Chapitre 3

CTN-258 : Statique et dynamique
Chapitre 3
3.1
ÉQUILIBRE DES CORPS
RIGIDES
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons aborder l’étude de l’équilibre des corps rigides; plus
particulièrement, les réactions aux appuis.
3.2
Réactions aux appuis et liaisons pour une structure en 2D
Définition :
Tout organe ou dispositif constructif qui solidarise d'une manière plus ou
moins complète une construction et un appui.
CLASSES DE LIAISONS
Liaisons géométriques
Liaisons déformables
(ou idéales)
(ou réelles)
Empêchent ou permettent quelques
mouvements sans dépense d'énergie
Rendent possible certains mouvements
relatifs avec absorption ou dissipation
d'énergie ⇒ très complètes
⇒ SE DÉFINISSENT :
1. Par les mouvements qu'elles
empêchent ⇒ butées
2. Par les mouvements qu'elles
permettent ⇒ degrés de liberté
HYPOTHÈSE :
Nous supposerons que dans ce qui suit qu’il s’agit de liaisons aux
appuis ou extérieures (…au corps rigide) qui, si elles offrent des degrés de liberté, restent
contraintes à fonctionner dans le domaine des petits mouvements conformément à
l'hypothèse implicitement admise, "corps rigide ⇒ indéformable", en même temps que
le principe de transmissibilité.
Les liaisons intérieures (ou intermédiaires) sont des liaisons disposées entre deux parties
d'un même système.
Liaisons extérieures ou réactions en 2D :
La structure analysée et les forces appliquées sont contenues dans un même plan.
Les réactions d'appui seront aussi contenues dans le même plan.
3 types de supports ou liaisons (connexions)
3-1
Chapitre 3 : Équilibre des corps rigides
1. Appui simple ou à rouleau (liaison simple)
Tous ces appuis ou liaisons empêchent le corps de se mouvoir dans une direction
seulement. ⇒ Une butée et 2 degrés de liberté
Appuis sans frottement :
doit pousser sur le corps
Câble d'appui :
le corps.
la force de réaction est ⊥ aux surfaces de contacts et
la force de réaction est dans la direction du câble et tire sur
Autres appuis :
la réaction peut avoir l'un ou l'autre sens.
(Barres d'assemblage ; manchon sans frottement (collar on frictionless rod), pivot
et glissière sans frottement (frictionless pin in slot))
Figure 3.1
2. Appui articulé ou liaison double
Ces appuis ou liaison permettent les rotations autour de l'axe et empêche les
mouvements de translation. ⇒ Deux butées et 1 degré de liberté
Réaction résultante :
Force de grandeur et de direction inconnues ou dont
les deux composantes rectangulaires sont inconnues (2 inconnues!)
3-2
CTN-258 : Statique et dynamique
Figure 3.2
3. Un appui en encastrement :
Aucune translation, aucune rotation . ⇒ Zero degré de liberté
Réactions:
Système force-couple (3 inconnues)
F1
F2
M
Définir un sens arbitraire pour les forces F1, F2 et M
Si le résultat est négatif
⇒
le vecteur est dans l’autre sens
Figure 3.3
Si un corps est pourvu de liaisons géométriques, on le décrit par ses appuis. Dans le plan
on parle :
Appui à rouleau ⇒ liaison simple
Appui articulé ⇒ liaison double
Encastrement ⇒ liaison triple
3-3
Chapitre 3 : Équilibre des corps rigides
Exemple 3.1
Poutre sur appuis simple, poutre simple, celle qui est solidaire de ses appuis par
l'intermédiaire d'une liaison simple et d'une liaison double. Appuis indépendants et
disposés aux extrémités de la pièce
Poutre simplement appuyée
3.3
Équilibre d'un corps rigide dans le plan
Pour assurer l’équilibre d’un corps dans le plan xy on doit respecter 3 équations
d’équilibre :
∑F
x
Permet
⇒
=0
∑F
y
=0
∑M
A
=0
Résolution de 3 inconnues = souvent les réactions d'appui
La somme des moments peut être faite à n’importe quel
point sur la structure !
La figure 3.4 montre des systèmes isostatique, hyperstatique et fondamentalement
instable. Par contre, trois réactions aux appuis ne permettent pas toujours de déterminer
toutes les inconnues. Un exemple d’instabilité est donné à la figure 2.38.
3-4
CTN-258 : Statique et dynamique
Figure 3.4
ISOSTATICITÉ
HYPERSTATICITÉ
La statique suffit pour déterminer les
réactions d'appuis.
Si r (réaction) =
Lorsque les lois de la statique ne
permettent pas de calculer toutes les
vs réactions
k (nbre d'équations
INDÉPENDANTES)
(Note : dans le plan k = 3)
Figure 3.5
Pour assurer la stabilité d'un corps rigide plan, il faut le munir d'au moins 3 liaisons non
concourantes équivalentes à une liaison triple.
La détermination statique d’un système est déterminée par l’équation suivante :
d=r–k
où d est le degré d’hyperstaticité.
3-5
Éq. 3.1
Chapitre 3 : Équilibre des corps rigides
d = 0 Isostatique
d > 0 Hyperstatique
d < 0 instable
Exemple 3.2
Une poutre de 4m de longueur est attachée par
une rotule au point A et une corde au point B.
La corde fait un angle de 60o avec la verticale
au point B. Le poids propre de la poutre
(uniformément répartie) est de 1,2 kN.
Calculez les réactions en A et la tension dans
la corde.
B
C
Solution
A
Premièrement, il faut faire le DCL.
y
T
x
30
A
Ax
o
C
Ay
W = 1,2 kN
2m
2m
Ensuite, 3 équations, 3 inconnues
= 0
= −1,2
∗ 2 + sin 30 ∗ 4 = 0
1,2 ∗ 2
=
= 1,2
4 sin 30
= 0
= − cos 30 = 0
=1,2 cos 30 = 1,04 kN
= 0
= − sin 30 = 0
=1,2 sin 30 = 0,6 kN
3-6
CTN-258 : Statique et dynamique
Exemple 3.3
Déterminez la fourchette de valeur
possible pour d pour que la poutre
illustrée soit en équilibre.
A
2m
45o
Solution
2m
100N
d
Premièrement, il faut faire le DCL.
A
B
45o
8m
T
B
FA
45o
100N
d
45o
8m
= 0
∑ = "#$ 45 − & sin 45 = 0 → = & (1)
= 0
= cos 45 + − 100 + & cos 45 = 0
+& =
())*+
,-. /0
= 0
(2)
∑ = 2 − 1001 + &23"458 = 0 (3)
Pour que ce système soit en équilibre, il faut que A et B soit positif et puisque la corde ne
peux pas avoir une réaction négative, on doit regarder des valeurs de d qui permettent de
rester en équilibre.
Dans un premier cas, si la force de 100N est vis-à-vis la corde (d=2m), A et B devrait être
égal à 0.
De (2), si A = B = 0, T= 100 N
Avec B = 0 et T = 100 N dans (3), on trouve que d = 2m
L’autre extrême est que la tension dans la corde est nulle.
Dans (2), T= 0, on trouve que A+B = 141,42 donc A = B = 70,71
Avec B = 70,71 et T = 0 dans (3), on trouve que d = 4m
Donc 2 ≤ 1 ≤ 4
3-7
Chapitre 3 : Équilibre des corps rigides
Même si dans la plupart des cas, l’utilisation de la somme des forces en x, y et une
somme des moments suffit à trouver la solution à un problème en deux dimensions, il est
parfois avantageux d’utiliser d’autres équations.
Exemple 3.4
∑F
x
=0
=0
∑F
y
∑M
A
=0
On peut également écrire une équation additionnelle:
∑M
B
=0
Mais elle n'est pas indépendante des 3 autres équations.
Elle permet néanmoins de vérifier la solution.
On peut également établir d'autres systèmes d'équation
d'équilibre équivalent, ex.:
(a)
∑F
x
=0
∑M
A
=0
∑M
B
=0
Une seule inconnue pour chaque équation
(b)
∑M
A
=0
∑M
B
=0
∑M
C
A, B et C ne doivent pas être sur la même droite !!!
Exemple 3.5
En pratique, il est souhaitable de choisir des équations
d'équilibres qui contiennent chacune une seule
inconnue
• Plus simple à résoudre.
Par exemple:
∑M
D
=0
∑M
C
=0
∑F
x
=0
Une seule inconnue pour chaque équation
3-8
=0
CTN-258 : Statique et dynamique
3.4
Équilibre d’un corps rigide dans l’espace
En trois dimensions, l’équilibre d’un corps rigide est assurée si on satisfait les équations
suivantes :
∑F
x
∑M
x
=0
∑F
=0
∑M
y
y
=0
∑F
=0
∑M
z
=0
z
=0
Éq. 3.2
Éq. 3.3
6 équations indépendantes ⇒ résolution de 6 inconnues.
ou sous forme vectorielle :
ΣF = 0
et
ΣM O = Σ ( r × F ) = 0
Éq. 3.4
Note : Dans la pratique, il est souvent plus avantageux de commencer par résoudre les
équations des moments (Éq. 3.3), en choisissant des axes qui se coupent ou qui
sont ⁄⁄ aux lignes d'action des différentes forces ou composantes de forces
inconnues.
3.4.1Réactions d’appuis et de liaisons
Dans l’espace un point possède jusqu’à six degrés de liberté ou mouvements
fondamentaux :
3 translations : ux, uy, et uz
3 rotations : θx, θy et θz
Pour déterminer le type de réaction correspondant à un appui, (c'est à dire le nombre
d'inconnues), il s'agit de voir lesquels des six mouvements fondamentaux sont libres ou
bloqués (le nombre de degrés de liberté et le nombre de butées).
La Figure 3.6 illustre les différents types d'appui et de liaison ainsi que les réactions qu'ils
créent.
3-9
Chapitre 3 : Équilibre des corps rigides
Figure 3.6
3-10
CTN-258 : Statique et dynamique
Si les réactions introduisent (+) de 6 inconnues : (+ d'inconnues que d'équations !)
⇒
QUELQUES-UNES DES RÉACTIONS SONT STATIQUEMENT
INDÉTERMINÉES OU HYPERSTATIQUES.
Si les réactions introduisent (-) de 6 inconnues : (+ d'équations que d'inconnues!)
⇒
CERTAINES DES ÉQUATIONS NE PEUVENT PAS ÊTRE SATISFAITES
(CORPS RIGIDE INCOMPLÈTEMENT LIÉ)
ATTENTION AUX STRUCTURES INCORRECTEMENT LIÉES
(Certaines réactions // ou couple sur la même droite).
Exemple 3.6
La barre ABC suivante est encastrée au point
A.
Deux forces et un moment y sont appliqués.
FB = 2i + 6j + 3k kN
FC = i – 2j – 2k kN et
MC = 2i + j – 2k kNm
Déterminez les réactions en A.
Solution
DCL
Ax, Mx
Ay, My
Az, Mz
3-11
Chapitre 3 : Équilibre des corps rigides
∑ = 0
∑ = + 2
+1
= 0
= 0 → = −3
= + 6
−2
= 0 → = −4
7 = 7 + 3
−2
= 0 → 7 = −1
7 = 0
Pour le calcul des moments, il est préférable d’utiliser le calcul vectoriel (matrice).
89
#
= : 1
<9
;
1
<9
#
17 : = =1
<97
2
8>
#
= : 1
<>
;
1
<>
#
17 : = =2
<>7
1
;
0
6
0=
3
= 0 ∗ 3 − 0 ∗ 6# + 0 ∗ 2 − 1 ∗ 3; + 1 ∗ 6 − 0 ∗ 2 = −3; + 6 ;
0
0=
−2 −2
= ?0 ∗ −2 − 0 ∗ −2@# + ?0 ∗ 1 − 2 ∗ −2@; + 2 ∗ −2 − 0 ∗ 1
= 4; − 4 A = 0
A = + > = 0 → = −2
= 0
= − 3 + 4 + > = 0 → = 2
7 = 7 + 6 − 4 + >7 = 0 → 7 = 0
7 = 0
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