3DS2A - Correction

Correction du devoir surveillé n° 2.
☺ Exercice 1 :
En détaillant, calculer et donner le résultat sous forme d’un nombre entier ou d’une fraction irréductible :
A = 23 + 3−2
;
(
B = 10 4 − 3 × 24 − 7 2
)
15
.
Correction :
(
A = 23 + 3−2
A = 8+
B = 10 4 − 3 × 24 − 7 2
1
9
)
15
B = 10 000 − ( 3 × 16 − 49 )
15
72 1
+
9 9
73
A=
.
9
B = 10 000 − ( 48 − 49 )
A=
15
B = 10 000 − ( −1)
15
B = 10 000 − ( −1)
B = 10 000 + 1
B = 10 001 .
☺ Exercice 2 :
Sans détail, écrire sous forme d’un nombre entier
ou d’une fraction irréductible :
1
1
1
1
3
= .........
1
1
1
1
1
7
= .........
1
1
1
1
3
= 3.
1
1
1
1
1
7
=
Correction :
Sans détail, écrire sous forme d’un nombre entier
ou d’une fraction irréductible :
En effet :
Soit a un nombre relatif non nul.
1
L’inverse de a est
.
a
Donc si x est un nombre relatif non nul, alors l’inverse de
1
est x.
x
1
= x.
1
 
 x
Or, l’inverse de
Donc :
1
1
est
.
x
1
 
 x
1
.
7
Dès lors :
1
1
=
= 3.
1
1
 
1
3
1
 
3
1
1
1
=
= .
1
7
1
1
1
 
1
7
1
 
7
☺ Exercice 3 :
1) a) Tracer un segment [ AB ] mesurant 13 cm, puis le cercle ( C
b) Construire un point C du cercle ( C
3) Calculer la longueur BC. Justifier.
) tel que
) de diamètre [ AB ] .
AC = 5 cm.
Correction :
1) a) et b) Figure : RAS.
2) Longueur BC :
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle ( C ) et le côté [ AB ] est un diamètre du cercle ( C ) .
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un côté du triangle est un diamètre du cercle, alors ce triangle
est rectangle.
Donc le triangle ABC est rectangle en C.
Dès lors, on applique le théorème de Pythagore :
AB 2 = CA2 + CB 2
donc BC 2 = AB 2 − AC 2
BC 2 = 132 − 52
BC 2 = 169 − 25
BC 2 = 144 .
D’où : BC = 144
BC = 12 cm.
Le segment [ BC ] mesure donc 12 cm.
☺ Exercice 4 :
1) Compléter :
274,8 = 2, 748 × 10...... = ........................ × 10−3
2) Ecrire sous forme scientifique :
0, 0092 = ........................
0, 016 = 160 × 10...... = ........................ × 102 .
15 400 = ........................ .
Correction :
1) Compléter :
274,8 = 2, 748 × 102 = 274800 × 10−3
2) Ecrire sous forme scientifique :
0, 0092 = 9, 2 × 10−3
0, 016 = 160 × 10 −4 = 0, 00016 × 102 .
15 400 = 1,54 × 104 .
☺ Exercice 5 :
1) Reproduire en vraie grandeur la figure ci-contre sachant que :
B, C et D sont alignés
A, D, E et F sont alignés
AB = 4 cm
BC = 2,5 cm
AF = 1 cm.
A
F
E
B
C
D
2) Trouver, en justifiant :
a) deux droites parallèles
;
b) un triangle rectangle.
3) Soit G le point d’intersection des droites ( AB ) et ( CE ) .
Démontrer que B est le milieu du segment [ AG ] .
Correction :
1) Figure :
BD = 2 BC
BD = 2 × 2, 5
BD = 5 cm.
AD = 3 AF
AD = 3 × 1
AD = 3 cm.
(La construction du triangle ABD s’effectue bien sûr au compas.)
2) a) Dans le triangle BDF, C est le milieu du côté [ BD ] et E le milieu du côté [ FD ] .
Donc, d’après le théorème de la droite des milieux, les droites ( CE ) et ( BF ) sont parallèles.
b) [ BD ] est le plus grand côté du triangle ABD.
On a : BD 2 = 52 = 25 .
Par ailleurs : AB 2 + AD 2 = 4 2 + 32 = 16 + 9 = 25 .
On constate que BD 2 = AB 2 + AD 2 .
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A.
3) Dans le triangle AEG, F est le milieu du côté [ AE ] , B un point du côté [ AG ] , et les droites ( BF ) et ( EG )
sont parallèles (d’après la question 2.a).
Donc, d’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, le point B est le milieu du segment [ AG ] .
☺ Exercice 6 :
On dit qu’un nombre décimal strictement positif est écrit en notation ingénieur s’il est écrit sous la forme
a ×10 n , où a est un nombre décimal tel que 1 a < 1000 et n un nombre entier relatif multiple de 3.
Ecrire les nombres suivants en :
a) notation scientifique :
b) notation ingénieur :
25 600 000 000 = ............... × 10......
25 600 000 000 = ............... × 10......
0, 0008 = ............... × 10......
0, 0008 = ............... × 10...... .
Correction :
On dit qu’un nombre décimal est écrit en notation ingénieur s’il est écrit sous la forme a ×10 n , où a est un
nombre décimal tel que 1 a < 1000 et n un entier relatif multiple de 3.
Ecrire les nombres suivants en :
a) notation scientifique :
b) notation ingénieur :
10
25 600 000 000 = 2,56 × 10
25 600 000 000 = 25, 6 × 109
0, 0008 = 8 × 10−4
0, 0008 = 800 × 10 −6 .