les nombres complexes

LES NOMBRES COMPLEXES - résumé de cours
PCSI1
2016-2017
LES NOMBRES COMPLEXES
I - Le corps des nombres complexes : ℂ
Les nombres complexes sont les nombres s’écrivant 𝑥 + 𝑖𝑦, où 𝑥 et 𝑦 sont des réels (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ)
et 𝑖 une quantité vérifiant l’égalité 𝑖2 = −1 .
Cette écriture est unique sous cette forme : autrement dit, si 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥′ + 𝑖𝑦 ′ avec 𝑥, 𝑦, 𝑥′ , 𝑦 ′
réels, alors nécessairement 𝑥 = 𝑥′ et 𝑦 = 𝑦 ′ . Attention, on «n’identifie pas» si le caractère réel des
quantités n’est pas assuré : par exemple, −1 + 0.𝑖 = 0 + 𝑏.𝑖 est vrai pour 𝑏 = 𝑖 ∈
/ ℝ.
L’ensemble des nombres réels est noté ℂ = {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∣ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ}.
Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (avec 𝑥, 𝑦 réels), on note
𝑥 = Re(𝑧) et 𝑦 = Im(𝑧) (parties réelle et imaginaire du nombre complexe 𝑧).
Calculs dans ℂ : si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 et 𝑧 ′ = 𝑥′ + 𝑖𝑦 ′ alors
𝑧 + 𝑧 ′ = (𝑥 + 𝑥′ ) + 𝑖(𝑦 + 𝑦 ′ )
et
𝑧𝑧 ′ = (𝑥𝑥′ − 𝑦𝑦 ′ ) + 𝑖(𝑥𝑦 ′ + 𝑥′ 𝑦) .
Muni de ces lois, on dit que l’ensemble ℂ, muni des lois + et × est un corps. L’ensemble ℂ contient ℝ
(le corps des nombres réels) : un nombre réel est un nombre complexe (réciproque fausse en général,
bien entendu).
Parmi les complexes, les nombres de la forme 𝑦.𝑖 (avec 𝑦 réel) sont appelés des imaginaires purs.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 ), si 𝑀 est un point de coordonnées (𝑥, 𝑦),
−−→
on dit que 𝑧 = 𝑧𝑀 = 𝑥 + 𝑖𝑦 est l’affixe du point 𝑀 . Dans ce cas, la longueur 𝑂𝑀 = 𝑂𝑀 i.e la
√
−−→
norme du vecteur 𝑂𝑀 , vaut 𝑂𝑀 = 𝑥2 + 𝑦 2 . On a la même définition pour un vecteur ⃗𝑣 = 𝑥𝑒⃗1 +𝑦 𝑒⃗2
du plan. On note 𝑀 (𝑧) (ou ⃗𝑣 (𝑧)).
−→
→ = 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 , et sa norme
Remarque : l’affixe du vecteur 𝐴𝐵 est 𝑧−
𝐴𝐵
−→
𝐴𝐵 = ∣𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 ∣.
II - Module et conjugué d’un nombre complexe
Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (avec 𝑥, 𝑦 réels), alors on note
∙ 𝑧¯ = 𝑥 − 𝑖𝑦 : le conjugué du complexe 𝑧 (c’est un complexe).
√
∙ ∣𝑧∣ = 𝑥2 + 𝑦 2 : le module du nombre complexe 𝑧 (c’est un réel positif : ∣𝑧∣ ∈ ℝ+ ).
Remarque 1 : 𝑧 × 𝑧¯ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 2 : ainsi, ∣𝑧∣2 = 𝑧 𝑧¯ .
Remarque 2 :
𝑧 + 𝑧¯ = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 − 𝑖𝑦) = 2𝑥 = 2Re(𝑧) et 𝑧 − 𝑧¯ = (𝑥 + 𝑖𝑦) − (𝑥 − 𝑖𝑦) = 2𝑖𝑦 = 2𝑖Im(𝑧) .
On en tire les caractérisations suivantes : si 𝑧 est un nombre complexe, alors
(𝑧 est un réel)⇔ (Im(𝑧) = 0)⇔ (𝑧 − 𝑧¯ = 0) ⇔ (¯
𝑧 = 𝑧)
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et
(𝑧 est un imaginaire pur)⇔ (Re(𝑧) = 0)⇔ (𝑧 + 𝑧¯ = 0) ⇔ (¯
𝑧 = −𝑧)
∙ Si Ω est un point d’affixe 𝜔, et 𝑟 un réel strictement positif, alors l’ensemble des points 𝑀 (𝑧)
−−→
tels que ∣𝑧 − 𝜔∣ = 𝑟 (i.e Ω𝑀 = Ω𝑀 = 𝑟)est le cercle de centre Ω, rayon 𝑟 (on obtient le
disque correspondant avec ∣𝑧 − 𝜔∣ ⩽ 𝑟).
Propriétés : pour (𝑧, 𝑧 ′ ) ∈ ℂ2 , on a
∙ (𝑧 = 0) ⇔ (Re(𝑧) = Im(𝑧) = 0) ⇔ (∣𝑧∣ = 0)
∙ ∣𝑧∣ = ∣¯
𝑧∣
∙ 𝑧 + 𝑧 ′ = 𝑧¯ + 𝑧¯′ ,
𝑧 × 𝑧 ′ = 𝑧¯ × 𝑧¯′
∙ ∣𝑧 × 𝑧 ′ ∣ = ∣𝑧∣ × ∣𝑧 ′ ∣
𝑧¯
𝑧¯
1
= 2
∙ si 𝑧 ∕= 0, alors =
𝑧
𝑧 𝑧¯ ∣𝑧∣
∙ ATTENTION : l’égalité ∣𝑧 + 𝑧 ′ ∣ = ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ′ ∣ est FAUSSE en général.
III - L’inégalité triangulaire et ses conséquences
Pour tout (𝑧, 𝑧 ′ ) ∈ ℂ2 , on a l’inégalité
∣𝑧 + 𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ′ ∣
La preuve sera faite en cours. Elle utilise notamment les résultats simples suivants :
∙ Si 𝑎 et 𝑏 sont des réels positifs, alors on a l’équivalence (𝑎 ⩽ 𝑏) ⇔ (𝑎2 ⩽ 𝑏2 ).
∙ Si 𝑧 est un nombre complexe, on a : Re(𝑧) ⩽ ∣Re(𝑧)∣ ⩽ ∣𝑧∣.
Conséquences de l’inégalité triangulaire : pour tout (𝑧, 𝑧 ′ ) ∈ ℂ2 , on a
∙ ∣𝑧∣ − ∣𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧 + 𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ′ ∣
∙ ∣𝑧∣ − ∣𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧 − 𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ′ ∣
∙ d’où ∣ ∣𝑧∣ − ∣𝑧 ′ ∣ ∣ ⩽ ∣𝑧 ± 𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ′ ∣
∙ pour tout 𝜔 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧 ′ ∣ ⩽ ∣𝑧 − 𝜔∣ + ∣𝑧 ′ − 𝜔∣
∙ pour tout entier 𝑛 ⩾ 2 pour tous 𝑧1 , 𝑧2 , . . . , 𝑧𝑛 dans ℂ : ∣𝑧1 +𝑧2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑧𝑛 ∣ ⩽ ∣𝑧1 ∣+∣𝑧2 ∣+⋅ ⋅ ⋅+∣𝑧𝑛 ∣.
Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire : pour tout (𝑧, 𝑧 ′ ) ∈ ℂ2 , on a
(
)
𝑧′
′
′
′
(∣𝑧 + 𝑧 ∣ = ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ∣) ⇔ 𝑧 = 0 ou 𝑧 = 0 ou
est un réel positif
𝑧
(∣𝑧 + 𝑧 ′ ∣ = ∣𝑧∣ + ∣𝑧 ′ ∣) ⇔ (𝑧 = 0 ou 𝑧 ′ = 0 ou arg(𝑧) = arg(𝑧 ′ )[2𝜋]) .
Le cas d’égalité correspond donc au cas où, soit l’un des vecteurs ⃗𝑣 (𝑧) ou 𝑣⃗′ (𝑧 ′ ) est nul, soit ces deux
On a aussi :
vecteurs sont colinéaires et de même sens.
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IV - Une formule TRES importante (somme des termes d’une suite géométrique)
Si 𝑞 est une constante complexe, et 𝑛 un entier naturel, alors
⎧
 𝑛+1
𝑛
⎨
∑
𝑘
2
3
𝑛
𝑞 = 1 + 𝑞 + 𝑞 + 𝑞 + ⋅⋅⋅ + 𝑞 =
1 − 𝑞 𝑛+1

⎩
𝑘=0
1−𝑞
si
𝑞=1
si
𝑞 ∕= 1
V - Une autre formule importante (formule du binôme de Newton)
Factorielle d’un entier naturel :
∙ 0! = 1 (convention)
∙ si 𝑛 ⩾ 1 : 𝑛! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑛 =
𝑛
∏
𝑘
𝑘=1
∙ Propriété : (𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1) × 𝑛! d’où
( )
𝑛
Coefficient binomial
, «𝑘 parmi 𝑛» :
𝑘
∙
∙
∙
∙
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)!
= 𝑛 + 1 . De même :
= 𝑛! .
𝑛!
𝑛+1
( )
𝑛
𝑛!
Pour des entiers vérifiant 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 , on pose
=
.
𝑘
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
Il représente le nombre de façons de choisir 𝑘 éléments dans un ensemble à 𝑛 éléments.
( )
𝑛
=0.
Remarque : par convention, si 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 n’est pas vérifié, on pose
𝑘
( ) (
)
( )
(
)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛 𝑛−1
Propriétés :
=
et
=
(si 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛).
𝑘
𝑛−𝑘
𝑘
𝑘 𝑘−1
( )
( ) ( )
( )
( )
𝑛
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛(𝑛 − 1)
,
=
.
=
= 1,
= 𝑛,
=
3
0
𝑛
1
2
2.1
3.2.1
( )
𝑛−𝑘+2 𝑛−𝑘+1
𝑛
𝑛 𝑛−1 𝑛−2
Formule générale :
= ×
×
× ⋅⋅⋅ ×
×
.
𝑘
𝑘 𝑘−1 𝑘−2
2
1
( )
17
17 16 15
Exemples :
=
×
× .
3
3
2
1
( ) (
) (
)
𝑛
𝑛
𝑛+1
si 0 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1 :
+
=
(«formule de Pascal»).
𝑘
𝑘+1
𝑘+1
1
1 1
1 2
1
On en déduit la construction du triangle de Pascal : 1 3
3
1
1 4
6
4
1
1 5 10 10
5
, etc....
1
1 6 15 20 15 6 1
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∙ « Formule du binôme de Newton ».
Si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres complexes, et 𝑛 un entier naturel, alors :
( )
( )
( )
(
)
( )
𝑛 ( )
∑
𝑛 𝑘 𝑛−𝑘
𝑛 𝑛
𝑛
𝑛 2 𝑛−2
𝑛
𝑛 𝑛
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
(𝑎 + 𝑏) =
𝑎 𝑏
=
𝑏 +
𝑎𝑏
+
𝑎𝑏
+ ⋅⋅⋅ +
𝑎 𝑏+
𝑎
𝑘
0
1
2
𝑛−1
𝑛
𝑘=0
𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑛−2
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2 2
𝑎𝑏
+ ⋅⋅⋅ +
𝑎 𝑏 + 𝑛𝑎𝑛−1 𝑏 + 𝑎𝑛 .
2
2
Remarque : 𝑎 et 𝑏 jouant des rôles symétriques dans l’expression (𝑎 + 𝑏)𝑛 , on a également la
𝑛 ( )
∑
𝑛 𝑛−𝑘 𝑘
𝑛
𝑎 𝑏 .
formule : (𝑎 + 𝑏) =
𝑘
𝑘=0
i.e (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑏𝑛 + 𝑛𝑎𝑏𝑛−1 +
Quelques exemples : (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ,
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 ,
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 ,
(𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏2 + 10𝑎2 𝑏3 + 5𝑎𝑏4 + 𝑏5 ,
(𝑎 + 𝑏)6 = 𝑎6 + 6𝑎5 𝑏 + 15𝑎4 𝑏2 + 20𝑎3 𝑏3 + 15𝑎2 𝑏4 + 6𝑎𝑏5 + 𝑏6 ,
(𝑎 + 𝑏)7 = 𝑎7 + 7𝑎6 𝑏 + 21𝑎5 𝑏2 + 35𝑎4 𝑏3 + 35𝑎3 𝑏4 + 21𝑎2 𝑏5 + 7𝑎𝑏6 + 𝑏7 ...
Remarque : en remplaçant 𝑏 par −𝑏 dans cette dernière formule, on récupère :
𝑛 ( )
∑
𝑛
𝑛
(𝑎 − 𝑏) =
(−1)𝑘 𝑎𝑛−𝑘 𝑏𝑘
i.e
𝑘
𝑘=0
(𝑎−𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 −𝑛𝑎𝑛−1 𝑏+
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2 2
𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑛−2
𝑎 𝑏 +⋅ ⋅ ⋅+(−1)𝑛−2
𝑎 𝑏 +(−1)𝑛−1 𝑛𝑎𝑏𝑛−1 +(−1)𝑛 𝑏𝑛 .
2
2
Exemples :
(𝑎 − 𝑏)4 = 𝑎4 − 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏2 − 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 , (𝑎 − 𝑏)5 = 𝑎5 − 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏2 − 10𝑎2 𝑏3 + 5𝑎𝑏4 − 𝑏5 .
∙ Un cas particulier :
𝑛
(1 + 𝑧) =
𝑛 ( )
∑
𝑛
𝑘=0
( ) ( )
( )
(
)
( )
𝑛
𝑛
𝑛 2
𝑛
𝑛 𝑛
𝑛−1
𝑧 =
+
𝑧+
𝑧 + ⋅⋅⋅ +
𝑧
+
𝑧
𝑘
0
1
2
𝑛−1
𝑛
𝑘
i.e
𝑛(𝑛 − 1) 2
𝑧 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑛𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛 .
2
Exemples : (1 + 𝑧)4 = 1 + 4𝑧 + 6𝑧 2 + 4𝑧 3 + 𝑧 4 , (1 + 𝑧)5 = 1 + 5𝑧 + 10𝑧 2 + 10𝑧 3 + 5𝑧 4 + 𝑧 5 .
(1 + 𝑧)𝑛 = 1 + 𝑛𝑧 +
VI - Paramétrage du cercle trigonométrique
∙ 𝕌 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ∣𝑧∣ = 1} = ensemble des nombres complexes de module 1.
∙ (𝑧 ∈ 𝕌) ⇔ (il existe 𝑡 ∈ ℝ tel que 𝑧 = cos(𝑡) + 𝑖 sin(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡 ).
Remarque : (𝑧 ∈ 𝕌) ⇔ (𝑧 𝑧¯ = ∣𝑧∣2 = 1 i.e 𝑧¯ = 𝑧1 ).
∙ Propriété : pour 𝑡 et 𝑡′ réels, on a 𝑒𝑖𝑡 = 𝑒−𝑖𝑡 =
1
,
𝑒𝑖𝑡
′
′
et 𝑒𝑖(𝑡+𝑡 ) = 𝑒𝑖𝑡 × 𝑒𝑖𝑡 .
D’où l’on déduit les formules :
♥ cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin(𝑏) et cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏)
♥ sin(𝑎 + 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑏) cos(𝑎) et sin(𝑎 − 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑏) cos(𝑎)
♥ cos(2𝑥) = cos2 (𝑥) − sin2 (𝑥) = 2 cos2 (𝑥) − 1 et sin(2𝑥) = 2 sin(𝑥) cos(𝑥)
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( )
( )
1
(cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)) d’où cos(𝑝) + cos(𝑞) = 2 cos 𝑝+𝑞
cos 𝑝−𝑞
.
2
2
2
( )
( )
1
sin(𝑎) sin(𝑏) = − (cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)) d’où cos(𝑝) − cos(𝑞) = −2 sin 𝑝+𝑞
sin 𝑝−𝑞
.
2
2
2
( )
( 𝑝−𝑞 )
1
cos
.
sin(𝑎) cos(𝑏) = (sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)) d’où sin(𝑝) + sin(𝑞) = 2 sin 𝑝+𝑞
2
2
2
( )
( )
1
cos(𝑎) sin(𝑏) = (sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏)) d’où sin(𝑝) − sin(𝑞) = 2 cos 𝑝+𝑞
sin 𝑝−𝑞
.
2
2
2
𝜋
sin(𝑥)
pour 𝑥 ∕= ± [2𝜋], on a
En définissant tan(𝑥) =
cos(𝑥)
2
tan(𝑎) + tan(𝑏)
tan(𝑎) − tan(𝑏)
2 tan(𝑥)
tan(𝑎 + 𝑏) =
, tan(𝑎 − 𝑏) =
, tan(2𝑥) =
.
1 − tan(𝑎) tan(𝑏)
1 + tan(𝑎) tan(𝑏)
1 − tan2 (𝑥)
♥ cos(𝑎) cos(𝑏) =
♥
♥
♥
♥
𝑒𝑖𝑡 + 𝑒−𝑖𝑡
𝑒𝑖𝑡 − 𝑒−𝑖𝑡
et sin(𝑡) =
.
2
2𝑖
1
Application : linéarisation. Exemple : cos3 (𝑡) = (cos(3𝑡) + 3 cos(𝑡)).
4
∙ Factorisation d’une somme de deux complexes de module 1
(
)
(
)
𝑎 − 𝑏 𝑖 𝑎+𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑖 𝑎+𝑏
𝑖𝑎
𝑖𝑏
𝑖𝑎
𝑖𝑏
2
𝑒 + 𝑒 = 2 cos
𝑒
et 𝑒 − 𝑒 = 2𝑖 sin
𝑒 2
2
2
( )
( )
𝑡
𝑡
𝑡
𝑖 2𝑡
𝑖𝑡
𝑖𝑡
D’où l’on tire : 1 + 𝑒 = 2 cos
𝑒
𝑒𝑖 2 .
et
1 − 𝑒 = −2𝑖 sin
2
2
∙ Formules d’Euler : cos(𝑡) =
Puis 1 + cos(𝑡) = 2 cos2 ( 2𝑡 ) et 1 − cos(𝑡) = 2 sin2 ( 2𝑡 ) .
∙ Formules de Moivre : pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ et 𝑡 réel,
(cos(𝑡) + 𝑖 sin(𝑡))𝑛 = cos(𝑛𝑡) + 𝑖 sin(𝑛𝑡) , i.e
( 𝑖𝑡 )𝑛
𝑒
= 𝑒𝑖𝑛𝑡 !
Application (avec 𝑛 = 3) : cos(3𝑡) = 4 cos3 (𝑡) − 3 cos(𝑡) et sin(3𝑡) = 3 sin(𝑡) − 4 sin3 (𝑡).
1
Rappel : pour tout réel 𝑡, 𝑖𝑡 = 𝑒−𝑖𝑡 = 𝑒𝑖𝑡 .
𝑒
∙ Formules qu’il faut savoir retrouver : pour 𝑡 réel et 𝑛 ∈ ℕ,
⎧

si 𝑡 = 0[2𝜋]
𝑛
⎨ 𝑛 +(1
∑
)
𝑛+1
cos(𝑘𝑡) = 1 + cos(𝑡) + ⋅ ⋅ ⋅ + cos(𝑛𝑡) =
( 𝑛𝑡 )
sin 2 𝑡

(
)
cos
si 𝑡 ∕= 0[2𝜋]
⎩
𝑘=0
2
sin 2𝑡
⎧

si 𝑡 = 0[2𝜋]
𝑛
⎨ 0 (
∑
)
𝑛+1
sin(𝑘𝑡) = sin(𝑡) + sin(2𝑡) + ⋅ ⋅ ⋅ + sin(𝑛𝑡) =
(
)
sin 2 𝑡

( ) sin 𝑛𝑡
si 𝑡 ∕= 0[2𝜋]
⎩
𝑘=1
2
sin 2𝑡
( 𝑛
)
( 𝑛
)
𝑛
𝑛
∑
∑
∑ ( )𝑘
∑
Méthode : remarquer
cos(𝑘𝑡) = Re
𝑒𝑖𝑘𝑡 = Re
𝑒𝑖𝑡
, et
𝑞𝑘 = ⋅ ⋅ ⋅
𝑘=0
𝑘=0
𝑘=0
𝑘=0
∙ Transformation 𝑎 cos(𝑥) + 𝑏 sin(𝑥) en 𝐴 cos(𝑥 − 𝜑).
√
(
Méthode : on pose 𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2 , puis 𝑎 cos(𝑥) + 𝑏 sin(𝑥) = 𝐴 𝐴𝑎 cos(𝑥) +
( 𝐴𝑎 )2 + ( 𝐴𝑏 )2 = 1, donc il existe 𝜑 ∈ ℝ tel que cos(𝜑) =
𝑎
𝐴
et sin(𝜑) =
𝑏
𝐴
)
sin(𝑥) , où
𝑏
.
𝐴
Enfin : 𝑎 cos(𝑥) + 𝑏 sin(𝑥) = 𝐴 [cos(𝜑) cos(𝑥) + sin(𝜑) sin(𝑥)] = 𝐴 cos(𝑥 − 𝜑).
Remarque : il s’agit tout simplement de voir 𝑎 cos(𝑥) + 𝑏 sin(𝑥) comme la partie réelle du
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complexe (𝑎 − 𝑖𝑏)𝑒𝑖𝑥 , puis d’écrire 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝐴𝑒𝑖𝜑 (forme exponentielle).
VII - Argument d’un nombre complexe
∙ Si 𝑧 ∈ ℂ∗ , il existe 𝜃 ∈ ℝ tel que 𝑧 = ∣𝑧∣𝑒𝑖𝜃 . Ce réel 𝜃 s’appelle un argument du nombre
complexe non nul 𝑧.
Dans ce cas, il y a une infinité de tels réels, définis à 2𝜋 près. On note arg(𝑧) = 𝜃[2𝜋].
∙ Propriétés : arg(𝑧 × 𝑧 ′ ) = arg(𝑧) + arg(𝑧)[2𝜋], arg( 𝑧𝑧′ ) = arg(𝑧) − arg(𝑧)[2𝜋]
)
(
)
(
−→
𝑧−
−→
−−→
𝑧𝐷 − 𝑧𝐶
ˆ
𝐶𝐷
= arg
[2𝜋] .
∙ Calcul d’un angle entre deux vecteurs : (𝐴𝐵, 𝐶𝐷) = arg
→
𝑧−
𝑧𝐵 − 𝑧𝐴
𝐴𝐵
∙ Une nouvelle caractérisation des réels/imaginaires purs dans les complexes :
(𝑧 est réel) ⇔ (𝑧 = 0 ou arg(𝑧) = 0[𝜋]) et (𝑧 est imaginaire pur) ⇔ (𝑧 = 0 ou arg(𝑧) =
𝜋
[𝜋]) .
2
VIII - L’exponentielle complexe
∙ Pour tout complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (𝑥, 𝑦 réels), on définit l’exponentielle du nombre complexe :
exp(𝑧) = exp(𝑥) (cos(𝑦) + 𝑖 sin(𝑦)).
Notation : 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒𝑥 × 𝑒𝑖𝑦 , autrement dit 𝑒𝑧 = 𝑒Re(𝑧) × 𝑒𝑖Im(𝑧) .
′
′
∙ Propriétés : 𝑒(𝑧+𝑧 ) = 𝑒𝑧 × 𝑒𝑧 et
1
𝑒𝑧
= 𝑒−𝑧 .
∙ Equation : 𝑒𝑧 = 1 ⇔ (𝑧 ∈ 2𝑖𝜋ℤ) ⇔ (il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑧 = 2𝑖𝑘𝜋) .
∙ Remarque : l’équation 𝑒𝑧 = 0 n’a pas de solution, mais si 𝜔 ∈ ℂ∗ , alors l’équation 𝑒𝑧 = 𝜔
possède une infinité de solutions, définies à 2𝑖𝜋 près.
Ainsi, exp : ℂ → ℂ∗ est une application bien définie (qui est surjective mais pas injective).
′
∙ Propriété : pour tout (𝑧, 𝑧 ′ ) ∈ ℂ2 , (𝑒𝑧 = 𝑒𝑧 ) ⇔ (𝑧 − 𝑧 ′ ∈ 2𝑖𝜋ℤ)
IX - Racines carrées dans ℂ
∙ Tout nombre complexe non nul 𝑧 possède exactement deux racines carrées distinctes 𝛿 et −𝛿 :
on a donc 𝛿 2 = 𝑧.
∙ Méthode : si 𝑧 est de la forme 𝑧 = ∣𝑧∣𝑒𝑖𝜃 , alors 𝛿 =
√
𝜃
∣𝑧∣𝑒𝑖 2 .
Sinon, si 𝑧 est de la forme 𝑥 + 𝑖𝑦, on cherche 𝛿 sous la forme 𝑎 +
⎧𝑖𝑏, avec l’astuce :
⎧

𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑥

⎨ (𝑎 + 𝑖𝑏)2 = 𝑥 + 𝑖𝑦
⎨
⇔
(𝛿 2 = 𝑧) ⇔ (𝛿 2 = 𝑧 et ∣𝛿∣2 = ∣𝑧∣) ⇔
√
2𝑎𝑏 = 𝑦
⎩ 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2

√

⎩ 2
𝑎 + 𝑏2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
√
ATTENTION : la notation 𝑧 n’a PAS DE SENS (sauf si 𝑧 est un réel positif !)
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X - Equation du second degré dans ℂ
On considère l’équation du second degré, à coefficients complexes 𝑎 ∈ ℂ∗ , (𝑏, 𝑐) ∈ ℂ : (𝐸)
𝑎𝑧 2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0. On définit le discriminant Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
𝑏
∙ Si Δ = 0 : (𝐸) possède une racine double 𝑧0 = − .
2𝑎
∙ Si Δ ∕= 0 : soit 𝛿 une racine carrée de Δ (ie 𝛿 2 = Δ). Alors (𝐸) possède exactement deux racines
−𝑏 + 𝛿
−𝑏 − 𝛿
complexes (distinctes mais pas forcément conjuguées) 𝑧1 =
et 𝑧2 =
.
2𝑎
2𝑎
∙ Les deux solutions de (𝐸) 𝑎𝑧 2 + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0 = 𝑎(𝑧 2 + 𝑎𝑏 𝑧 + 𝑎𝑐 ) ont pour somme et produit
𝑐
𝑏
et 𝑧1 𝑧2 = .
𝑧1 + 𝑧2 = −
𝑎
𝑎
Conséquence :
le polynôme 𝑋 2 − 𝑠𝑋 + 𝑝 possède deux racines dont la somme vaut 𝑠 et le produit 𝑝 .
XI - Définition des racines nièmes de l’unité
Définition-proposition
Soit 𝑛, un entier naturel non nul (𝑛 ∈ ℕ∗ ).
L’équation « 𝑧 𝑛 = 1 » possède exactement 𝑛 solutions distinctes.
On les appelle les racines nièmes de l’unité : ce sont les 𝜔𝑘 = 𝑒
2𝑖𝑘𝜋
𝑛
avec 𝑘 = 0, 1, 2, ..., 𝑛 − 1.
Elles forment l’ensemble 𝕌𝑛 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ 𝑧 𝑛 = 1}.
On a donc : 𝕌𝑛 = {𝜔𝑘 = 𝑒
2𝑖𝑘𝜋
𝑛
∣ 𝑘 ∈ [[ 0 ; 𝑛 − 1 ]]} = {𝜔0 , 𝜔1 , 𝜔2 , ..., 𝜔𝑛−1 }. On a 𝜔𝑘 = 𝜔𝑛−𝑘
Remarque : en notant 𝛼 = 𝑒
2𝑖𝜋
𝑛
, on observe que 𝜔𝑘 = 𝛼𝑘 . Ainsi 𝕌𝑛 = {1, 𝛼, 𝛼2 , 𝛼3 , ..., 𝛼𝑛−1 } :
cet ensemble est représenté dans le plan complexe par un polygone régulier convexe à 𝑛 côtés, inscrit
dans le cercle unité, et dont un sommet est 1.
Exemples
𝕌1 = {1}, 𝕌2 = {1, −1}, 𝕌3 = {1, 𝑗, 𝑗 2 },
A retenir : on note 𝑗 = 𝑒
2𝑖𝜋
3
𝕌4 = {1, 𝑖, −1, −𝑖},
1
, d’où 𝑗 3 = 1 et 𝑗 2 = ¯𝑗 = .
𝑗
𝕌5 = {1, 𝑒
2𝑖𝜋
5
,𝑒
4𝑖𝜋
5
,𝑒
6𝑖𝜋
5
,𝑒
8𝑖𝜋
5
}.
XII - Racines nièmes d’un nombre complexe
Soit 𝑎, un nombre complexe non nul (et 𝑛 ∈ ℕ∗ ).
Proposition : l’équation 𝑧 𝑛 = 𝑎 possède exactement 𝑛 solution distinctes.
Méthode
(√
)𝑛
(√
)
𝑛
𝑛
𝑖𝛼
𝑖𝛼
𝑛
𝑛
En écrivant 𝑎 = ∣𝑎∣𝑒 =
∣𝑎∣ × 𝑒
, on observe que
∣𝑎∣ × 𝑒
est une solution particulière.
(√
)
𝛼
Puis, les 𝑛 solutions distinctes de l’équation sont les 𝜔𝑘 × 𝑛 ∣𝑎∣ × 𝑒𝑖 𝑛 avec 𝑘 ∈ {0, 1, . . . , 𝑛 − 1}.
𝑖𝛼
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PCSI1
LES NOMBRES COMPLEXES - résumé de cours
2016-2017
XIII - Complexes et géométrie
∙ Caractérisation de l’orthogonalité :
𝑧
(deux vecteurs non nuls ⃗𝑣 (𝑧) et 𝑣⃗′ (𝑧 ′ ) sont orthogonaux) ssi ( ′ est un imaginaire pur ).
(𝑧𝑧 )
𝑧
= − ′.
ssi
′
𝑧
𝑧
ssi (𝑧 × 𝑧 ′ + 𝑧 ′ × 𝑧 = 0).
∙ Caractérisation de la colinéarité :
𝑧
(deux vecteurs non nuls ⃗𝑣 (𝑧) et 𝑣⃗′ (𝑧 ′ ) sont colinéaires) ssi ( ′ est un réel ).
(𝑧𝑧 )
𝑧
= + ′.
ssi
′
𝑧
𝑧
ssi (𝑧 × 𝑧 ′ − 𝑧 ′ × 𝑧 = 0).
𝑐−𝑎
est
Application : trois points deux à deux distincts 𝐴(𝑎), 𝐵(𝑏) et 𝐶(𝑐) sont alignés ssi
𝑏−𝑎
(
)
(
) (
)
𝑐−𝑎
𝑐−𝑎
𝑐−𝑎
un réel i.e arg
= 0[𝜋] i.e
=
etc...
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎
XIV - Transformations géométriques et complexes
Le plan est muni du repère orthonormé direct (𝑂, ⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 ).
∙ Soit 𝜃 un réel fixé.
L’application 𝑧 7→ 𝑅(𝑧) = 𝑒𝑖𝜃 × 𝑧 représente la rotation de centre 𝑂 et de mesure d’angle 𝜃.
∙ Soit 𝑏 un nombre complexe.
L’application 𝑧 7→ 𝑇 (𝑧) = 𝑧 + 𝑏 représente la translation de vecteur ⃗𝑣 (𝑏).
∙ Soit 𝑘 un nombre réel non nul.
L’application 𝑧 7→ 𝐻(𝑧) = 𝑘 × 𝑧 représente l’homothétie de centre 𝑂 et de rapport 𝑘.
∙ L’application 𝑧 7→ 𝑆(𝑧) = 𝑧¯ représente la symétrie orthogonale (réflexion) d’axe horizontal
(i.e l’axe des réels passant par 𝑂 et dirigé par ⃗𝑒1 ).
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