THÉORIE DES JEUX ET STRUCTURES TOPOLOGIQUES Sous sa

THÉORIE DES JEUX ET STRUCTURES TOPOLOGIQUES
CLAUDE BERGE
Sous sa forme extensive la plus générale, on peut assimiler un n-personnes
n
jeu, sur un espace abstrait X = YiXi} à une structure (au sens de Bourbaki),
i
composée:
1. de la règle T, qui est une application multivalente de X dans lui-même
(cf. notre Thèse);
2. de la préférence Ri de chaque joueur (i), qui est une relation de quasiordre dans X.
On aura un jeu topologique pour le joueur (i) si:
n
1. X = S Xi est la somme topologique d'espaces X€ topologiques.
i
2. r est une application continue de X dans lui-même.
3. Ri est une relation de quasi-ordre continue dans X.
On peut donc parler de jeux „topologiques" au même titre, par exemple,
que pour les groupes „topologiques".
Les jeux topologiques sont d'ailleurs extrêmement fréquents, si Ton songe
à tous les jeux, comme les jeux de poursuites, où Ton retient la notion intuitive
de positions „voisines".
Pour un jeu (r, Rlt i?2, . . ., Rn), topologique pour le joueur (i), nos principaux résultats sont les suivants:
1. L'ensemble des positions dans lesquells (i) peut garantir une position
strictement plus favorable que y est ouvert.
2. Le meilleur gain <pt(xQ) auquel (i) peut prétendre dans la position x0 est
représenté par une fonction réelle cpt semi-continue inférieurement sur X. Si la
durée du jeu est limitée, cpi est continue.
3. X étant un espace topologique uniforme, les „stratégies de (i)", qui sont
des opérateurs dans X, forment un espace S* topologique uniforme (au sens de
la topologie faible des opérateurs).
L'ensemble des bonnes stratégies de (i) est fermé dans 2*.
4. Si X est un espace localement compact, si l'ensemble Tx est fermé quel
que soit x, et si la durée du jeu est limitée, il existe pour (i) une bonne stratégie
effective.
D'autres théorèmes généraliseront très exactement des résultats connus
sur les jeux des stratégies composées (Von Neumann-Morgenstern), qui est un
jeu topologique — d'ailleurs trivial en ce qui concerne la règle.
8, RUE MATRAT, ISSY-LES-MOULINEAUX,
475
(F.).