SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Soient (ak )1¶k¶n , (bk )1¶k¶n et (zi j )1¶i¶m deux fa- 1 milles de nombres complexes, λ ∈ C et p ∈ N. 1) Sans justification, les relations suivantes sontelles vraies ou fausses en général ? n n n X X X a) (ak + bk ) = ak + bk . k=1 b) c) n X a k bk = k=1 n X n X k=1 ak × k=1 n X λak = λ k=1 n X k=1 ak . d) k=1 ak k=1 p = n X xk = . . . k=0 — dériver des deux côtés, — évaluer en 2 et conclure. Cette technique de calcul est importante, nous en aurons souvent besoin au deuxième semestre. À retenir dès maintenant ! Retrouver le résultat de la question 1) en 2) calculant de deux façons différentes la somme X 2j. k=1 bk . n X n X — compléter d’abord l’égalité : 1¶ j¶n p ak . 0¶i< j¶n 3) k=1 2) X Reprendre laY question 1) en remplaçant tous les par des . n X 3) Transformer ln ak sous l’hypothèse que ak > 0 Adapter la technique de la question 1) n X au calcul de la somme k 2 3k . k=0 ————————————– k=1 pour tout k ∈ ¹1, nº. m n Y n m X X Y zi j ? zi j = 4) Est-il vrai que : 6 Étudier la monotonie des suites (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ définies pour tout n ∈ N∗ par : j=1 i=1 i=1 j=1 2n X 1 un = k k=n+1 ————————————– 1 Simplifier les sommes suivantes : n+1 n n X X X 2i 1) (2 j − 1). i(i − 1). 3) . 2) 32i−1 i=1 j=1 i=0 X X X i x i+ j . 6) (i+ j). 5) . 4) j+1 1¶i¶ j¶n 0¶i, j¶n 1¶i< j¶n X X X i2 7) ( j−i). 8) (i+ j)2 . 9) . j 1¶i¶ j¶n 1¶i, j¶n 1¶i¶ j¶n n X X ¦ © 1 max i, j . 11) ln 1 − 2 . 10) k 1¶i, j¶n k=2 k=1 k 2n X (−1)k−1 k k=1 9 ainsi l’expression de 2) Adapter au calcul de n X 1 ¶ 2. k2 k=1 n ∈ N∗ : 1) Montrer par récurrence que pour tout n X 3n 1 . ¾ 2 k 2n + 1 k=1 ————————————– 2 PRODUITS 2 k pour tout n ∈ N. 10 ————————————– 5 1) Simplifier les produits suivants : n Y Y Y 2 i j. x i+ j . 3) (−5)k −k . 2) 4) 2k k en suivant pas à pas les n Y k=1 k=0 indications suivantes : 1¶i, j¶n 1¶i, j¶n k=1 Simplifier k=1 1 . n+k En déduire que pour tout n ∈ N∗ : b) k=0 n X n X 1 1 1 ¶ − . k2 k−1 k k vue en cours. k=0 n X = Montrer que pour tout k ¾ 2 : 1) a) 1) Pour tout n ∈ N, simplifier de deux façons diffén X rentes la somme (k + 1)2 − k2 et retrouver n X n . 2 ————————————– 2) k=0 ¾ Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗ : 8 Montrer que pour tout n ∈ N : n X n(n + 1) 2 1) k3 = . 2 k=0 n X n(n + 1) . 2) (−1)k k2 = (−1)n 2 k=0 Soit n ∈ N. . ————————————– ————————————– 4 k Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : 2n X 1 ————————————– 3 k=n ————————————– SOMMES 7 2 vn = et 2n X 1 4k2 − 1 . 5) Y i j. 6) 1¶i, j¶n ————————————– 1 p n−1 X Y p=0 k=0 2 p!k . SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 11 3 Montrer SANS RÉCURRENCE que pour tout n ∈ N∗ : 2 n−1 ¶ n! ¶ n n−1 . ————————————– 12 P= Soient z ∈ C et n ∈ N. On pose : 18 n Y k 1 + z2 . k=0 19 Calculer (1 − z)P et en déduire une expression simple de P. Montrer par récurrence, puis sans récurrence, que pour tout n ∈ N∗ : n Y (2n + 1)! (2k + 1) = 1) . 2n n! k=0 n n−1 Y n! Y k = k . 2) k! k=1 k=0 1+ 20 1) Simplifier pour tout n ∈ N la somme 2) n ∈ N∗ : 1 k2 . ¶ k2 (k − 1)(k + 1) 21 22 1) Montrer que pour tout n ∈ N : 23 (2k + 1)! ¾ (n!)n . k=0 ∗ Montrer que pour tous n ∈ N et x 1 , . . . , x n ∈ [0, 1] : k=1 n X 24 Montrer par récurrence sur n que pour tous n X p+n+1 p+k . n, p ∈ N : = p+1 p k=0 Montrer que pour tous a, b ∈ R∗+ et n ∈ N : a n b n 1+ ¾ 2n+1 . + 1+ b a xk. k=1 ————————————– 17 ∗ Simplifier pour tous n ∈ N et k ∈ ¹0, n − 1º le n k+1 quotient , puis le comparer à 1. Qu’en déduitn k on ? ————————————– ————————————– (1 − x k ) ¾ 1 − n X (−1)k n . k+1 k k=0 ————————————– 2) En déduire par récurrence que pour tout n ∈ N∗ : n Y Simplifier pour tout n ∈ N la somme ————————————– (2n + 1)! ¾ (n + 1)n . (n + 1)! 16 k: ————————————– Montrer par récurrence que pour tout n Y 1 1 1+ 3 ¶ 3− . k n k=1 n−1 Y k a) au moyen de la formule d’absorption. b) en dérivant de deux façons différentes la fonction x 7−→ (x + 1)n . 2) En utilisant au choix l’une des stratégies de la question 1), simplifier pour tout n ∈ N la somme n X n 2 k . k k=0 ————————————– 15 n X n k=0 En déduire que pour tout n ∈ N∗ : n Y 1 1 + 2 ¶ 4. k k=1 b) En considérant (1+1)n et (1−1)n , calculer pour X n X n ∗ , que et tout n ∈ N les sommes k k 1¶k¶n 1¶k¶n ————————————– Montrer que pour tout k ¾ 2 : 1) a) 2n est pair pour tout n ∈ N∗ . Montrer que n ————————————– k impair X n X n l’on note aussi respectivement et . 2k 2k + 1 0¶2k¶n 0¶2k+1¶n ————————————– 14 BINOMIAUX k pair ————————————– 13 COEFFICIENTS ————————————– 1) Factoriser k3 −1 par k −1 et k3 +1 par k +1 pour tout k ¾ 2. n Y k3 − 1 2) En déduire une simplification du produit k3 + 1 k=2 pour tout n ¾ 2. On pourra s’efforcer de faire apparaître une simplification télescopique. n Y k3 − 1 , 3) En déduire l’existence et la valeur de lim n→+∞ k3 + 1 k=2 +∞ 3 Y k −1 . que l’on note aussi k3 + 1 k=2 ————————————– 2