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Tale S
Fonctions trigonométriques
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FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Analyse - Chapitre 7
Table des matières
I
Fonction sinus et fonction cosinus
I 1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I 2 Propriétés des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
II Étude des fonctions sinus et cosinus en 0
II 1 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II 2 Deux limites particulières à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
III Étude de la fonction sinus
III 1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III 2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III 3 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
IV Étude de la fonction cosinus
IV 1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV 2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV 3 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
V Limites
7
N. Peyrat
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I
Fonctions trigonométriques
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Fonction sinus et fonction cosinus
I1
Définition
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~ı, ~) .
A tout réel t, on associe un unique point M du cercle trigonométrique
−−→
de centre O tel que t = (~ı, OM ) (mesure de l’angle orienté en radians).
Le point M a pour coordonnées (cos t ; sin t).
Remarque : ∀ t ∈ R, 1 6 cos t 6 1 et −1 6 sin t 6 1.
Définition
• La fonction qui a tout réel x fait correspondre l’abscisse cos x du point M est appelée la fonction
cosinus et est notée cos.
• La fonction qui a tout réel x fait correspondre l’ordonnée sin x du point M est appelée la fonction
sinus et est notée sin.
I2
Propriétés des fonctions sinus et cosinus
Propriété (admise)
• Pour tout réel x, cos(−x) = cos x : on dit que la fonction cosinus est paire sur R.
• Pour tout réel x, sin(−x) = − sin x : on dit que la fonction sinus est impaire sur R.
Interprétation graphique :
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~ı, ~) .
• Les points M (x; cos x) et M 0 (−x; cos(−x)) sont symétriques par rapport à l’axe (O; ~). La courbe représentative de la fonction cosinus est
donc symétrique par rapport à l’axe (O; ~).
• Les points M (x; sin x) et M 0 (−x; sin(−x)) sont symétriques par rapport à l’origine O du repère. La courbe représentative de la fonction sinus
est donc symétrique par rapport à l’origine O du repère.
Propriété (admise)
Pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π (ou « 2π-périodiques »).
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Conséquences graphiques :
−−−→
Les points M (x; cos x) et M 0 (x + 2π; cos(x + 2π)) sont tels que M M 0 = 2π~ı. De même, les points N (x; sin x)
−−→
et N 0 (x + 2π; sin(x + 2π) sont tels que N N 0 = 2π~ı. Il suffit donc d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur
un intervalle de longueur 2π. Mais de plus, les fonctions sin et cos étant respectivement impaires et paires
sur R, par symétrie, on peut restreindre leur étude sur l’intervalle ]0 ; π]. Finalement, on pourra procéder
ainsi :
1. On étudie le sens de variations des fonctions sin et cos sur ]0 ; π].
2. On en déduit le sens de variations sur ] − π; pi] par symétrie (axiale pour cos et centrale pour sin).
3. On obtient ensuite chaque courbe sur R par des translations de vecteurs 2kπ~ı, pour k ∈ Z.
II
Étude des fonctions sinus et cosinus en 0
II 1
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0, et on a : sin0 0 = 1 et cos0 0 = 0.
Démonstration à l’aide d’une activité géométrique :
h πi
Dans un repère (O ; I ; J), on considère un réel x appartenant à l’intervalle 0 ; , le point M du cercle
2
trigonométrique associé à x, et le point T , intersection de la droite (OM ) et de la tangente au cercle en I.
sin x
1. (a) Montrer que IT =
cos x
(b) En rangeant dans l’ordre croissant les aires des triangles OIM , OIT et celle du secteur de disque
π
OIM , montrer que, pour tout réel x de ]0 ; [,
2
sin x
sin x 6 x 6
cos x
i πh
(c) En déduire que, pour tout x de 0 ; ,
2
sin x
cos x <
<1
x
i π h
On admet de même que cet encadrement est également vrai lorsque x ∈ − ; 0 .
2
(d) En déduire, en utilisant la définition, que la fonction sinus est dérivable en zéro et que sin0 0 = 1.
h π πi
2. (a) Montrer que pour tout réel h non nul de l’intervalle − ; , on a :
2 2
cos h − 1
sin h
− sin h
=
×
h
h
cos h + 1
(b) En déduire le nombre dérivé en zéro de la fonction cosinus.
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II 2
Fonctions trigonométriques
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Deux limites particulières à connaitre
Propriété
sin x
=1
x→0 x
• lim
cos x − 1
=0
x→0
x
• lim
Démonstration :
Les démonstrations ont été faites dans l’activité précédente.
III
Étude de la fonction sinus
III 1
Dérivée
Propriété
La fonction sinus est définie et dérivable sur R et ∀ x ∈ R, sin0 x = cos x.
Démonstration :
Soit x un nombre réel quelconque et h un réel non nul.
sin x cos h + cos x sin h − sin x
cos h − 1
sin h
sin(x + h) − sin x
=
= sin x
+ cos x
.
h
h
h
h
sin h
cos h − 1
Or lim
= 1 et lim
= 0 (d’après le cours).
h→0 h
h→0
h
sin(x + h) − sin x
Donc lim
= cos x ∈ R.
h→0
h
Ce qui prouve que la fonction sinus est dérivable en tout réel x et que sa dérivée est la fonction
x 7→ cos x.
III 2
Sens de variation
D’après ce qui précède, il suffit d’étudier la fonction sinus sur l’intervalle ]0 ; π[ :
x
π
2
0
sin0 x =
cos x
+
0
π
−
1
sin
0
0
On en déduit alors le sens de variations de la fonction sinus sur ] − π ; π] par symétrie centrale par rapport
àO:
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x
−
−π
π
2
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π
2
0
π
1
sin
−1
III 3
0
Courbe représentative
On rappelle quelques valeurs connues de la fonction sinus :
0
π
6
sin x 0
1
2
x
π
4
√
2
2
π
3
√
3
2
IV
Étude de la fonction cosinus
IV 1
Dérivée
π
2
1
2π
3
√
3
2
3π
4
√
2
2
5π
6
1
2
Propriété
La fonction cosinus est définie et dérivable sur R et ∀ x ∈ R, cos0 x = − sin x.
Démonstration :
Soit x un nombre réel quelconque et h un réel non nul.
cos(x + h) − cos x
cos x cos h − sin x sin h − cos x
cos h − 1
sin h
=
= cos x
− sin x
.
h
h
h
h
sin h
cos h − 1
Or lim
= 1 et lim
= 0 (d’après le cours).
h→0 h
h→0
h
cos(x + h) − cos x
Donc lim
= − sin x ∈ R.
h→0
h
Ce qui prouve que la fonction cosinus est dérivable en tout réel x et que sa dérivée est la fonction
x 7→ − sin x.
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IV 2
Fonctions trigonométriques
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Sens de variation
D’après ce qui précède, il suffit d’étudier la fonction cosinus sur l’intervalle ]0 ; π[ :
x
0
cos0 x =
− sin x
0
π
−
0
1
cos
−1
On en déduit alors le sens de variations de la fonction cosinus sur ] − π ; π] par symétrie axiale par rapport
à l’axe des ordonnées :
−π
x
π
0
1
cos
−1
IV 3
−1
Courbe représentative
On rappelle quelques valeurs connues de la fonction cosinus :
x
0
cos x 1
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π
6
√
3
2
π
4
√
2
2
π
3
π
2
2π
3
1
2
0
−
1
2
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3π
4
√
−
2
2
5π
6
√
−
3
2
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Cours
Limites
Propriété
Les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limites en +∞ ou en −∞.
Démonstration :
• Montrons que les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite infinie :
∀x ∈ R, −1 6 sin x 6 1 et −1 6 cos x 6 1 donc si ces fonctions admettent une limite l, alors
−1 6 l 6 1. Donc l 6= −∞ et l 6= +∞.
• Montrons par l’absurde que les fonctions sinus et cosinus n’admettent pas de limite finie :
Supposons que la fonction sinus admette, quand x tend vers +∞, une limite finie notée l, compris
entre −1 et 1 (d’après ci-dessus).
Alors pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un réel M tel que ∀x > M , sin x ∈ I.
Prenons I =]l − 0, 1 ; l + 0, 1[. Alors il existe M ∈ R tel que ∀x > M , l − 0, 1 < sin x < l + 0, 1.
π
Or l’intervalle [M ; +∞[ contient une infinité de réels sous la forme + k × 2π (k ∈ N) dont le sinus
2
π
vaut 1 et une infinité de réels sous la forme − + k × 2π (k ∈ N) dont le sinus vaut −1. Ainsi,
2
l’intervalle I devrait contenir à la fois 1 et −1, ce qui est impossible car la longueur de l’intervalle
est de l + 0, 1 − (l − 0, 1) = 0, 2.
Donc la fonction sinus n’a pas de limite finie.
(idem pour la fonction cosinus)
Remarque :
En revanche, une fonction « contenant » un sinus ou un cosinus peut admettre une limite en +∞ ou en −∞.
Exemples :
sin x
f : x 7→
. Démontrer que lim f (x) = 0 (théorème des gendarmes).
x→+∞
x
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