angles dans les polygones réguliers et démarches

Démarche complète pour déterminer la somme des angles intérieurs d’un polygone régulier Exemple pour le pentagone nombre de côtés : 5 nombre de triangles formés en partant du même sommet : 5-­‐2 = 3 Somme des angles intérieurs : 3•180=540˚ Démarche complète pour déterminer la composition d’un polygone régulier Nombre de côtés=Nombre de triangles formés en partant du centre du polygone Exemple pour le pentagone 5 côtés donc 5 triangles isocèles formés en reliant le centre aux 5 sommets. L’angle au centre est 360˚ 360˚÷5 triangles = 72˚ La somme des angles intérieurs d’un triangle est 180˚ 180-­‐72 = 108˚ 72˚ Comme le triangle est isocèle, les deux angles sont isométriques 108÷2=54˚ Le pentagone est donc composé de 5 triangles identiques comme celui-­‐ci : 54˚ 54˚ Aire d’un polygone régulier Aire=c•a•n 2 c est la mesure d’un côté du polygone régulier a est la mesure de l’apothème du polygone (la hauteur d’un des triangles qui le compose) n est le nombre de côté du polygone Exemple pour le pentagone Prenons l’exemple d’un pentagone dont le périmètre est de 30cm et l’apothème de 4cm. Nombre de côtés : 5 (n=5) Périmètre÷5=mesure d’un côté 30÷5=6 (c=6) a=4 Aire=c•a•n 2 Aire=6•4•5 = 60cm2 2 Aire d’un prisme Un prisme est un solide composé de deux bases isométriques et parallèles entre elles. Ces deux bases sont reliées par des rectangles. Il y a autant de rectangles que notre base possède de côtés. La distance entre les deux bases correspond à la hauteur du prisme. La hauteur d’un des petits triangles composant le polygone régulier de la base se nomme Apothème de la base (ab) Aire totale = Aire latérale + Aire des 2 bases Nous utiliserons la formule : AT = AL + 2•AB Prenons l’exemple d’un prisme à bases carrées dont un côté de la base mesure 5cm et dont la distance entre les deux base est de 10 cm. AT = AL + 2•AB AL est composé de 4 rectangles car un carré possède 4 côtés La mesure d’un côté du rectangle correspond à la mesure d’un côté de la base, donc on sait qu’un des côtés mesure 5cm. La distance entre les deux bases correspond à la hauteur du prisme. Donc, à l’autre mesure du rectangle. Chaque rectangle mesure 5cm par 10cm. Formule d’aire d’un rectangle : b•h Ici, nous ferons 5•10=50cm2 Nous avons 4 rectangles, nous ferons 4•50=200cm2 AB est composé de 2 carrés Formule d’aire du carré : c2 Ici, nous ferons 52=25cm2 On a 2 bases donc 25•2=50cm2 Voici ce que nous attendons comme démarche dans un examen AT = AL + 2•AB AT = 4•(b•h) + 2•c2 AT = 4•(5•10) + 2•52 AT = 4•50 + 2•25 AT= 200 + 50 AT = 250cm2 Aire d’une pyramide La pyramide est un solide composé d’une base étant un polygone et de triangles isocèles comme faces latérales. Il y a autant de triangles isocèles comme faces latérales que le polygone de la base possède de côtés. Les triangles se rejoignent en un point, au sommet de la pyramide. Ce point se nomme Apex. La hauteur de la pyramide correspond à la distance entre la base et l’apex. La hauteur d’un des triangles composant l’aire latérale de la pyramide se nomme Apothème de la pyramide (ap) La hauteur d’un des petits triangles composant le polygone régulier de la base se nomme Apothème de la base (ab) Aire totale = Aire latérale + Aire de la base Nous utiliserons la formule : AT = AL + AB Prenons l’exemple d’une pyramide à base pentagonale dont un côté de la base mesure 6cm et dont l’apothème mesure 3cm, la hauteur de la pyramide est de 8cm et l’apothème de la pyramide est de 4cm. AT = AL + AB AL est composé de 5 triangles car un pentagone possède 5 côtés La mesure de la base d’un triangle correspond à la mesure d’un côté de la base. Base d’un triangle=6cm La hauteur d’un des triangles correspond à l’apothème de la pyramide. Hauteur d’un des triangles= 4cm Formule d’aire d’un triangle : b•h 2 Aire d’un triangle = 6•4 = 12cm2 2 Nous avons 5 triangles, nous ferons 5•12=60cm2 AB est composé de 1 pentagone Formule d’aire du pentagone= c•a•n 2 Ici, nous ferons 6•3•5 = 45cm2 2 Voici ce que nous attendons comme démarche dans un examen AT = AL + AB AT = 5•(b•h) + c•a•n 2 2 AT = 5•(6•4) + 6•3•5 2 2 AT = 5•12 + 45 AT= 60 + 45 AT = 105cm2 Aire du cylindre Un cylindre est composé de deux bases parallèles qui sont des disques et d’une face latérale qui est un rectangle. La hauteur du cylindre est la distance entre ses bases. Les dimensions de sa face latérale sont les suivantes : la mesure de la base du rectangle correspond à la circonférence de la base la hauteur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre (la distance entre ses bases) AT = AL + 2•AB AT = b •h + 2• AB AT = (2•π•r)•h + 2•(π•r2) La formule que nous utiliserons pour le cylindre est AT = (2•π•r)•h + 2•(π•r2) Voici ce que nous attendons comme démarche dans un examen Prenons l’exemple d’un cylindre dont les bases ont un diamètre de 20cm et la distance entre les deux bases est de 5cm. d=2•r 20÷2=10=r AT = (2•π•r)•h + 2•(π•r2) AT = (2•π•10)•5 + 2•(π•102) AT = 20π•5 + 2•(100π) AT = 100π + 200π AT = 300π AT ≈ 942,4778cm2