈ 307, 88.
4. x = 4
94 Courbe 1 : récipient 2 ; Courbe 2 : récipient 4 ; Courbe 3 :
récipient 1 ; Courbe 4 : récipient 3.
95
1
2
96
9
1. f : x x 2 et g : x 17,5
98 1. –79, –159, –799. Lorsque les valeurs de x choisies se
rapprochent de 5 tout en lui restant inférieures, les images
correspondantes sont des valeurs négatives de plus en plus
grandes.
2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
3. Lorsque les valeurs de x choisies se rapprochent de 5 tout
en lui restant supérieures, les images correspondantes sont
des valeurs positives de plus en plus grandes.
4.
100
80
60
20
22,5
238 249,3 254,6 256 254,9
25 27,5 30
x
A(x) 252 247,8 242,7
( x + 1) × 4
− 2 = 2 x
2
πx 2 × 6
93 1. V( x ) = = 2πx 2 .
3
2. Non
4. x ≈ − 0, 8 ou x ≈ 1,3.
1. EF × x = 400.
x
A(x)
1. To check the exercise books.
3. Oui, les valeurs de x égales aux abscisses des points
d’intersection des courbes.
3. Environ 91 km/h.
4. Environ 79 km/h.
5. a. t = 6,25.
b. 6,25.
c. Odette parcourt une distance de 500 km durant 6 h 15 min
à la vitesse moyenne de 80 km/h.
90
92
x
+1
2
2. Non. f(1) = 1 et g(1) = 1,5.
88 1. 0
2. g(4) = –2.
3. Non car g(10) ≠ –1.
4. Pour x = 5, le dénominateur s’annule.
89
80 100 120 140 160
3. Der Bremsweg eines Fahrzeugs verhält sich nicht proportional zu seiner Geschwindigkeit, da die grafische Darstellung
keine Gerade erzeugt.
97
2. À vérifier sur le cahier de l’élève.
500
1. v = t
60
4.
2.
3
–1,6
40
3. We assume that the final number of the sequence of calculations is equal to twice the start number.
1. 8,
x
f(x)
20
2. To check the exercise books.
27
, 10–3, 1018.
8
2. 2 × 1012, 2 × 10 −20, 3, 2 × 1021, 2, 43 × 10 −14 .
85
1. et 2.
40
20
0
–20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–40
–60
Chapitre 7 • Notion de fonction
39
5. Autour des points d’abscisse 5, la courbe s’étire vers le haut
et le bas du repère.
6. Non. Pour x = 5, le dénominateur s’annule.
3.
30
25
Devoir à la maison
1
1.
20
x
x2
x2
2
x2
+5
2
3x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
0
0,5
2
4,5
8
12,5
18
24,5
32
40,5
50
5
5,5
7
9,5
13
17,5
23
29,5
37
45,5
55
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
2. f(2) = 1.
40
f ( x ) = 15
x2
+ 5 − 3x
2
5
2,5
1
0,5
1
2,5
5
8,5
13
18,5
25
10
5
0
2
1
2
3
4
5
6
7
8
1. g(0) < f(0) < h(0).
2. f(–1) > h(–1) > g(–1).
3. g(2) > h(2).
4. a. x = 2 et x = –5.
b. Non car g(2) = 1 et h(–5) = 1.
5. Pour x = –6, le dénominateur s’annule.
6. 3x2 > 0
9 10 11