2 Recollements d`espaces topologiques.

Topologie algébrique
25
Bruno BIGONNET
2 Recollements d’espaces topologiques.
2.0 Introduction
Considérons l’espace topologique X constitué
par le plan R
2
privé de deux points que nous
appellerons « les trous de X ». On peut décomposer X en deux bandes ouvertes, V
et V ,
1
2
horizontales ou verticales suivant la disposition
a
V
des trous, de façon à ce que chacune d’entre
V
1
2
trou
a
elles ne comporte qu’un seul trou. Il est facile
a
de vérifier que chacune de ces deux bandes est
2
homéomorphe à R \
{ (0, 0)}
a
et donc que (proposition 1.26) π (V ) et
1
π (V ) sont tous deux isomorphes à (Z# +).
1
1
2
Considérons un lacet λ de X. Trois cas se présentent ;
a)
λ n’enserre aucun
b)
des deux trous.
λ enserre un seul
des deux trous.
c)
λ enserre les deux
trous.
Dans tous les cas, on peut décomposer λ en deux lacets dont chacun
a
est contenu dans l’un des V . On peut donc associer à la classe ⟨λ⟩ de
i
λ le « produit formel » d’un élément de π (V ) et d’un élément de π (V ).
1
1
1
2
On aurait tendance à penser que π (X) est isomorphe au produit libre
π (V )
1
1
*
π (V )
1
2
≈
1
(Z# +)
*
(Z# +).
Le théorème de Van Kampen démontre et généralise cette impression.
Sa version pour les groupes ne s’applique qu’à certains recouvrements
ouverts.
26
Recollements d’espaces topologiques.
2.1 Le théorème de Van Kampen pour les groupoïdes
Notations
a
Soit X un espace topologique muni d’un recouvrement
a
des ouverts connexes par arcs.
{ Va } a∈A
par
a
Pour tout élément a de A, on notera j le morphisme de groupoïdes
a
..
..
de π1  V  vers π1  X  image par le foncteur de Poincaré de l‘inclua
sion j : V i X. Rappelons que, pour tout chemin χ de V , j
a
a
transforme la classe ⟨⟨χ⟩⟩ de χ dans V
On notera
*
a∈A
a
a
a
en la classe ⟨χ⟩ de χ dans X.
.. 
..
π1 V  le produit libre des groupoïdes π1  V  et φ

a

..
l’inclusion de π1  V  dans

a


*
a∈A

a
{ ja } a∈A.

a

On notera J le morphisme de groupoïdes de
induit par la famille
a
.. 
π1 V  ,
*
a∈A
.. 
..
π1 V  vers π1 X

a
 

Rappelons que : ∀ a ∈ A,
De plus, la restriction de J aux unités est l’identité de X.
Jφ
a
= j .
a
a
Considérons maintenant un couple (a, b) d’éléments de A. On notera
..
..
i
le morphisme de groupoïdes de π1  V ∩ V  vers π1  V  , image
ab
a
b
b
par le foncteur de Poincaré de l’inclusion i : V ∩ V i V .
ab
Il est facile de vérifier que j i
b ab
et j i
a ba
a
b
a
b
sont tous deux égaux à l’ima-
ge par le foncteur de Poincaré de l’inclusion V ∩ V i X et donc
a
b
..
-1
que, pour tout élément ⟨χ⟩ de π1  V ∩ V  , φ i (⟨λ⟩) • φ i (⟨λ⟩ )
a
b
a ba
b ab
appartient au noyau de J.
Proposition 2.1.1
Soit X un espace topologique muni d’un recouvrement
a
par des ouverts connexes par arcs.
{ Va} a∈A
a
Alors, avec les notations introduites ci-dessus, J est surjectif.
Topologie algébrique
27
..
Soit ⟨χ⟩ un élément de π1  X  . En utilisant le même procédé topologique que dans la proposition 1.19 on décompose le chemin χ en une
succession χ = γ • γ • ... • γ
1
2
i, 1 ≤ i ≤ p, le chemin γ
p
a
de chemins de X tels que, pour tout
soit contenu dans un V
i
.
a(i)
Il est alors immédiat que ; ⟨χ⟩ = J  ⟨⟨γ ⟩⟩ ∗ ⟨⟨γ ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨γ ⟩⟩  ,
1
2
p
.. 
π1  V  défini par :
Considérons le sous-ensemble N de
a
a∈A
..
-1
N := φ i (⟨χ⟩) • φ i (⟨χ⟩ )  (a, b) ∈ A × A, ⟨χ⟩ ∈ π1  V ∩ V 
a ba
b ab
a
b
*
{
}
.
On a remarqué, en introduisant les notations, que N est contenu dans
le noyau de J.
Proposition 2.1.2
Soit X un espace topologique muni d’un recouvrement
a
{ Va} a∈A
par des ouverts connexes par arcs.
a
Alors, avec les notations introduites ci-dessus, le noyau
a
de J coïncide avec le sous-groupoïde distingué de
.. 
π1  V  engendré par N,
a
a
*
a∈A
Notons [N] le sous-groupoïde distingué de
*
a∈A
.. 
π1 V  engendré par N,

a

On sait déjà que : [N] ⊂ Ker J. On va montrer que KerJ [N] est banal
En fait, puisque J induit l’identité sur X, son noyau est un multi.. 
π1  V 
groupe contenu dans le multigroupe d’isotropie de
a
*
a∈A
Donnons-nous un élément ω = ⟨χ ⟩⟩ ∗ ⟨⟨χ ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨χ ⟩⟩ du noyau de J.
1
2
p
La donnée de ω équivaut à celle d’un lacet χ = χ • χ • ... • χ
la succession des chemins
un certain V
a(i)
χ 
 i 1≤ i ≤ p
1
2
p
formé de
dont chacun est contenu dans
; de plus, en notant x l’extrémité de µ, on a ;
⟨µ⟩ = ⟨χ ⟩ • ⟨χ ⟩ • ... • ⟨χ ⟩ = ⟨ο ⟩.
1
2
p
x
Soit donc Λ : I × I f X une application qui met en relation µ avec
a
le lacet constant ο
x
: t d x.
L’idée de la démonstration est de construire, à partir de Λ, une suite
28
Recollements d’espaces topologiques.
 j
ω 
d’éléments de
1≤ j≤ q
*
a∈A
q
1
ω

a
telle que :

≡ ω ( [N] ) ; ω = ο
j+1
∀ j, 1 ≤ j ≤ q-1, ω
et :
.. 
π1 V 
Première étape
j
≡ ω ( [N] ) .
a
La première étape consiste à décomposer Λ, considérée comme un chea
min de l’espace topologique des lacets de X d’extrémité x, en une suca
cession de tels chemins dont les bornes consécutives (qui sont, rappelons-le, des lacets de X) ne diffèrent entre elles que par une déforma-
a
a
tion dans l’un des V .
a
Par une construction topologique analogue à celle utilisée dans la propoa
sition 1.19, on exhibe deux subdivisions 0 = s
0 = t
0
rectangle R
tain V
:=
jk
.
1
m
= 1 et
n
j −1
, sj
] × [t
k −1
, t
k
]
soit contenue dans un cer-
Quitte à la raffiner, on peut de plus supposer que la sub-
b(j, k)
division
[s
< s <…< s
= 1 de l’intervalle I telles que l’image par Λ du
< t <…< t
1
0
est plus fine que celle qui sert à décomposer µ en
s 
 j 1≤ j≤ m
χ • χ • ... • χ . Autrement dit : on peut identifier la restriction de µ à un
1
2
p
[s
intervalle
j −1
, sj
] avec la restriction d’un certain χ
i
à ce même inter-
valle. On a ainsi obtenu un « découpage » du pavé I × I suivant les reca
tangles R . Dans la figure, on a représenté le cas où m = 5 et n = 4.
jk
1=t
4
R
t
R
42
L’idée est de choisir pour éta43
pes successives de la décom-
3
position de Λ les lacets formés de la composition de Λ
t
2
t
1
0=s
et des différentes successions
R
0
R
11
s
1
des côtés (verticaux ou hori-
12
s
2
s
3
s
4
s = 1 zontaux) consécutifs des rec5
tangles R . On en a représenté deux en pointillés dans la figure 1 cijk
dessus. Afin de préciser, on introduit les notations suivantes :
jk
1≤i ≤k
γ i est le composé de Λ et du côté horizontal supérieur
du rectangle R
ji
Topologie algébrique
29
jk
(1 ≤ k = i-1)
γ
est le composé de Λ et du côté vertical droit du reck +1
tangle R
jk
jk
k+2 ≤ i ≤ m+1 γ i est le composé de Λ et du côté horizontal inférieur
du rectangle R
.
j i-1
j0
γ 1 est le composé de Λ et du côté vertical gauche du
rectangle R .
(0 = k = i-1)
j1
Puis, pour chaque couple d’indices (j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m, on définit
jk
le lacet η
par : η
jk
a
jk
jk
jk
:= γ 1 • γ 2 • …. • γ m +1.
jk
Autrement dit, pour tout couple d’indices (j, k) différents de zéro, η est
a
le lacet de X qui résulte de la composition de Λ avec le chemin de I × I
a
de source (0, t ) et de but (1, t
j
j-1
) qui emprunte successivement les cô-
tés horizontaux supérieurs des rectangles R , R
j1
j2
.…, R , puis le côté
jk
vertical droit de ce dernier rectangle et enfin les côtés horizontaux inféa
rieurs des rectangles R
De même η
,.…, R
j k+1
j0
a
est la composition de Λ avec le chemin de I × I de
source (0, t ) et de but (1, t
j
j-1
vertical gauche de R
gles R ,.…, R
j1
.
jm
j1
) qui emprunte successivement le côté
puis les côtés horizontaux inférieurs des rectan-
.
jm
On introduit ici une notation un peu délicate : pour chaque triplet d’ina
dices (i, j, k), 1 ≤ i ≤ m+1, 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m soit a(i, j, k) l’élément de
Α tel que V
a
a(i, j, k)
contienne le rectangle qui figure dans la définition
jk
jk
de γ i . On notera alors ⟨⟨ γ i ⟩⟩ la classe de γ i
jk
dans V
a(i, j, k)
.
Seconde étape
jk
Soit, pour tout couple d’indices (j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m, l’élément ω
.. 
jk
π1  V  défini par : ω := ⟨⟨ γ 1jk ⟩⟩ ∗ ⟨⟨ γ 2jk ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨ γ mjk+1⟩⟩.
de
a
*
a∈A
On a ainsi obtenu une suite
 h
ω 
1 ≤ h ≤ (m+1)n
d’éléments de
a
I l nous faut maintenant montrer les relations (1)
*
a∈A
On a utilisé le dénombrement (j, k) d (m+1)( j-1) + k+1.
a
a
π  V  .
1
a
30
Recollements d’espaces topologiques.
Compte tenu des diverses hypothèses et définitions, il est facile de véria
10
fier que les chemins qui composent ω
a
peuvent être regroupés par pa-
quets de façon à redonner ω = ⟨χ ⟩⟩ ∗ ⟨⟨χ ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨χ ⟩⟩
nm
aisé de voir que : ω
1
2
Il est tout aussi
p
= ⟨ο ⟩.
x
h+1
Il nous reste à montrer que ; ∀ h, 1 ≤ h ≤ q-1, ω
h
≡ ω ( [N] )
43
η
Il nous faut traiter deux cas :
(i) ∀ j, 1 ≤ j ≤ n-1,
jm
(j+1)0
ω
≡ ω
( [N] )
η
(ii) ∀ (j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m-1,
jk
ω
j(k+1)
≡ ω
η
( [N] )
(voir la figure ci-contre).
η
R
42
R
42
43
20
15
R
Traitons d’abord le second cas.
11
R
12
Soit un couple d’indices (j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m-1. Ainsi que l’on peut
jk
j(k+1)
le voir sur la figure ci-dessus, ω e( ω
ne diffèrent que par les chemins associés aux côtés du rectangle R
.
j(k+1)
Posons b := a (j, k) et c := a (j, k+1). Considérons le chemin
Par construction, γ
chemin de V ∩ V
b
c
jk
.est
k +1
R
que par définition, la classe
a
jk
R
jk
qui figure dans ω
..
est un élément de π1  V  .
b
de
jk
.
k +1
un
tandis
jk
γ
k +1
γ
γ
jk
jk
jk
k +1
γ
j (k +1)
k +1
j(k+1)
j (k +1)
jk
γ
k +2
k +2
jk
γ
dans
k +1
γ
Notons ⟨⟨ γ ⟩⟩ cette dernière et ⟨⟨ γ ⟩⟩ la classe de
k +1 b
k +1 c
.. 
π1  V  . Soit enfin ω̃ jk l’élément de
π  V  obtenu en remplaçant
c
1
a
*
a∈A
jk
⟨⟨ γ ⟩⟩
k +1 b
par
jk
⟨⟨ γ ⟩⟩
k +1 c
jk
dans ω .
Il est tout aussi aisé de voir qu’il existe deux éléments α et β du groua
.. 

π
poïde
V
tels que l’ on ait les égalités suivantes :
1 a 
*
a∈A
ω̃
jk
=
α ∗ ⟨⟨ γ
jk
⟩⟩
k +1 c
∗ ⟨⟨ γ
jk
⟩⟩
k +2 c
∗β
Topologie algébrique
j(k+1)
ω
=
31
α ∗ ⟨⟨ γ
Le rectangle R
j(k+1)
ω̃
jk
= ω
∗ ⟨⟨ γ
j (k +1)
⟩⟩
k +2
c
∗ β
étant simplement connexe et l’application Λ étant
continue, on a : ⟨⟨ γ
D’où :
j (k +1)
⟩⟩
k +1
c
jk
⟩⟩
k +1 c
j(k+1)
∗ ⟨⟨ γ
jk
⟩⟩
k +2 c
⟨⟨ γ
=
jk
et finalement : ω
j (k +1)
⟩⟩
k +1
c
j(k+1)
ω
≡
jm
∗ ⟨⟨ γ
( [N] ).
(j+1)0
Traitons le premier cas : ∀ j, 1 ≤ j ≤ n-1, ω
j (k +1)
⟩⟩ .
k +2
c
≡ ω
a
( [N] ).
En se reportant à la figure 2, on verra que, mis à part les chemins consa
jm
tants associés aux côtés verticaux, ω
a
(j+1)0
et ω
sont composés des
classes des mêmes chemins. Ils ne diffèrent que parce que ces classes
a
ne sont pas calculées dans les mêmes voisinages. Ils sont donc équivaa
lents modulo [N].
a
Exemple 2.1.3
Si A et B sont deux ouverts disjoints d’un espace topologique
a
..
..
..
X alors π1  A ∪ B ≈ π1  A u π1  B
Comme mentionné à l’exemple 1 donné dans l’annexe algébrique 2, on
..
..  
..
..
π1  B ≈ π1  A u π1  B .
a : π1  A
*
D’autre part, dans ce cas N = ∅ et, par suite, [N] est réduit aux
a
..
..  
π1  B . D’où le résultat.
unités de π1  A
*
Exemple 2.1.4 (retour sur la proposition 1.19)
Reprenons l’exemple. évoqué dans la
figure ci-contre. Soient V et W ces
deux étoiles ouvertes du plan.
π  V ∪ W  ≈
1
(Z +).
La démonstration repose sur les trois faits d’ordre topologique suivants :
(1)
V et W étant connexes par arcs, puisque V ∩ W est non vide,
V ∪ W est connexe par arcs.
(2)
Les étoiles V et W sont évidemment étoilées, donc simplement
connexes.
32
(3)
Recollements d’espaces topologiques.
V ∩ W comporte deux composantes connexes (par arcs). qui sont
toutes deux simplement connexes.
On prie le lecteur de noter que le reste de la démonstration est, grâce au
théorème précédent, de nature strictement algébrique.
D’après la proposition 1.14 , le fait (1) entraîne qu’il est licite
d’employer la notation π  V ∪ W  .
1
D’après les propositions 1.18 et 1.17, le fait (2) entraîne que les groua
..
..
poïdes π1 (V) et π1 (W) sont banals, c'est à dire respectivement isoa
morphes à V × V et à W × W. L’exemple 2 donné dans l’annexe algébria
..
..
que 2 fournit la description de π1 (V) * π1 (W).
..
..
Rappelons que π1 (V) * π1 (W) s’identifie à l’ensemble qui contient, d’une
part les couples de la forme (x, x), x ∈ V ∪ W, qui sont les unités de ce
a
groupoïde et d’autre part les éléments  (x , y ), … , (x , y )  du grou1 1
p p
poïde (V × V)
(W × W) dont les termes appartiennent alternativement à
(V × V) et à (W × W) et qui ne comportent aucune unité. Insistons sur le
..
..
fait que pour tout élément  (x , y ), … , (x , y )  de π1 (V) * π1 (W) avec
1 1
p p
p ≥ 2 pour tout indice i , 1 ≤ i ≤ p-1, y et x
sont des éléments de
i
i+1
V u W dont l’un est censé appartenir à V et l’autre à W, mais qui correspondent au même élément de V ∩ W.
Notons C et C
1
2
a
a
les deux composantes connexes de V ∩ W et choisis-
sons arbitrairement un point z
1
de C
1
et un point z
2
de C .
2
Puisque V ∪ W est connexe par arcs, il est licite de considérer π (V ∪ W)
1
..
comme le groupe d’isotropie de π1 (V ∪ W) au point z .
1
D’après le théorème de Van Kampen, on a :
..
..
..
π1 (V ∪ W) ≈ π1 (V) * π1 (W )
.
[N ]
a
Après avoir remarqué que, d’après l’exemple 1 ci-dessus, on a :
a
..
π1 (V ∩ W) ≈  C × C  u  C × C  ,
1
1
2
2
il est facile de vérifier que, dans ce cas, la relation d’équivalence engendrée par N coïncide avec la relation d’équivalence engendrée sur le
Topologie algébrique
..
groupoïde π1 (V)
comme suit.
*
33
..
a
π1(W) par la relation R définie sur (V × V) u (W × W)
a
(x , y ) R (x , y ) ‹fi
1
1
2
2





Ces deux couples correspondent au même
C ×
 1
élément de
C  u  C × C 
1
2
2
a
Lemme
π  V ∪ W, z  est isomorphe au sous-groupe Η du groupe
1
1
..
..
d’isotropie de π1(V) * π1(W) en z dont les éléments sont en1
gendrés par les quatre éléments suivants de (V × V) u (W × W) :
a
z
 1
, z  ;
2 V
z
 1
, z  ;
2 W
z
 2
, z  ;
1 V
z
 2
, z  .
1 W
De plus H est isomorphe à (Z, +).
Remarquons que les éléments de H distincts de l’unité  z , z  ne
1
1
peuvent prendre que deux formes :
a
ou bien
z , z 
z , z 
z , z 
 z , z  …..  z , z 
z , z 
 1 2 V  2 1 W  1 2 V  2 1 W
 1 2 V  2 1 W
p fois
z ,
 1
z 
z ,
2 V  2
z 
1 W
ou bien  z , z   z , z   z , z   z , z  ,…..  z , z   z , z 
1 2 W 2 1 V
1 2 W
2 1 V
1 2 W 2 1 V
p fois  z , z 
1
z ,
2 W 2
z 
1 V
Notons le premier élément ϕ(p) et le second ϕ(-p).
On laisse au lecteur le soin de montrer que l’application ϕ ainsi définie est un isomorphisme de groupes de Z sur H.
Un élément de H n’est congru qu’à lui-même modulo [N] .
Supposons en effet que deux éléments distincts ϕ(p) et ϕ(q) de H
sont congrus modulo [N] . Leur « quotient », ϕ (p) ϕ(q) = ϕ(p-q) de-1
vrait donc appartentr à [N] et, par suite, comprendre des termes
appartenant à  C × C  u  C × C  distinct des unités.
1
1
2
2
impossible, par définition de H. a
y
Ceci est
34
Recollements d’espaces topologiques.
..
Tout élément du groupe d’isotropie de π1 (V)
congru à un élément de H modulo [N] .
Soit par exemple
z , y  y ,
 1
2 V  2
y 
3 W
..
π1 (W) en z
*
est
1
a
…..  y
p-1
, z 
1 U
un tel élé-
ment. Le U du dernier couple désigne V ou W selon que p est
pair ou impair.
Traitons tout d‘abord les deux premiers couples :  z , y 
y , y  .
v  2 3 W
appartient à C ou à C .
1
Deux cas se présentent selon que y
z ,
 1
y ∈C
2
1
y 
y ,
2 V  2
y 
3 W
=
2
z ,
 1
2
1
y , z 
z ,
2 V  2
1 W  1
y 
2
y 
3 W
.
≡  z , y   y , z   z , y   [N] 
1
2 V
2
1 V
1
3 W
=  z , y 
1
3 W
y ∈C
2
2
z ,
 1
y 
y ,
2 V  2
y 
3 W
=  z , z   z , y   y , y 
1
2 V
2
2 V
2
3 W
≡  z , z   z , y   y , y   [Ν] 
1
2 V
2
2 W
2
3 W
=  z , z   z , y 
1
2 V
2
3 W
On constate que, modulo [N] , on peut remplacer le y
2
l’élément
z , y  y ,
 1
2 V  2
y 
3 W
…..
y
,
 p-1
z 
1 V
par z
1
dans
ou z . Il est
2
facile de vérifier qu’il en est de même pour tous les autres y .
i
La conclusion de la démonstration est immédiate.
Exemple 2.1.5 (Retour au cercle)
On peut retrouver le résultat 1.24 par une démarche analogue à celle de l’exemple précédent.
On utilise un recouvrement de S
1
par deux arcs
ouverts qui se chevauchent, comme dans la figure ci-contre. Ces deux ouverts et leur intersection ont les mêmes propriétés topologiques que
leurs homologues de l’exemple précédent.
Topologie algébrique
35
2.2 Le théorème de Van Kampen pour les groupes
Soit X un espace topologique muni d’un recouvrement
a
{ Va} a∈A
par
des ouverts connexes par arcs. le théorème 2.1.2 fournit une description
a
de
..
..
..
π1 (X) à l’aide des π1  V  , En théorie, le groupoïde π1(X) comporte toute
a
l’information relative aux divers groupes π  X, x  , x décrivant X,
1
En fait, le lecteur attentif aura remarqué que même dans le cas très simple de 2.1.4, le calcul des groupes fondamentaux n’est pas immédiat.
Le théorème de Van Kampen pour les groupes permet, moyennant une
hypothèse supplémentaire à propos du recouvrement, de calculer directement le groupe fondamental.
Définition
Soit X un espace topologique.
a
On appellera recouvrement de Van Kampen au sens large de X un
recouvrement ouvert
{ Va } a∈A
a
de X tel que :
- Pour tout élément a de A, V
-
IV
a ∈A
a
a
soit connexe par arcs.
≠ ∅.
- Pour tout élément (a, b) de A × A, V ∩ V
a
b
soit connexe par arcs.
On appellera recouvrement de Van Kampen de X un recouvrement
de Van Kampen au sens large
{ Va } a∈A
a
de X qui de plus vérifie :
- Pour tout élément (a, b, c) de A × A × A, V ∩ V ∩ V
a
par arcs.
b
c
est connexe
a
Notations
Soit X un espace topologique muni d’un recouvrement de Van Kampen
a
au sens large
{ Va } a∈A.
On montre facilement que X est connexe par arcs.
36
Recollements d’espaces topologiques.
Par hypothèse, il existe un point x
0
de X qui appartient à tous les ou-
verts du recouvrement. Tous les espaces topologiques que nous utilisea
rons seront connexes par arcs et contiendront x .
0
Il est donc licite de convenir que tous les calculs de groupes fondamentaux et de morphismes de groupes se feront en prenant le point x
0
base.
a
pour
S
On utilise les mêmes symboles que dans la section précédente consacrée
aux groupoïdes, Le lecteur est donc invité à la vigilance.
Pour tout élément a de A, on notera j
a
le morphisme de groupes de
π  V  vers π  X  image par le foncteur de Poincaré en x de l’in1
a
1
0
clusion j : V i X. Rappelons que, pour tout lacet λ de V , j
a
a
transforme la classe ⟨⟨λ⟩⟩ de λ dans V
On notera
*
a∈A
l’inclusion de
a
a
a
en la classe ⟨λ⟩ de λ dans X.
π  V  le produit libre des groupes π  V  et φ
1
a
1
a
a
π  V  dans
1
a
π  V  ,
1
a
*
a∈A
On notera J le morphisme de groupes de
induit par la famille
{ ja } a∈A.
*
a∈A
π  V  vers π  X 
1
a
1
Jφ
Rappelons que : ∀ a ∈ A,
a
= j .
a
Considérons maintenant un couple (a, b) d’éléments de A. On notera
a
le morphisme de groupes de π  V ∩ V  vers π  V  , image par
ab
1
a
b
1
b
le foncteur de Poincaré en x de l’inclusion i : V ∩ V i V .
i
0
Il est facile de vérifier que j i
b ab
ab
et j i
ge par le foncteur de Poincaré en x
a ba
0
a
b
b
sont tous deux égaux à l’ima-
de l’inclusion V ∩ V i X et
a
b
-1
donc que, pour tout élément ⟨λ⟩ de π  V ∩ V  , φ i (⟨λ⟩) • φ i (⟨λ⟩ )
1
a
b
a ba
b ab
appartient au noyau de J.
Topologie algébrique
37
Proposition 2.2.1
Soit X un espace topologique muni d’un recouvrement de Van
a
{ Va } a∈A.
Kampen au sens large
Alors, avec les notations introduites ci-dessus, J est surjectif.
Soit ⟨λ⟩ un élément de π  X  .
1
En utilisant le même procédé topologique que dans la proposition 1.19
a
on décompose le lacet λ en une succession λ = γ • γ • ... • γ
1
2
chemins de X tels que, pour tout i, 1 ≤ i ≤ p, le chemin γ
tenu dans un V
a
b
soit x
i
la fin de γ
i
i
Dans la décomposition
i
µ
p
-1
entre γ et γ
i
:= η
p-1
-1
soit con-
i
(et le début de γ
i+1
). Tous
étant par hypothèse connexes par arcs, il existe, pour
tout i, 1 ≤ i ≤ p-1, un chemin η de V
η •η
de
.
a(i)
Pour tout i, 1 ≤ i ≤ p,
les V ∩ V
p
(
•γ
p
(+1
γ • γ • ... • γ
1
2
a((+1)
qui relie x à x .
i
0
de λ, on peut alors intercaler
p
et pour 2 ≤ i ≤ p-1, µ
2
∩ V
. Si bien qu’en posant : µ : = γ • η ,
un lacet µ = µ • µ • ... • µ
1
a(i)
p
i
1
-1
•γ
i-1
i
:= η
1
1
• η , on obtient
ι
formé de la succession des lacets  µ 
dont chacun est contenu dans V
a(i)
et tel que : ⟨λ⟩ = ⟨µ⟩.
 i  1≤ i ≤ p
On voit alors facilement que ⟨µ⟩ = J  ⟨⟨µ ⟩⟩ ∗ ⟨⟨µ ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨µ ⟩⟩  , ce
1
2
p
qui achève la démonstration.
a
Dans l’exemple ci-contre, on a
évoqué le cas de trois ouverts du
plan que l’on a dessiné en blanc.
Les chemins intercalaires
η 
 i 
sont au nombre de deux et sont
dessinés en lignes droites. On a
doublé ces dernières pour rappeler que les chemins qu’elles représentent
sont parcourus dans les deux sens.
Considérons le sous-ensemble N de
*
a∈A
π  V  défini par :
1
a
38
N :=
Recollements d’espaces topologiques.
{φ i
-1
a ba
(⟨λ⟩) • φ i (⟨λ⟩ )  (a, b) ∈ A × A,
b ab
}
⟨λ⟩ ∈ π  V ∩ V  .
1
a
b
On a remarqué, en introduisant les notations, que N est contenu dans
le noyau de J.
Proposition 2.2.2 (théorème de Van Kampen)
Soit X un espace topologique muni d’un recoua
{ Va } a∈A.
vrement de Van Kampen au sens strict
Alors le noyau de J coïncide avec le sous-groupe
distingué de
*
a∈A
π  V  engendré par N.
1
a
Notons [N] le sous-groupe distingué de
π  V  engendré par N.
1
a
*
a∈A
On sait déjà que : [N] ⊂ Ker J. On va montrer que : KerJ [N] = 0.
Donnons-nous un élément ω = ⟨⟨µ ⟩⟩ ∗ ⟨⟨µ ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨µ ⟩⟩ du noyau de J.
1
2
p
La donnée de ω équivaut à celle d’un lacet µ = µ • µ • ... • µ
µ 
 i 1≤ i ≤ p
la succession des lacets
certain V
a(i)
1
2
p
formé de
dont chacun est contenu dans un
⟨µ⟩ = ⟨µ ⟩ • ⟨µ ⟩ • ... • ⟨µ ⟩ = ⟨ο⟩.
; de plus :
1
2
p
Soit donc Λ : I × I f X une application qui met en relation µ avec
a
le lacet constant ο : t d x .
0
L’idée de la démonstration est de construire, à partir de Λ, une suite
 j
d’éléments de
π  V  telle que :
ω 
1
a
1≤ j≤ q
*
a∈A
1
ω
et :
q
≡ ω ( [N] ) ; ω = ο
j+1
∀ j, 1 ≤ j ≤ q-1, ω
j
≡ ω ( [N] )
(1)
Première étape
La première étape consiste à décomposer Λ, considérée comme un chea
min de l’espace topologique des lacets de X d’extrémité x , en une suc0
cession de tels chemins dont les bornes consécutives (qui sont, rappelons-le, des lacets de X) ne différent entre elles que par une déforma-
a
a
tion dans l’un des V .
a
Par une construction topologique analogue à celle utilisée dans la propoa
Topologie algébrique
39
sition 1.19, on exhibe deux subdivisions 0 = s
et 0 = t
< t <…< t
0
1
du rectangle R
tain V
.
j −1
< s <…< s
1
m
=1
= 1 de l’intervalle I telles que l’image par Λ
, sj
] × [t
k −1
, t
k
]
soit contenue dans un cer-
Quitte à la raffiner, on peut de plus supposer que la sub-
b(j, k)
division
[s
:=
jk
n
0
est plus fine que celle qui sert à décomposer µ en
s 
 j 1≤ j≤ m
µ • µ • ... • µ ,
Autrement dit : on peut identifier la restriction de µ à un
intervalle
, sj
1
2
p
[s
j −1
] avec la restriction d’un certain µ
i
à ce même inter-
valle. On a ainsi obtenu un « découpage » du pavé I × I suivant les reca
tangles R . Dans la figure, on a représenté le cas où m = 5 et n = 4.
jk
L’idée est de choisir pour étapes successives de la décomposition de Λ
les lacets formés de la composition de Λ et des différentes successions
des côtés (verticaux ou horizontaux) consécutifs des rectangles R .
a
jk
1=t
4
R
t
R
42
On en a représenté deux en
43
pointillés dans la figure 1 ci-
3
contre.
t
Pour des raisons qui apparai-
2
t
R
1
0=s
0
R
11
s
tront bientôt, on tire parti de
la continuité de Λ pour défors = 1 mer légèrement le découpage
5
12
s
1
2
s
s
3
4
précédent en déplaçant les côtés verticaux de certains des rectangles R
telle sorte que :
jk
dans au plus trois R
b) Chacun des R
-1
R
42
R
43
a
a) Un point de I × I soit contenu
Λ
a
de
jk
jk
Q
;
soit contenu dans
R
11
R
12
V
.
 b(j, k) 
La figure 2 ci-dessus à droite illustre une déformation de ce genre appliquée au cas évoqué précédemment.
Précisons l’expression « certains des rectangles » utilisée plus haut. On
a
laisse inchangés les rectangles de la rangée horizontale du bas, c'est à
a
40
Recollements d’espaces topologiques.
{ R1k ; 1 ≤ k ≤ m } , puis on déforme les rectangles intérieurs des
dire les
rangées paires.
a
jk
Soit, pour tout couple d’indices (j, k) différents de zéro, η
a
le lacet de
X qui résulte de la composition de Λ avec le chemin de I × I de source
a
(0, t ) et de but (1, t
j
j-1
) qui emprunte successivement les côtés hori-
zontaux supérieurs des rectangles R , R
j1
j2
.…, R , puis le côté vertical
jk
droit de ce dernier rectangle puis les côtés horizontaux inférieurs des
rectangles R
j k+1
j0
,.…, R
a
.
jm
Soit encore η la composition de Λ avec le chemin de I × I de source
a
(0, t ) et de but (1, t
j
j-1
gauche de R
j1
) qui emprunte successivement le côté vertical
puis les côtés horizontaux inférieurs des rectangles
43
R ,.…, R
η
η
j1
R
42
42
R
.
jm
La figure 3 ci-contre illustre ces
43
définitions lorsqu’on les applique
au cas évoqué précédemment.
η
η
20
15
Pour chaque couple d’indices
(j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m, il est
R
11
R
jk
facile de vérifier que le lacet η
12
jk
jk
jk
se décompose en une succession γ 1 • γ 2 • …. • γ m +1 de m+1 chemins dont la description détaillée suit :
jk
1≤ι ≤k
γ i est le composé de Λ et du côté horizontal supérieur
du rectangle R .
(1 ≤ k = i-1)
γ
est le composé de Λ et du côté vertical droit du reck +1
tangle R .
ji
jk
jk
jk
k+2 ≤ ι ≤ m+1 γ i est le composé de Λ et du côté horizontal inférieur
du rectangle R
.
(0 = k = i-1)
j i-1
j0
γ 1 est le composé de Λ et du côté vertical gauche du
rectangle R .
j1
Seconde étape
Pour tout couple d’indices (j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m,
jk
jk
élément ω de
π  V  à chaque η .
1
a
*
a∈A
on va associer un
Topologie algébrique
41
Pour ce faire, on commence par dresser la liste de tous les sommets des
a
rectangles R . On appellera ces points des « sommets ». Grâce à la léjk
gère déformation que nous avons fait subir aux rectangles R , chacun
jk
de ces points est le sommet d’au plus trois rectangles. L’image d’un sommet par Λ appartient donc à l’intersection des trois ouverts du recouvrement qui correspondent à ces trois rectangles.
Le recouvrement étant un recouvrement de Van Kampen, on peut associer à chacun de ces sommets un chemin qui a pour source son image
par Λ, qui a pour but x
et qui est contenu dans l’intersection des
0
trois ouverts du recouvrement qu’on lui a associé un peu plus tôt.
Pour abréger on appellera par la suite ce chemin le « raccord » associé
au sommet.
et »
Si l’image d’un sommet par Λ est x , (comme, par
0
exemple, pour certains des sommets du bas du pavé) on lui associe le
a
lacet cons-tant pour raccord.
a
Pour tout triplet d’indices (i, j, k) , 1 ≤ i ≤ m+1, 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m soit
a(i, j, k) l’élément de Α tel que V
a
contienne le rectangle qui figu-
a(i, j, k)
jk
re dans la définition de γ i .
En encadrant γ
i
jk
avec l’inverse du raccord associé à sa source et le
a
raccord associé à son but, ces deux derniers chemins étant contenus
dans V
, on obtient un lacet µi
jk
a(i, j, k)
de V
a(i, j, k)
a
représentant
jk

l’élément ⟨⟨µi ⟩⟩ de π  V
1
a(i, j, k) 
jk
ω
On pose ensuite :
jk
jk
jk
:= ⟨⟨µ1 ⟩⟩ ∗ ⟨⟨µ 2 ⟩⟩ ∗ .,. ∗ ⟨⟨µm +1⟩⟩
On a ainsi obtenu une suite
 h
ω 
1 ≤ h ≤ (m+1)n
d’éléments de
On a utilisé le dénombrement (j, k) d (m+1)( j-1) + k+1.
a
I l nous faut maintenant montrer les relations (1).
*
a∈A
π  V  .
1
a
a
a
Compte tenu des diverses hypothèses et définitions, il est facile de véria
10
fier que les lacets qui composent ω
a
peuvent être regroupés par pa-
quets de façon à redonner ω = ⟨⟨µ ⟩⟩ ∗ ⟨⟨µ ⟩⟩ ∗ ... ∗ ⟨⟨µ ⟩⟩ . Il est tout aussi
1
nm
aisé de voir que : ω
= ⟨ο⟩.
2
p
42
Recollements d’espaces topologiques.
h+1
∀ h, 1 ≤ h ≤ q-1, ω
Il nous reste à montrer que :
h
≡ ω ( [N] )
jm
Il nous faut traiter deux cas : (i) ∀ j, 1 ≤ j ≤ n-1, ω
et (ii) ∀ (j, k), 1 ≤ j ≤ n, 0 ≤ k ≤ m-1,
jk
ω
j(k+1)
≡ ω
(j+1)0
≡ ω
( [N] )
( [N] ) (voir figure 3)
a
a
Traitons d’abord le second cas. Soit un couple d’indices (j, k), 1 ≤ j ≤ n,
jk
j(k+1)
0 ≤ k ≤ m-1. Ainsi que l’on peut le voir sur la figure 3, ω
e( ω
diffèrent que par les lacets associés aux côtés du rectangle R
k +1
R
avec les deux raccords as-
R
jk
.
j(k+1)
Posons b := a (j, k) et c := a (j, k+1). Considérons le lacet µ
rappelons-le, est obtenu en
jk
encadrant le chemin γ
ne
jk
k +1
γ
qui,
j (k +1)
k +1
j(k+1)
sociés à ses bornes.
jk
k +1
a
Par construction, µ
un lacet de V ∩ V
b
est
γ
tandis
c
que par définition, la classe de µ
de π  V  .
1
b
µ
jk
jk
k +1
jk
⟩⟩
k +1 b
γ
jk
γ
k +2
qui figure dans ω
cette dernière et ⟨⟨µ
j (k +1)
k +2
est un élément
jk
⟩⟩
k +1 c
la classe de
dans π  V  .
1
c
jk
k +1
Soit enfin ω̃
⟨⟨µ
Notons ⟨⟨µ
jk
k +1
jk
⟩⟩
k +1 b
jk
*
l’élément de
par ⟨⟨µ
jk
⟩⟩
k +1 c
a∈A
jk
π  V  obtenu en remplaçant
1
a
dans ω .
jk
Il est facile de vérifier que : ω
≡ ω̃
jk
( [N] ).
Il est tout aussi aisé de voir qu’il existe deux éléments α et β du groua
*
pe
a∈A
π  V  tels que, en notant respectivement ρ et ρ les rac1
a
1
2
cords associés aux sommets supérieur gauche et inférieur droit du reca
tangle R
ω̃
jk
j(k+1)
ω
j(k+1)
, on ait les égalités suivantes :
α∗ ρ
=
=
α∗ρ
Le rectangle R
1
j(k+1)
-1
1
-1
∗
jk
⟩⟩ ∗
k +1 c
j (k +1)
⟨⟨ γ
⟩⟩ ∗
k +1
c
∗ ⟨⟨ γ
jk
⟩⟩ ∗
k +2 c
j (k +1)
⟨⟨ γ
⟩⟩
k +2
c
⟨⟨ γ
ρ ∗β
2
∗ ρ ∗β
2
étant simplement connexe et l’application Λ étant
continue, on a : ⟨⟨ γ
jk
⟩⟩
k +1 c
∗ ⟨⟨ γ
jk
⟩⟩
k +2 c
=
⟨⟨ γ
j (k +1)
⟩⟩
k +1
c
∗ ⟨⟨ γ
j (k +1)
⟩⟩ .
k +2
c
Topologie algébrique
ω̃
D’où :
jk
= ω
43
j(k+1)
jk
et finalement : ω
j(k+1)
ω
≡
jm
Traitons le premier cas : ∀ j, 1 ≤ j ≤ n-1, ω
≡ ω
Les sommets inférieurs des rectangles R , R
j)
mets supérieurs des rectangles R
(j+1) )
(j+1) 2
subdivision de la ligne horizontale t = t
j
jm
ω
peut alors décomposer
j2
, R
( [N] ).
(j+1)0
,…,R
,…,R
a
( [N] ).
jm
(j+1)m
a
et les somforment une
de I × I. (voir figure 3) On
(j+1)0
et ω
*
tient ainsi deux éléments de
a∈A
suivant cette subdivision. On ob
π  V  qui sont composés des clas1
a
ses des mêmes lacets. Ils ne diffèrent que parce que les classes ne sont
a
pas calculées dans les mêmes voisinages. Ils sont donc équivalents modulo [N].
On notera que l’hypothèse selon laquelle
{ Va } a∈A est un recouvrement
a
de Van Kampen au sens strict sert à choisir les raccords de façon à poua
voir associer à chaque côté commun à deux des rectangles R
ij
un lacet
qui soit contenu dans l’intersection des membres du recouvrement assoa
ciés à ces rectangles.
a
Le lecteur est invité à comparer cette démonstration avec celle de 2.1.2.
2.3 Applications du théorème de Van Kampen
Exemple du début 2.3.1
Considérons l’espace topologique X constitué par le plan R
2
privé de deux points que nous appellerons « les trous de X ».
Alors : π (X) ≈ Z
1
* Z.#
a
V
1
V
1
2
comme le montre la fia
2
sont homéomorphes à R \
Il vient, d’après la proposition 1.26,
{V , V }
1
a
V et V
gure ci-contre. Comme ces derniers
2
trou
Il est facile de vérifier que
Décomposons X en deux ouverts
2
π  V  ≈
1
1
π  V  ≈
1
2
{(0, 0)},
Z. ;
constitue un recovrement de Van
Kampen au sens large de X. Puisqu’il est réduit à deux éléments, il est
44
Recollements d’espaces topologiques.
clair que c‘est aussi un recovrement de Van Kampen au sens strict.
D’autre part, comme on le voit sur la figure, V ∩ V
1
{0} ;
connexe. Dans ce cas, on a donc : N =
π (X) ≈
cédent,
1
π 
1
V 
1
π  V 
1
2
*
≈
Z
2
est simplement
a
d’après le théorème pré-
* Z.
Contre-exemple 2.3.2
3
{(x, y, z) ; z > 0}
}
{(x, y, z) ∈ X ; z < 12 } .
Soit X l’ouvert de R constiitué du demi-espace
{
privé du demi-cercle C :=
2
Soit Y l’ouvert de X défini par ; Y =
Soit φ : π (Y) f π (X)
1
π (X) ≈
Alors :
a
1
par le foncteur de Poincaré.
1
l’image de l’inclusion Y i X
a
π (Y) ≈
Z
2
(0, y, z) : y + z = 1 .
Z
1
φ : (i, j) d i – j
* Z#;
a) Calcul de π (X).
1
Notons X
1
de la droite
3
l’ouvert de R constitué du demi-espace
{ (0, y, 1) :
y∈R
}.
{(x, y, z) ; z > 0} privé
Soit l‘application f de R × R * vers lui-même
z
+
définie par :
y
2
2
f (y, z) =  y + z ctg ,

z
f (y, z)
y2 + z 2 

Ou, si l’on préfère, étant donné un point
(y, z)
de
y
a
R × R * , on définit f(M) comme
+
l’intersection de la droite paralléle à l’axe des
« z » et tangente au cercle centré en
contient
M
M
et de la droite qui passe par
O
et par
M.
O
qui
Il est facile de voir
qu’une construction géométrique « réciproque » permet de définir l’inverse de f. Puisque f et son inverse sont le fruit de constructions « à
la règle et au compas », elles sont toutes deux continues.
donc un homéomorphisme de X sur X .
1
D’après la proposition 1.22, π (X) ≈ π (X ).
1
1
1
a
1 × f induit
R
Topologie algébrique
45
est homéomorphe à R ×  R × R * \ (0, 1)  .
Donc, d’après les
+
propositions 1.23 et 1.26 , π (X) ≈ π (X ) ≈ Z.
X
1
1
1
1
b) Calcul de π (Y).
1
2
Rebaptisons Z l’espace topologique constitué par le plan R
privé de
deux points que nous avons évoqué à la proposition précédente.
] [
Il est facile de vérifier que Y est homéomorphe à Z × 0, 12 . Donc,
d’après les propositions 1.22, 1.23 et la proposition précédente, on a :
π (Y) ≈ Z
1
* Z.#
a
c) Calcul de φ.
{z
},
 0, 0. 1  et M et
4 

1
éléments de P ∩ C dans l’ordre des ordonnées croissantes.
Soient P le plan
1
4
=
le point
Soient les éléments ⟨λ⟩ et ⟨µ⟩
Y
Y
M
0
Y
2
les
a
de π (Y) = π (Y, M ) qui correspondent
1
1
0
respectivement aux éléments (1, 0) et (0, -1) de Z
sentants de ⟨λ⟩
M
est un lacet λ d’extrémité
M ,
0
* Z# .ccL’un des repré-
qui décrit une seule
fois le périmètre d’un cercle situé dans le
plan P, de centre
M
1
et ce, dans le sens direct.
des représentants de ⟨µ⟩
d’extrémité
M
a
M
0
et qui passe par
Y
a
De même l’un
est un lacet µ,
qui décrit une seule fois le
0a
périmètre d’un cercle situé dans le plan P,
a
de centre
M
et qui passe par
2
M
0
et ce,
dans le sens inverse. Dans la figure ci-dessus on peut voir λ et µ en
bleu respectivement en haut, à gauche et en bas, à droite.
Comme on a cherché à le suggérer dans la figure, les deux cercles bleus
horizontaux qui sont de sens opposés se transfornent l'un en l'autre en
pivotant autour de
M
0
a
tout en suivant C. On en déduit que λ et µ
ont la même classe dans π (X, M ), Puisque ⟨λ⟩
1
0
X
correspond à l’élément
1 de Z, on a : φ (0, -1) = φ (1, 0) = 1.
Le résultat provient alors du fait que φ est un morphisme de groupes.
46
Recollements d’espaces topologiques.
Exemple 2.3.3
Notons C le cercle horizontal de rayon 1 contenu dans R
3
centré à l’origine. Alors π  R \ C  ≈ Z.
1
Soient a, 0 < a < 1 et C
a
1
et C
2
3
et
les ouverts de C représentés ci-contre.
Posons :
U = R × ] -a, +∞ [ × R,
1
U
V
2
1
V
= R×
] -∞, a [
= U
\ C
1
= U
2
2
× R,
et
1
\ C .
2
Il est facile de vérifier
que V , V
1
et V
2
2
et leur intersection sont tous trois connexes par arcs.
V
a
1
sont donc les membres d’un recouvrement de Van Kampen au
a
3
sens strict de R \ C.
a) Calcul de π (V ) et de π (V ) .
1
1
1
2
Comme on tente de le figurer ci–contre, V
bre d’une partition de R × ] -a, +∞ [ ,
a
1
est un mem-
Par une construction analogue à
celle du a) de la proposition précédente, on peut donc montrer que V
est homéomorphe à R ×  ] -a, 1 [ ∪ ] 1, +∞ [  × R.
sitions 1.23 et 1.26 , π (V ) ≈ Z.
1
π (V
1
1
D’après les propo-
1
π (V ) ≈ Z.
On montrerait d’une façon analogue que :
b) Calcul de
1
1
2
∩ V ) et de N.
2
Comme au b) de la proposition précédente, il est facile de vérifier que V
a
∩ V est homéomorphe à Z × ] -a, α [ , d’où : π (V ∩ V ) ≈ Z
1
2
1
2
1
*
Z#.
De façon analogue au c) de la proposition précédente, on montre que les
a
a
morphismes φ : π (V ∩ V ) f π (V ) et φ : π (V ∩ V ) f π (V )
1
1
1
2
1
1
correspondent tous deux au morphisme
{
2
Z
*
1
1
2
Z# f Z
i*j d i - j
1
2
Topologie algébrique
47
Il est donc facile de vérifier que N correspond à
{ i * -i :
}
i∈Z ,
c) Conclusion
Un simple calcul algébrique montre que :
D’après 2.2.2 ,
3
π  R \ C 
1
≈ Z.
Z
* Z#
[N ] ≈ Z.