Relation métrique et trigonométrique dans un triangle

Relation métrique et trigonométrique
dans un triangle
I) Définition d'un triangle
1) Définitions
Définition : Un triangle est un polygone à trois côtés
Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit
Propriété : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors l'angle BAC = 90°
Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur
Propriété : Si ABC est un triangle isocèle de sommet A, alors l'angle ABC = ACB
Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même mesure
2) Construction d'un triangle
a) Longueur du triangle
Propriété (Inégalité Triangulaire) : Dans un triangle, la somme des mesures de côtés est supérieure à
la mesure du troisième côté.
AB + BC ≥ AC
Propriété : Si on a l'égalité, alors le triangle est aplati.
b) Angle du triangle
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égal à 180°
Propriété : La mesure de chaque angle d'un triangle équilatéral est égale à 60°
Exercice : Construire le triangle ABC tel qu'on connaît le point B, C et M où M est le centre du
cercle inscrit.
Exercice :
Soit ABC un triangle isocèle où un côté mesure 3cm et l'autre mesure 9cm. Déterminer le périmètre du triangle.
3) Aire
Propriété : L'aire d'un triangle est la moitié de la somme du côté par la hauteur du sommet opposé
Base x Hauteur AB x H C AC x H B CB x H A
Aire(ABC) =
=
=
=
2
2
2
2
II) Relation métrique
1) Égalité de Pythagore
Caractérisation : Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la
somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit.
AB² + AC² = BC²
2) Théorème d'Al Kashi
Théorème : Dans un triangle, on a :
AB² = BC² + AC² – 2ACxBCxcos(ACB)
AC² = BC² + AB² – 2BCxABxcos(ABC)
BC² = AB² + AC² – 2ABxACxcos(BAC)
Exercice : Le premier janvier 2012 on a pu observer que la distance entre la Terre et Mars était à
son minimum. On sait par ailleurs que la distance entre la Terre et le Soleil mesure 149 600 000 km,
que celle entre Mars et le Soleil mesure 247 900 000 km, qu'une année terrestre dure 365 jours et
qu'une année martienne dure 687 jours. Quelle était la distance entre la Terre et Mars le 1er janvier
2014 ? (problème ouvert peut être résolue avec Al Kashi ou sinon, propriété des triangles et Thalès).
3) Théorème de Thalès
Théorème : ABC un triangle, M est un point de [AB] et N un point de [AC]. Si (MN) // (BC), alors
AM AN MN
=
=
AB AC BC
Exercice : Démontrer le théorème de Thalès par les aires.
4) Théorème de la médiane
Théorème : Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC], on a
BC²
– AB . AC = AI² 4
BC²
– AB² + AC² = 2AI² +
2
– AB² – AC² = 2IA.BC
III) Relation trigonométrique
1) Cosinus, Sinus, Tangente
a) Définitions
Définition : Dans un triangle rectangle :
longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l ' hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
– le sinus d'un angle est le quotient
longueur de l ' hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
– la tangente d'un angle est le quotient
longueur du côté adjacent à cet angle
– le cosinus d'un angle est le quotient
Propriété : Soit A un angle aigu d'un triangle rectangle, alors
– cos² A + sin² A = 1
sin A
– tan A =
cos A
Exercice : Construire uniquement à la règle le triangle ABC tel que AB = 8cm, ABC = 63° et CAB = 50°
2) La loi du sinus
Théorème : Dans tout triangle, non aplati, on a
où S l'aire du triangle ABC
Formule d'addition :
cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)
sin(a – b) = sin(a) cos(b) - sin(b) cos(a)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
Formule de duplication :
cos(2a) = cos² a – sin² a
sin(2a) = 2 sin (a) cos a
Formule de linéarisation :
1+ cos(2a)
cos² a =
2
1−cos (2a )
sin² a =
2
Exercice :
BC
AC
AB ABxBCxAC
=
=
=
sin A sin B sin C
2S