J - QUELQUES THEOREMES CLASSIQUES DE GEOMETRIE PLANE

J - QUELQUES THEOREMES CLASSIQUES
DE GEOMETRIE PLANE
Droite de Simson
Théorème - Définition Etant donné un triangle ABC, un point M se projette orthogonalement
sur les côtés en P , Q et R.
les points P , Q, R sont alignés si et seulement si le quadrilatère M ABC est inscriptible.
La droite P QR est appelée droite de Simson relative à M .
Les triangles rectangles P M B et RM B, qui ont leur hypoténuse commune, sont inscriptibles dans un
même cercle. De même pour P M C et QM C, et pour QM A et RM A. On a donc les égalités d’angles
de droites suivantes :
\
\
(P \
M, P R) = (BM,
BR) = (BM,
BA)
\
\
(P \
M, P Q) = (CM,
CQ) = (CM,
CA) .
Donc l’égalité
(P \
M, P R) = (P \
M, P Q)
a lieu si et seulement si, on a
\
\
(BM,
BA) = (CM,
CA) .
La première égalité se traduit par le fait que les points P , Q et R sont alignés, et la seconde par le fait
que les points M , A, B, C sont cocycliques, ce qui donne le théorème.
A
R
B
P
C
M
Q
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Théorème de Ménélaüs
Théorème Etant donné un triangle ABC, on prend trois points P , Q, R situés chacun sur un
des côtés du triangle.
Les points P , Q, R sont alignés si et seulement si on a l’égalité
PC
QA RB
·
= 1.
P B QC RA
·
A
R
P
B
C
Q
On considère le produit des trois homothéties
H1 = (P, P C/P B)
H2 = (Q, QA/QC)
H3 = (R, RB/RA) .
L’image de B par H1 est C, l’image de C par H2 est A et l’image de A par H3 est B. Le point B est
donc un point fixe de la composée
H = H3 ◦ H2 ◦ H1 .
Le rapport de l’homothétie H est le produit des rapports de chaque homothétie et vaut donc
PC
QA RB
·
.
P B QC RA
·
Si les points R, P , Q sont alignés, la droite RP Q est invariante par l’homothétie H et ne passe pas par
B. C’est donc que H est l’application identique, et on en déduit que le rapport de l’homothétie vaut 1.
Réciproquement, si le rapport vaut 1, l’homothétie H est l’application identique, on a successivement
H1 (P ) = P
H2 (P ) = P ′
H3 (P ′ ) = H (P ) = P .
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Si l’on appelle a, b, c les rapports d’homothétie, on a donc
−−→′
−−
→
QP = b QP
−−→
−→
et RP = c RP ′ .
Donc
→
1 −→
→ −−→
1 −−
−
−→ −→ −−→ 1 −−
QR + RP = QP = (QR + RP ′ ) = QR + RP ,
b
b
bc
ce qui donne, puisque abc vaut 1,
−
−
→
−→
1
− 1 QR = (1 − a)RP .
b
Cela montre que P , Q, R sont alignés, puisque a et b sont distincts de 1.
Théorème de Céva
Théorème Etant donné un triangle ABC, on prend trois points P , Q, R situés chacun sur un
des côtés du triangle.
Les droites AP , BQ, CR sont concourantes si et seulement si on a l’égalité
PC
QA RB
·
= −1 .
P B QC RA
·
A
R
Q
O
B
P
C
P′
Soit P ′ le point d’intersection de RQ avec BC. Si les droites AP , BQ, CR sont concourantes en O, la
polaire de P ′ par rapport à AB et AC est la droite AP , donc (P P ′ , CB) est une division harmonique
(voir G) et
PC
P ′C
=−
.
PB
P ′B
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D’autre part, les points P ′ , R et Q étant alignés, on a, d’après le théorème de Ménélaüs,
P ′C
QA RB
·
= 1.
P ′ B QC RA
·
Alors en combinant les deux relations on obtient
PC
QA RB
·
= −1 .
P B QC RA
·
Réciproquement, si la relation
PC
PB
a lieu, soit
P′
·
QA RB
·
= −1
QC RA
le conjugué de P par rapport à B et C. On en déduit comme ci-dessus
P ′C
P ′B
·
QA RB
·
= 1,
QC RA
ce qui prouve que P ′ , Q et R sont alignés. Comme AP est la polaire de P ′ par rapport à AB et
AC, elle passe par le point d’intersection O de RC et QB. Donc les trois droites AP , BQ, CR sont
concourantes en O.
Cercle des neuf points d’Euler
Théorème Etant donné un triangle ABC, il existe un cercle passant par les neuf points suivants :
– les milieux A′ , B ′ , C ′ des côtés
– les pieds H, H ′ , H ′′ des hauteurs
– les milieux a, b, c des segments joignant l’orthocentre ω du triangle aux sommets A, B, C
1) Soit K, K ′ , K ′′ les symétriques de ω par rapport aux côtés. Ces points se trouvent sur le cercle de
centre O, circonscrit au triangle ABC.
En effet, le quadrilatère H ′′ BHω ayant deux angles droits est inscriptible, donc
′′ ωH = CωH
\
\
\.
ABC = H
Mais, par symétrie
\ = CKH
\.
CωH
\ sont égaux, ce qui prouve que ABCK est inscriptible.
Donc les angles \
ABC et AKC
2) L’homothétie de centre ω et de rapport 1/2 transforme le cercle circonscrit (O, R) en un cercle
(O′ , R/2), où O′ est le milieu de Oω.
Les images de A, B, C, K, K ′ , K ′′ sont respectivement a, b, c, H, H ′ , H ′′ . Ces six points sont donc sur le
cercle (O′ , R/2).
A
K ′′
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a
K′
H ′′
H′
ω
B′
C′
O′
G
b
B
c
O
A′
H
C
K
3) Les droites AA′ , BB ′ , CC ′ se coupent en G, centre de gravité du triangle. L’homothétie de centre
G et de rapport −1/2 transforme (O, R) en un cercle (I, R/2), avec
−→
1 −−→
IG = − OG .
2
Les points A, B, C se transforment en A′ , B ′ , C ′ situés sur le cercle (I, R/2). De plus l’orthocentre O
du triangle A′ B ′ C ′ est l’image de l’orthocentre ω de ABC. On a donc la relation
−−→
1 −→
GO = − Gω .
2
Mais
et
−→ −−→ −→ −−→ 1 −−→ 3 −−→
OI = OG + GI = OG + OG = OG
2
2
−−→ 1 −→ 1 −−→ −→
GO + Gω .
OG = Gω =
2
2
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On en déduit que
puis
−−→ 1 −→
OG = Gω ,
3
−→ 1 −→
OI = Oω .
2
′
Les points O et I sont donc confondus, ainsi que les cercles (O′ , R/2) et (I, R/2). Ce cercle unique
contient les neuf points annoncés.