devoir surveille logique

Prof : M-ALLAT
Devoir surveillé N°1
22 / 10 / 2018
2h
1 E R BAC SM
G S : Alfallah 3
Exércice 1 : 7 pts
1) Exprimer les propositions suivantes en utilisant les connécteurs logiques et les quantificateurs :
2
a) l’équation x  x  1  0 admet au moins une solution réelle supérieure à
3
.
2
b) pour qu’un nombre réel x soit supérieur à 1 il suffit que son cube soit superieur à 2 .
5 et 7 .
x  xy  y 2  0 "
c) on peut trouver un nombre rationnel compris entre
2) soit P la proposition : " x   
 y   
2
a) Détérminer P la négation de la proposition P .
b) En déduire que la proposition P est fausse .
3) montrer en utilisant un raisonnement par contraposée que :
"   x , y    2 :  xy  x  y  0  x  2 ou y  2"
Exércice 2 : 8 pt
1) soit P la proposition :
" x    :
3
3
 x  1   x 2  5 x  6  2"
2
4
a) montrer que la proposition P est vraie .
b) détérminer P la négation de la proposition P .
2) montrer en utilisant un raisonnement par disjonction des cas que :
 n    4 divise n 4  n 2  16 . ( on pourra discuter les cas : n pair et impair )
3) montrer en utilisant un raisonnement par équivalences succéssives que :
x2  1

x
 x     y   
*
*
4) a) Résoudre dans  :
b) Résoudre dans 
:
y2  1
x y
y
1  2x  x  7
1  2x  x  7
Exércice 3 : 6 pts
1) Montrer par récurrence que :
 n   
x  3,  
n
2
 2k  1

n  12n  12n  3
3
k 1
2 x3  3x 2  3x 1  0 .
3 3
1
3
2
3
( Indication : 2 x  3 x  3 x 1  x 2   2  3  )

x x
x 
2) a) montrer que
b) en déduire que pour tout
3
entier naturel n  3 on a 3n  n  1 .
c) montrer par récurrence que :
3
 n  3 : 3n  n3 .
3) Soient p et q et r trois propositions .
Montrer par l’absurde que
 p ou q    p  q   q 
est une loi logique .