TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses

S1 2005-2006 - Mathématiques
IUT Mesures Physiques - Grenoble I
TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
T Exercices théoriques :
−π 5π 2π 3π
1. Donner, sans calculatrice, les sinus, cosinus et tangente des angles π6 , 3π
4 , 3 , 6, 3, 2.
2. On se donne a et b dans [0; π/2], tels que cos a = 41 et sin b = 52 .
Calculer sin a et cos b. En déduire les valeurs de cos(a + b) et de sin(a + b).
3. Résoudre les équations suivantes dans R (on donnera l’ensemble des solutions sous forme de
valeurs exactes, puis une valeur approchée à 10−2 près de la plus petite solution positive) :
√
√
(g) 2 cos x + 0.5 sin x = 1.5
(d) 3 cos x − sin x = 1
(a) cos x = 23
(e) tan 3x = √13
(h) cos x + 0.2 sin x = 6
(b) sin 2x = − 1
2
(f) 2 sin2 x + sin x − 1 = 0
(c) sin x = cos x
(i) 3 cos x − 4 sin x = 5
4. Résoudre les équations suivantes dans [−1; 1] :
(a) arcsin x =
3π
4
(b) arcsin x = arccos x
(c) arcsin 25 − arccos x = − π2
P Exercices pratiques :
1. Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène, vers -200 av.J.C : Lors du solstice d’été, à midi,
le soleil est au zénith dans la ville de Syène (Assouan). A Alexandrie, située à 800km au nord sur
le même méridien, les rayons du soleil font un angle de 7◦ avec la verticale.
Avec ces données, retrouver la valeur du rayon de la Terre calculée par Eratosthène. Quelle est
l’erreur avec la valeur aujourd’hui mesurée, 6378km ?
2. Tunnel : pour relier deux villes C et F distantes de 80km, on veut percer un tunnel entre deux
points C′ et F ′ situés 200m sous C et F.
Deux options se présentent : ou bien percer en ligne droite, ou bien percer en restant en permanence à une profondeur de 200m.
Comparer les distances à percer dans les deux cas ; dans le premier cas, quelle sera la profondeur
maximale atteinte ?
3. Tension électrique : u(t) = A cos(ωt +ϕ) représente la tension aux bornes d’une prise de courant
(ω est appelé pulsation, A amplitude ou tension maximale).
(a) Montrer que u est périodique.
Calculer en fonction de ω sa période et sa fréquence (l’inverse de la période).
(b) La tension efficace correspondant à une tension variable de période T est donnée par
Ue2f f
1
=
T
Z T
u2 (t)dt.
0
Calculer Ue f f en fonction de A et ω.
(c) Sachant qu’en France la fréquence du courant est de 50Hz et la tension efficace de 220V,
déterminer A et ω.
(d) On suppose de plus que ϕ = π/4. Représenter graphiquement U .
(e) Calculer
du
dt
et
d2u
.
dt 2
En déduire que u est une solution de l’équation différentielle
d2u
+ ω2 u = 0.
dt 2
(f) Déterminer la primitive de U qui s’annule en 0.
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IUT Mesures Physiques - Grenoble I
CORRECTION DU TD 1 : fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
T Exercices théoriques :
1. Il suffit de connaître les valeurs de base sur [0; π2 ] puis d’utiliser les propriétés de symétrie, à l’aide
d’un cercle trigonométrique. Vérifiez vos résultats une calculatrice...
2. a et b étant dans [0; π/2], sin a et cos b sont positifs.
1
, sin a =
Comme de plus (sin a)2 = 1 − (cos a)2 = 1 − 16
3.
√
15
4 .
√
21
5 .
√
sin(a + b) = 2+320 35 .
De même, cos b =
√
√ √
3( 7−2 5)
Alors cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b =
, et de même,
20
π
π
(a) x est de la forme 6 + 2kπ, ou bien de la forme − 6 + 2kπ , pour k ∈ Z.
(b) x est solution si et seulement si 2x vaut − π6 + 2kπ ou 7π
6 + 2kπ, donc
7π
x = 12 + kπ, k ∈ Z.
x ≃ 0.52.
π
: x = − 12
+ kπ ou
x ≃ 1.83.
(c) Un raisonnement géométrique permet d’éviter les calculs : l’angle x est solution si et seulement si l’abscisse et l’ordonnée du point correspondant du cercle trigonométrique sont égales.
Donc x = π4 + 2kπ ou x = 5π
x ≃ 0.78.
4 + 2kπ.
√
(d) L’équation équivaut successivement à 23 cos x − 12 sin x = 12 , cos π6 cos x − sin π6 sin x = cos π3 ,
d’où finalement cos(x + π6 ) = cos π3 .
Donc x + π6 = ± π3 + 2kπ, k ∈ Z, les solutions sont les π6 + 2kπ et −π
2 + 2kπ, k ∈ Z. x ≃ 0.52.
(e) tan 3x =
√1
3
= tan π6 équivaut à : 3x = π6 + kπ, donc à x =
π
18
+ k π3 , k ∈ Z.
x ≃ 0.17.
(f) 2 sin2 x + sin x − 1 = 0. On résoud d’abord 2X 2 + X − 1, on trouve X = −1 et X = 21 .
En remplaçant X par sin x, on obtient donc deux équations trigonométriques, dont les solutions
sont tous les − π2 + 2kπ, π6 + 2kπ et 5π
x ≃ 0.52.
6 + 2kπ, k ∈ Z.
√4 cos x + √1 sin x = √3 .
17
17
17
1
4
2
√
. Alors (sin α) = 17 , et comme α ∈ [0; π], sin α = √1 . L’équation
Soit alors α = arccos
17
17
3
√
équivaut donc à cos α cos x + sin α sin x = 17 , donc à cos(x − α) = cos(arccos √317 ).
Ainsi, x−α = ± arccos( √317 )+2kπ ; les solutions sont donc les arccos √417 ±arccos √317 +2kπ,
(g) On transforme d’abord l’équation en
k ∈ Z.
x ≃ 1 (et pourtant, x est différent de 1 ! ! !).
x+
x = √6 . Mais on remarque alors que le
(h) On transforme l’équation en
26
membre de gauche est de la forme cos(x − β) (cf.le cours, et l’équation précédente), alors
que le membre de droite est strictement supérieur à 1 : il n’y a pas de solution.
(i)
√1 sin
26
√5 cos
26
3
4
3
4
5 cos x − 5 sin x = 1, donc si γ = arccos 5 , sin γ = 5 , et cos(x + γ) = 1. Ainsi, x + γ = 2kπ, donc
les solutions sont les − arccos 53 + 2kπ.
x ≃ 5.36.
4. C’est plus simple que les équations avec les fonctions directes !
(a) La fonction arcsin prend ses valeurs dans [−π/2; π/2] : l’équation n’a donc pas de solution...
(b) arcsin est à valeurs dans [−π/2; π/2] et arccos dans [0; π], donc en fait la valeur commune est
dans [0; π/2]. Donc x est dans [0; 1].
√
√
L’équation est alors équivalente à x = sin arccos x = 1 − x2 , d’où x = 2/2 (car x > 0 !).
(c) arcsin 52 + π2 = arccos x, d’où x = cos(arcsin 52 + π2 ) = − sin(arcsin 52 ) = − 25 .
2
P Exercices pratiques :
1. Un petit croquis représente la situation :
7◦
b
A
b
b
S
O
Les rayons du soleil étant parallèles entre eux (le soleil est à l’infini), l’angle SOA vaut aussi 7◦ .
Un angle de 360◦ correspond au périmètre du cercle, 2πR, et un angle de 7◦ à la distance AS le
long du cercle. On a donc par proportionnalité la relation :
R×7×
π
= 800000.
180
Ainsi, R ≃ 6548000, soit 6548km.
L’erreur relative vaut alors |6548 − 6378|/6378 = 0.0267 soit seulement de 2.67% de la valeur
mesurée aujourd’hui !
2. Tunnel : R désignant le rayon de la terre, O son centre, et d la distance terrestre entre C et F,
l’angle COF est α = Rd (radians).
– distance en ligne droite entre C′ et F ′ : appelons M le milieu de [C′ F ′ ]. Alors OMC′ est
rectangle en M, et l’angle en O vaut α/2, d’où la relation C′ F ′ = 2C′ M = 2C′ O sin(α/2) =
2(R − 0.2) sin(α/2) ≃ 79.99697km.
– La distance de C′ à F ′ à une profondeur constante de 200m vaut : (R−0.2)d
= (R − 0.2)α ≃
R
79.99749km.
La différence entre les distances est donc de (R − 0.2)|α − 2 sin(α/2)| ≃ 0.52m.
La profondeur maximale atteinte dans le premier cas vaut R − (R − 0.2) cos(α/2) ≃ 325.4m.
3. Tension électrique :
(a) T =
2π
ω,
(b) u2 (t) =
f=
ω
2π .
A2
2 (1 + cos(2ωt + 2ϕ))
à l’aide de la formule 2 cos2 x = 1 + cos 2x....
Mais intégrer un cosinus sur une période donne 0 (faites-le !), et on obtient donc : Ue2f f =
donc Ue f f = √A ≃ 0.707 A. On remarque que Ue f f ne dépend pas de ω !
2
√
(c) f = 50 donc ω ≃ 314.
A = 230 2 ≃ 325V .
A2
2 ,
(d)
2
d u
2
(e) La dérivée de u est du
dt (t) = −Aω sin(ωt +ϕ), donc la dérivée seconde vaut dt 2 (t) = −Aω cos(ωt +
ϕ) = −ω2 u(t), d’où le résultat.
3