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Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 12/09/2019
DM no 1 : Révisions et logique
Problème – (D’après un vieux sujet de Bac des années 80)
Partie I –
L’objet de cette partie est d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0, +∞[ par :
f (x) =
ln(1 + x)
si x 6= 0 et f (0) = 1.
x
1. Encadrement de ln(1 + x).
(a) Prouver que, pour tout nombre réel t > 0,
1−t6
1
6 1.
1+t
(b) En déduire que pour tout x > 0,
x2
6 ln(1 + x) 6 x.
2
x−
2. Étude d’une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction définie sur [0, +∞[ par
g(x) = ln(1 + x) −
2x
.
2+x
(a) Après avoir justifié la dérivabilité de g, justifier que pour tout x > 0,
0 6 g ′ (x) 6
x2
.
4
(b) Quel encadrement de g(x) en déduit-on, pour x > 0 ?
3. En s’aidant de la fonction g, déterminer les variations de f .
4. Étude de f aux bornes de l’intervalle de définition.
(a) Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.
(b) À l’aide d’un encadrement obtenu précédemment, prouver que
lim
x→0
1
x − ln(1 + x)
= .
x2
2
(c) En déduire que f est dérivable en 0, et préciser f ′ (0). Déterminer une équation de la tangente en 0 à la
courbe de f .
(d) Donner l’allure de la courbe de f .
Partie II –
L’objet de cette partie est d’étudier la suite (un )n∈N de nombres réels définies par les relations :
u0 = c
et
un+1 = ln(1 + un ) si n > 0,
où c est un nombre réel strictement positif donné.
1. Justifier que (un ) converge, vers une limite ℓ à préciser.
1
On pose désormais c = 1. Le but de la fin du problème est de déterminer la limite de (nun ). Pour tout n > 0, on pose
vn = u1n .
2. À l’aide de résultats de la partie I, déterminer la limite de vn+1 − vn .
3. Prouver que, pour tout x de ]0, 1],
3
1
1
1
1
− x6
− 6 .
2 16
ln(1 + x) x
2
On pourra à cet effet réutiliser la fonction g.
4. En déduire que pour tout n > 0,
1
3
1
− un 6 vn+1 − vn 6 ,
2 16
2
puis que
2
4
6 un 6
.
n+2
n+4
5. En revenant à l’encadrement de vn+1 − vn de la question précédente, en déduire la limite de nun lorsque n tend
vers +∞.
Exercice 1 – (CG 1992)
Déterminer le chiffre des unités du plus grand entier inférieur ou égal à
101992
.
1083 + 7
Exercice 2 – (CG 1994)
Pour tout n ∈ N, on pose In le nombre d’entiers p tels que
50n < 7p < 50n+1 .
1. Montrer que pour tout n ∈ N, In ∈ {2, 3}.
∗
2. Montrer qu’il existe une infinité d’entiers n pour lesquels In vaut 3, et déterminer le plus petit d’entre eux.
Exercice 3 – Jeux logiques et mathématiques
(extrait de Quel est le titre de ce livre ? de R. Smullyan ; voir aussi Le livre qui rend fou du même auteur)
Il était une fois un philosophe dont la grande ambition était de répondre à la question fondamentale de la philosophie :
« Pourquoi y a-t-il quelque chose au lieu de rien ». Ses lectures philosophiques ne lui permirent pas de répondre de
manière satisfaisante à cette question. Il se tourna alors vers la théologie, mais là-encore, il ne trouva pas de réponse
qui le satisfit. Il se tourna alors vers les philosophies orientales, parcourut l’Inde, le Tibet sans succès. Puis il passa
encore douze années en Chine et au Japon à rencontrer des ermites Tao et des maîtres Zen, quand il trouva enfin un
sage qui lui dit sur son lit de mort : « Le seul endroit de la planète où la réponse soit connue, c’est l’île de Baal. Un
des grands prêtres du temple de Baal sait la réponse. Je ne connais personne qui sache où est l’île de Baal. Tout ce que
je connais, c’est l’endroit où se trouve un archipel dont une île contient un plan permettant de trouver l’île de Baal.
Le plan se trouve sur une île du nom de Maya, mais je ne sais pas de laquelle il s’agit. De plus, les îles de l’archipel
sont toutes habitées par des Purs, qui disent toujours la vérité, et des Pires, qui mentent toujours. »
1. L’archipel – À la recherche de l’île de Maya
Le philosophe trouva sans problème l’archipel, et visita les îles les unes après les autres pour trouver l’île de
Maya. Sur chaque île qu’il visita, il fut reçu par deux indigènes A et B. Suivant les propos de A et B sur chaque
île, déterminer, pour chaque île, s’il s’agit ou non de l’île de Maya.
(a) La première île
A : « B est un Pur et nous sommes sur l’île de Maya »
B : « A est un Pire et nous sommes sur l’île de Maya »
(b) La deuxième île
A : « Nous sommes deux Pires, et nous sommes sur l’île de Maya »
B : « C’est vrai »
2
(c) La troisième île
A : « L’un de nous au moins est un Pire, et nous sommes sur l’île de Maya »
B : « C’est vrai »
(d) La quatrième île
A : « Nous sommes deux Pires, et nous sommes sur l’île de Maya »
B : « L’un de nous au moins est un Pire, et nous ne sommes pas sur l’île de Maya »
(e) La cinquième île
A : « Nous sommes deux Pires, et nous sommes sur l’île de Maya »
B : « L’un de nous au moins est un Pur, et nous ne sommes pas sur l’île de Maya »
(f) La sixième île
A : « B est un Pur, ou nous sommes sur l’île de Maya »
B : « A est un Pire, ou nous sommes sur l’île de Maya »
(g) La carte de Baal
Le philosophe découvrit bien sûr l’île de Maya. Le grand prêtre de Maya le conduisit dans une pièce où
étaient étalées trois cartes X, Y et Z. Le prêtre (qui disait la vérité) expliqua qu’une seule carte était la
bonne. Pour trouver la bonne carte, le philosophe put s’aider des indications de cinq docteurs A, B, C, D
et E, chacun d’eux étant un Pur ou un Pire :
A : « X est la bonne carte »
B : « Y est la bonne carte »
C : « A et B ne sont pas deux Pires »
D : « A est un Pire ou B est un Pur »
E : « Je suis un Pire ou C et D sont de même espèce.
Quelle est la bonne carte ?
2. L’île de Baal – À la découverte de la Vérité Vraie
Après un temps de reflexion, le philosophe découvrit la bonne carte et se rendit sans tarder sur l’île de Baal.
De toutes les îles habitées par des Purs et des Pires, celle-ci est la plus extraordinaire. Elle est habitée par des
hommes, Purs ou Pires, mais également par des singes, Purs ou Pires aussi. De plus, les singes parlent aussi
bien que les hommes. Pour pouvoir accéder au Sanctuaire de l’île, dans laquelle il pourrait accéder à la Vérité,
le philosophe dut réussir six épreuves. Pour les trois premières épreuves, il se retrouva devant un personnage
encapuchonné, de sorte qu’il était impossible de savoir s’il s’agissait d’un homme ou d’un singe, d’un Pur ou
d’un Pire. En s’aidant de la phrase prononcée par l’individu, le philosophe dut déduire ce qu’il était (homme
ou singe, Pur ou Pire). Pour les trois dernières énigmes, la règle du jeu était la même, mais avec deux individus
A et B pour chaque énigme. Aidez le philosophe à répondre :
(a) « Je suis un Pire ou un Singe »
(b) « Je suis un Pire et un Singe »
(c) « Je ne suis pas à la fois un singe et un Pur »
(d) A : « L’un au moins de nous deux est un singe »
B : « L’un au moins de nous deux est un Pire »
(e) A : « Nous sommes deux singes »
B : « Nous sommes deux Pires »
(f) A : « B est un Pire et un singe. Je suis un être humain »
B : « A est un Pur »
Le philosophe ayant non sans mal réussi ces six épreuves, arrivèrent enfin les épreuves finales tant attendues
qui allaient lui donner la réponse à la question qui les préoccupait tant.
(g) Le philosophe se trouvait face à quatre portes X, Y, Z, W ; une au moins d’entre elles conduisait au Sanctuaire. Le philosophe devait trouver laquelle en s’aidant des indications de huit Prêtres, chacun étant soit
Pur soit Pire. Quelle porte choisir ?
A : « X est une bonne porte »
B : « L’une au moins des portes Y et Z est bonne »
3
C : « A et B sont deux Purs »
D : « X et Y sont deux bonnes portes »
E : « X et Z sont deux bonnes portes »
F : « D ou E est un Pur »
G : « Si C est un Pur, il en est de même de F »
H : « Si G et moi sommes Purs, il en est de même de A »
(h) Ayant choisi une bonne porte, le philosophe pénétra dans le Sanctuaire. Là se trouvaient deux Grands
Prêtres, dont l’un connaissait peut-être la réponse à la Grande Question : « Pourquoi y a-t-il quelque chose
au lieu de rien ? »
Chacun des Grands Prêtres est bien sûr un Pur ou un Pire. Ils dirent :
Premier Prêtre : « Je suis un Pire et je ne sais pas pourquoi il y a quelque chose au lieu de rien »
Deuxième Prêtre « Je suis un Pur et je ne sais pas pourquoi il y a quelque chose au lieu de rien »
Est-ce que l’un des deux prêtres savait vraiment pourquoi il y a quelque chose au lieu de rien ?
(i) La réponse ! En fait, l’un des Grands Prêtres connaissait la réponse à la question. Elle était :
« Il y a quelque chose au lieu de rien »
Quelle terrible conclusion en tirez-vous ?
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 19/09/2019
DM no 2 : Raisonnements, ensembles
Problème 1 – Autour de la suite de Fibonacci
On définit la suite de Fibonacci (Fn )n∈N par :
F0 = 0,
F1 = 1,
∀n > 2, Fn = Fn−1 + Fn−2 .
1. Calculer les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci.
2. Montrer que (Fn )n∈N est croissante, et que pour tout n ∈ N, Fn > n − 1. Quelle est la limite de (Fn )n∈N ?
3. Montrer les relations suivantes :
n
X
(a) ∀n > 1,
Fk2 = Fn Fn+1 .
k=1
2
(b) ∀n > 1, Fn (Fn−1 + Fn+1 ) = F2n et Fn2 + Fn+1
= F2n+1 .
n
X
Fk = Fn+2 − 1.
(c) ∀n > 0,
k=0
(d) ∀n > 1,
(e) ∀n > 0,
n−1
X
k=0
n
X
F2k+1 = F2n .
F2k = F2n+1 − 1.
k=0
p X
p
Fn+k = Fn+2p .
(f) ∀n > 0, ∀p > 0,
k
k=0
(g) ∀n > 1, Fn2 = Fn−1 Fn+1 + (−1)n+1 .
(h) ∀m > 0, ∀n > 1, Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn−1 .
n X
n−i X
n−i n−j
∗
= F2n+2 .
(i) ∀n > 0,
j
i
i=0 j=0
(On pourra essayer de trouver une relation similaire pour F2n+3 ; cette relation peut se deviner lors des
tentatives pour prouver le caractère héréditaire de la formule à montrer)
4. Montrer que pour tout n ∈ N, Fn+1 est égal au nombre de façon de placer bout-à-bout des carrés de côté 1 et
des dominos 1 × 2 de sorte à former une rangée de longueur n (les carrés sont deux-à-deux indiscernables, ainsi
que les dominos).
Si vous le souhaitez, vous pouvez essayer de retrouver à l’aide de cette interprétation combinatoire les formules de
la question précédente (comptez certains ensembles de configurations de deux façons différentes ; pour savoir quelles
configurations rechercher, s’aider du côté simple de l’identité ; pour obtenir une somme, trier suivant un certain critère).
∗∗
∗
3
3
5. Montrer que pour tout n, Fn+2
+ Fn+1
− Fn3 est un nombre de Fibonacci (on calculera cette expression pour
des petites valeurs de n, et on comparera avec les valeurs de la question 1, afin de trouver une conjecture).
6. (théorème de Zeckendorf, ou décomposition de n dans la base de Fibonacci)
Montrer que tout entier n > 0 s’écrit de manière unique comme une somme de nombres de Fibonacci non nuls,
distincts et non consécutifs d’indices supérieurs ou égaux à 2. (commencez par trouver les plus grands termes
de la décomposition).
∗
7. Application : un jeu d’allumettes.
Deux joueurs tirent à tour de rôle des allumettes d’une boîte, avec les règles suivantes :
• Chaque joueur tire à chaque fois au moins une allumette.
1
• Le premier joueur ne retire pas la totalité des allumettes au premier tour.
• Un joueur tire au plus deux fois le nombre d’allumettes tirées par le joueur précédent.
• Le joueur qui retire la dernière allumette a gagné.
Montrer que si le nombre initial d’allumettes n’est pas un nombre de Fibonacci, la stratégie consistant à
tirer autant d’allumettes que le plus petit terme de la décomposition dans la base de Fibonacci du nombre
d’allumettes restantes peut être menée jusqu’au bout et constitue une stratégie gagnante pour le joueur 1.
Que dire du cas où le nombre initial d’allumettes est un nombre de Fibonacci ?
Problème 2 – Lemme de classe monotone
Le but de ce problème est d’établir le lemme de classe monotone, aussi appelé lemme λ-π de Dynkin. Ce lemme est
à la base de la démontration du fait que la fonction de répartition d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette
variable aléatoire, et d’autres résultats similaires en théorie de la mesure.
Soit Ω un ensemble. Pour tout A ⊂ Ω, on note A son complémentaire dans Ω. On appelle σ-algèbre (ou tribu) sur Ω
un sous-ensemble A de P(Ω) tel que :
• Ω∈A
• si A ∈ A, alors A ∈ A
[
• pour toute famille (An )n∈N telle que pour tout n ∈ N, An ∈ A, on a aussi
An ∈ A.
n∈N
On appelle classe monotone (ou λ-système) un sous-ensemble M de P(Ω) tel que :
• Ω∈M
• si A et B sont dans M, et A ⊂ B, alors B \ A est aussi dans M.
• pour toute famille (An )n∈N telle que pour tout n
[∈ N, An ∈ M, et croissante pour l’inclusion (c’est-à-dire telle
que pour tout n ∈ N, An ⊂ An+1 ), on a aussi
An ∈ M.
n∈N
Partie I – Autour des σ-algèbres
1. Montrer que P(Ω) est une σ-algèbre. Quelle est la plus petite σ-algèbre sur Ω ?
2. (a) Soit A une σ-algèbre. Montrer que :
(i) ∅ ∈ A
(ii) si A et B sont dans A, alors A ∪ B aussi
(iii) si A et B sont dans A, alors A ∩ B aussi
(iv) si (An )n∈N est une famille d’éléments de A, alors
\
An est aussi dans A.
n∈N
3. Montrer que si (Ai )i∈I est une famille de σ-algèbres, alors
\
Ai est une σ-algèbre.
i∈I
4. Soit C un sous-ensemble de P(Ω), et AC l’ensemble des σ-algèbres A telles que C ⊂ A. En considérant
\
A,
A∈AC
montrer qu’il existe une σ-algèbre σ(C), minimale au sens de l’inclusion, et contenant C. On dit que σ(C) est la
σ-algèbre (ou tribu) engendrée par C.
5. Décrire σ(C) lorsque :
• C = {A}, où A ⊂ Ω
• C est une partition (Ai )i∈I de Ω, I étant fini.
6. On définit B la σ-algèbre sur R engendrée par les intervalles ] − ∞, a], a ∈ R. La σ-algèbre B est appelée tribu
des boréliens de R.
Montrer que B est aussi la tribu engendrée par les intervalles [a, +∞[.
Partie II – Autour des classes monotones
2
1. Montrer qu’une σ-algèbre est une classe monotone.
2. Soit M une classe monotone.
(a) Montrer que ∅ ∈ M
(b) Montrer que si A ∈ M, alors A ∈ M.
(c) Montrer que si (An )n∈N est une suite d’éléments de M décroissante pour l’inclusion, alors
\
An ∈ M.
n∈N
3. Montrer qu’une intersection (quelconque) de classes monotones est une classe monotone.
4. Soit C un sous-ensemble de P(Ω). Montrer qu’il existe une plus petite classe monotone m(C) au sens de l’inclusion
(appelée classe monotone engendrée par C), contenant C. Décrire cette classe sous forme d’une intersection.
5. Montrer que m(C) ⊂ σ(C).
Partie III – Lemme de classe monotone
On souhaite montrer qu’avec une hypothèse supplémentaire sur C, on peut obtenir l’égalité m(C) = σ(C).
1. Soit M une classe monotone stable par intersections finies (donc si A et B sont dans M, A ∩ B aussi)
n
n
[
\
Ai sont dans M.
Ai et
(a) Montrer que pour toute famille finie (Ai )i∈[[1,n]] d’éléments de M,
i=1
i=1
(b) Montrer que M est une σ-algèbre
2. Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose que C est un π-système, c’est à dire un sous-ensemble de P(Ω) stable
par intersections finies.
(a) Soit A ∈ m(C). On définit
DA = {B ∈ m(C) | A ∩ B ∈ m(C)}.
Montrer que DA est une classe monotone.
(b) Soit C ∈ C. Montrer que C ⊂ DC , puis que DC = m(C)
(c) En déduire que DA = m(C).
3. Montrer que m(C) = σ(C).
Partie IV – Caractérisation des mesures bornées
Une mesure (positive) sur une σ-algèbre A est une application :
µ : A −→ [0, +∞],
telle que pour toute famille (An )n∈N d’éléments deux à deux disjoints de A, on ait :
! +∞
+∞
X
G
µ
µ(An ).
An =
n=0
n=0
C’est une façon de mesurer la taille des ensembles de A. Notez que la valeur +∞ est possible.
On dit que cette mesure est bornée, si elle est à valeurs dans un intervalle [0, M ], pour M assez grand différent de
+∞.
On se donne une mesure µ sur une σ algèbre A.
1. Montrer que pour tout (A, B) ∈ A2 si A ⊂ B, alors µ(A) 6 µ(B).
2. Montrer que µ est bornée si et seulement si µ(Ω) 6= +∞. On suppose désormais que cette condition est réalisée.
3. Montrer que pour tout (A, B) ∈ A2 , si A ⊂ B, alors µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
3
4. On considère µ et ν deux mesures bornées sur A, telles que µ(Ω) = ν(Ω), et un π-système C tel que µ et ν
coïncident sur C, c’est-à-dire :
∀C ∈ C, µ(C) = ν(C).
Montrer que µ et ν coïncident sur σ(C).
On pourra commencer par montrer que {A ∈ A | µ(A) = ν(A)} est une classe monotone.
5. Soit µ et ν deux mesures bornées sur B la tribu des boréliens, et Fµ et Fν les fonctions sur R définies pour tout
x ∈ R par :
Fµ (x) = µ(] − ∞, x]),
et
Fν (x) = ν(] − ∞, x]).
Montrer que µ = ν si et seulement si Fµ = Fν .
Étant donnée une variable aléatoire X à valeurs réelles, si µX est la mesure définie sur un borélien B ∈ B par
µX (B) = P (X ∈ B) (on peut montrer qu’il s’agit bien d’une mesure, appelée loi de X), la fonction FµX n’est autre
que la fonction de répartition de X. On a ainsi montré que la fonction de répartition de X détermine entièrement la
loi µX de X.
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 19/09/2019
DM no 3 : Ensembles, applications, sommes
Exercice 1 – Formules d’inversion de Pascal
1. Soit (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites telles que
∀n ∈ N, bn =
n X
n
ak .
k
k=0
Montrer que pour tout m ∈ N,
m
X
am = (−1)m
(−1)k
k=0
2. Montrer que pour tout k ∈ N,
m
bk .
k
m
X
m
(−1)p p(p − 1) . . . (p − k + 1)
= (−1)m m!δk (m),
p
p=0
où δk est le symbole de Kronecker défini par :
δk (m) =
3. En déduire que pour tout k ∈ [[0, m]],
m
X

1
si k = m
sinon.
0
m
= (−1)m m!δk (m).
(−1) p
p
p=0
p k
4. En déduire enfin la formule d’inversion polynomiale : si pour tout (m, n) ∈ N2 ,
bm (n) =
m
X
ak nk ,
k=0
alors, pour tout m ∈ N,
am
m
1 X
j m
=
bm (n − j).
(−1)
j
m! j=0
Exercice 2 – (Produit de Cauchy de deux séries exponentielles)
n
X
xk
On admet que pour tout x de R (et même de C), l’expression
admet une limite lorsque n tend vers +∞. On
k!
k=0
note :
n
+∞ k
X
X
xk
x
= lim
.
∀x ∈ R, e(x) =
n→+∞
k!
k!
k=0
k=0
Soit x et y dans R+ . On définit, pour tout n ∈ N,
cn (x, y) =
n
X
xℓ
ℓ=0
ℓ!
·
y n−ℓ
(n − ℓ)!
1. Montrer que pour tout n ∈ N,
 n
 n

⌊2⌋
⌊2⌋
n
k
k
X
X
X
x
y


6
ck (x, y) 6
k!
k!
k=0
k=0
k=0
1
n
X
xk
k=0
k!
!
n
X
yk
k=0
k!
!
.
2. En déduire que e(x + y) = e(x)e(y).
3. Généraliser pour tout (x, y) ∈ C2 .
Problème 1 – Théorème de Cantor-Bernstein
Dans ce problème, nous proposons plusieurs preuves du théorème de Cantor-Bernstein. Ce théorème affirme qu’étant
donnés deux ensembles E et F , s’il existe une injection f : E → F et une injection g : F → E, alors il existe une
bijection de E dans F .
Nous nous donnons, dans tout le problème, deux ensembles E et F , et deux injections f : E → F et g : F → E.
Dans ce problème, on désigne par ∁E A le complémentaire dans E d’un sous-ensemble A de E (et de même pour la
complémentation dans F ).
Question préliminaire
Soit E et F deux ensembles, et {E1 , E2 } une partition de E et {F1 , F2 } une partition de F . Ainsi, E = E1 ⊔ E2 et
F = F1 ⊔ F2 . On suppose qu’il existe deux bijections f1 : E1 → F1 et f2 : E2 → F2 . À l’aide de f1 et f2 , construire
une bijection f : E → F (on ne se contentera pas de décrire la construction, on s’appliquera également à prouver que
la fonction f est bien bijective).
Partie I – Une première démonstration
1. Dans cette question, nous montrons un lemme préliminaire, cas particulier du lemme du point fixe de KnasterTarski. Soit ϕ : P(E) → P(E) une application croissante définie sur les parties de E. La croissance de ϕ s’entend
au sens de l’inclusion ; ainsi, pour tous sous-ensembles A et B de E, si A ⊂ B, alors ϕ(A) ⊂ ϕ(B). On pose S
le sous-ensemble de P(E) défini par :
S = {A ∈ P(E) | ϕ(A) ⊂ A},
et on définit M par :
M=
\
A.
A∈S
(a) Justifier que S est non vide.
(b) Montrer que ϕ(M ) ⊂ M
(c) Montrer que ϕ(M ) ∈ S et en déduire que M ⊂ ϕ(M ).
Ainsi, toute ϕ : P(E) → P(E) croissante admet un point fixe M ∈ P(E), c’est-à-dire vérifiant ϕ(M ) = M .
2. On définit ϕ : P(E) → P(E) par :
ϕ(A) = ∁E g ∁F f (A) ,
c’est-à-dire le complémentaire de l’image directe par g du complémentaire de l’image directe par f de l’ensemble A.
Montrer que ϕ admet un point fixe M ∈ P(E), qu’on se donne pour la suite de cette partie.
3. Montrer que f définit par restriction et corestriction une application f1 : M → f (M ), et que f1 est bijective.
4. Soit N = ∁F f (M ).
(a) Décrire g(N ).
(b) Montrer que g définit par restriction et corestriction une application g1 : N → ∁E M , et que g1 est une
bijection.
5. Construire à l’aide de f1 et g1 une bijection h : E → F .
Partie II – Une deuxième démonstration
2
1. Dans cette question, on montre le lemme suivant : si B est un sous-ensemble de E, et s’il existe une application
injective u : E → B, alors il existe une bijection v : E → B. Soit donc B un sous-ensemble de E et u : E → B
une application injective. On pose C0 = ∁E B, et on définit une suite (Cn )n∈N de sous-ensembles de E par
Cn+1 = u(Cn ), pour tout n ∈ N, et on définit :
C=
+∞
[
et
Cn
C′ =
n=0
+∞
[
Cn .
n=1
Soit enfin D = ∁E C.
(a) Montrer que D ⊂ B,
(b) Montrer que {D, C} est un partage de E (i.e. une partition à parts éventuellement vides), et {D, C ′ } est un
partage de B.
(c) Montrer que u(C) = C ′ .
(d) En déduire, à l’aide de la question préliminaire, l’existence d’une bijection v de E dans B.
2. En considérant u = g ◦ f dans le problème de Cantor-Bernstein, montrer l’existence d’une bijection de E sur
F.
Partie III – Une troisième démonstration
Soit x un élément de E. On définit une suite (éventuellement finie) associée à x par récurrence de la manière suivante :
on pose u0 (x) = x, et pour tout n ∈ N, si un (x) est défini, on pose un+1 (x) l’unique antécédent (s’il existe) de un (x)
par f ou g (selon que un (x) est dans E ou F ). Si cet antécédent n’existe pas, ou si un (x) n’est pas défini, alors un+1 (x)
n’est pas défini.
Ainsi, la suite est définie en commençant par prendre un antécédent par f , puis par g, puis par f , et à nouveau par
g, etc., tant que c’est possible. Trois cas peuvent se produire :
• La suite (un (x)) est finie et s’arrête dans E (donc le dernier terme défini est dans E). On définit l’ensemble EE
comme étant l’ensemble des x de E pour lesquels cette situation se produit.
• La suite (un (x)) est finie et s’arrête dans F (donc le dernier terme défini est dans F ). On définit l’ensemble EF
comme étant l’ensemble des x de E pour lesquels cette situation se produit.
• La suite (un (x)) est infinie. On définit l’ensemble E∞ comme étant l’ensemble des x de E pour lesquels cette
situation se produit.
1. Justifier que {EE , EF , E∞ } est un partage de E (i.e. une partition à parts éventuellement vides).
2. En définissant de la même manière FE , FF et F∞ en partant des points de F , montrer que f définit par
restriction une bijection de EE dans FE , et que g définit par restriction une bijection de FF dans EF .
3. Montrer que f définit une bijection de E∞ dans F∞ et conclure.
Partie IV – Quelques applications classiques
On dit que deux ensembles E et F ont même cardinal si et seulement s’il existe une bijection de E dans F . On montre
par des exemples l’intérêt du théorème de Cantor-Berstein dans la théorie des cardinaux. Attention, tous les exemples
donnés ci-dessous n’utilisent pas nécessairement ce théorème. Les trois dernières questions sont indépendantes des
précédentes.
1. Montrer que P(N) et {0, 1}N ont même cardinal (on pourra construire explicitement une bijection en associant
à un sous-ensemble de N une certaine application ; on vérifiera scrupuleusement qu’il s’agit bien d’une bijection)
2. Montrer que {0, 1}N et NN ont même cardinal (on pourra construire explicitement une bijection en construisant
pour une fonction f à valeurs dans N, une fonction à valeurs dans {0, 1}, la valeur des f (i) déterminant la
position des 1 dans la suite des images).
3. Montrer que P(N) et [[0, 9]]N ont même cardinal.
4. Montrer que [[0, 9]]N et [0, 1[ ont même cardinal (on pourra utiliser le développement en base 10, en admettant
l’unicité d’un développement propre, c’est-à-dire ne terminant pas par une infinité de 9)
3
5. Montrer que [0, 1[ et R ont même cardinal.
6. Montrer que P(N) et R ont même cardinal.
7. Montrer que R2 et R ont même cardinal (on pourra se servir d’un exemple vu en cours d’une application
mélangeant les développements de deux réels)
8. Montrer que P(R) et RR ont même cardinal.
9. Trouver une deuxième preuve du résultat de la question précédente.
4
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MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 10/10/2019
DM no 3 : Ensembles, applications, sommes
Problème 1 – Généralisation des notions d’injectivité et de surjectivité à des relations quelconques
Soit E et F deux ensembles. Une relation de E vers F est la donnée d’un sous-ensemble G de E × F , et on dit que
x ∈ E et y ∈ F sont en relation si (x, y) ∈ G. On note dans ce cas xRy. L’ensemble G est appelé graphe de la relation.
Par exemple, les applications sont des relations vérifiant la propriété suivante : pour tout x ∈ E, il existe un unique y
de F (l’image de x) tel que xRy.
Soit R une relation de E vers F . Pour tout A ∈ P(E) et tout L ∈ P(F ), on définit :
R+ (A) = {y ∈ F, ∃a ∈ A, aRy}
et
R− (L) = {x ∈ E, ∃ℓ ∈ L, xRℓ}
Ainsi, R+ (A) est le sous-ensemble de F constitué des éléments qui sont en relation avec un élément de A, alors que
R− (F ) est le sous-ensemble de E constitué des éléments qui sont en relation avec un élément de L. Il s’agit donc
d’une généralisation aux relations de la notion d’image directe et d’image réciproque
1. Prouver que pour tous sous-ensembles A et B de E, et toute famille (Ai )i∈I de sous-ensembles de E :
(a) A ⊂ B =⇒ R+ (A) ⊂ R+ (B);
!
[
[
+
(b) R
R+ (Ai );
Ai =
i∈I
i∈I
(c) R+
\
Ai
i∈I
!
⊂
\
R+ (Ai ).
i∈I
(d) Trouver un exemple pour lequel l’inclusion précédente est stricte.
2. Prouver que pour tous sous-ensembles L et M de F et toute famille (Lj )j∈J de sous-ensembles de F :
(a) L ⊂ M =⇒ R− (L) ⊂ R− (M );


[
[
(b) R− 
Lj  =
R− (Lj );
j∈J

(c) , R− 
\
j∈J
j∈J

Lj  ⊂
\
R− (Lj ).
j∈J
(d) Trouver un exemple pour lequel l’inclusion précédente est stricte.
3. On définit quatre types particuliers de relations de E vers F :
• On dit que R est de type 1 si tout élément de E est en relation par R avec au plus un élément de F .
• On dit que R est de type 2 si tout élément de E est en relation par R avec au moins un élément de F .
• On dit que R est de type 3 si tout élément de F est en relation par R avec au plus un élément de E.
• On dit que R est de type 4 si tout élément de F est en relation par R avec au moins un élément de E.
On définit de plus la composée de deux relations R de E vers F et S de F vers H comme étant la relation
T = S ◦ R de E vers H définie par :
∀x ∈ E, ∀z ∈ H, (xT z ⇐⇒ (∃y ∈ F, (xRy) ∩ (ySz))).
(a) Que pouvez-vous dire d’une relation qui soit à la fois de type 1 et de type 2 ?
(b) On suppose que R est une relation définissant une application f : E −→ F . Que pouvez-vous dire de f si
R est de type 3 ? de type 4 ?
(c) Justifier que si R et S définissent deux applications f et g, alors la composée T de R et S est la relation
associée à l’application g ◦ f .
1
(d) Soit R et S deux relations de même type i, i ∈ [[1, 4]]. Montrer que la composée de R et S est encore de
même type.
4. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) R est du type 3
(ii) ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , R+ (A ∩ B) = R+ (A) ∩ R+ (B)
(iii) ∀A ∈ P(E), R− (R+ (A)) ⊂ A
(iv) ∀A ∈ P(E), R+ ∁E A ⊂ ∁F (R+ (A)).
Donner de même une liste de propriétés équivalentes à : R est du type 1.
(On pourra considérer R−1 , où R−1 est définie entre F et E par yR−1 x ssi xRy).
5. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) R est du type 4
(ii) R+ (E) = F
(iii) ∀L ∈ P(F ), L ⊂ R+ (R− (L))
(iv) ∀A ∈ P(E), ∁F (R+ (A)) ⊂ R+ ∁E (A) .
Donner de même une liste de propriétés équivalentes à : R est du type 2.
b l’ensemble des relations de E vers E. On munit E
b d’une relation 6 définie par :
6. Soit E
b R 6 S ⇐⇒ (∀(x, y) ∈ E 2 , (xRy =⇒ xSy)).
∀R, S ∈ E,
b c’est-à-dire vérifie les 3 propriétés suivantes : pour toutes relations R, S
(a) Vérifier que 6 est un ordre sur E,
et T :
(i) R 6 R (reflexivité)
(ii) si R 6 S et S 6 R alors R = S (antisymétrie)
(iii) si R 6 S et S 6 T alors R 6 T (transitivité)
(b) On note IdE l’application identique de E dans E. Montrer que R est du type 1 si et seulement si R ◦ R−1 6
IdE .
(c) Caractériser de façon analogue les trois autres types.
(d) Montrer que R ◦ R−1 = R−1 ◦ R = IdE si et seulement si R est une application bijective.
Problème 2 – Saturation
Soit ∼ une relation d’équivalence sur un ensemble E. On définit, pour tout sous-ensemble A de E :
As = {y ∈ E | ∃x ∈ A, x ∼ y}.
On dit que As est la saturation de A pour la relation ∼. On dit que l’ensemble A est saturé si A = As . On note S(E)
l’ensemble des parties saturées de E.
Par ailleurs, on note, pour toute partie A de E, Ac le complémentaire de A dans E. Enfin, pour tout x ∈ A, on note
x sa classe d’équivalence, c’est-à-dire le sous-ensemble de E constitué des éléments y tels que y ∼ x.
1. (a) Montrer que pour tout A ∈ P(E), A ⊂ As .
(b) Déterminer ∅s et E s .
(c) Montrer que pour tout A ∈ P(E), (As )s = As (on dit que l’application de saturation est « idempotente »)
2. Soit A ∈ P(E).
(a) Montrer que As =
[
x.
x∈A
(b) Montrer que As =
\
B
B∈S(E) tq A⊂B
3. Soient A et B dans P(E).
2
(a) Montrer que (A ∪ B)s = As ∪ B s
(b) Montrer que des deux inclusions (A ∩ B)s ⊂ As ∩ B s et As ∩ B s ⊂ (A ∩ B)s , une seule est toujours vraie,
et donner un contre-exemple pour l’autre.
4. Établir une inclusion entre (As )c et (Ac )s . À quelle condition a-t-on l’égalité ?
5. Soient p1 et p2 définies de E × E dans E par p1 (x, y) = x et p2 (x, y) = y. Montrer que pour tout A ∈ P(E),
As = p2 (p−1
1 (A) ∩ G),
où G ⊂ E × E est le graphe de la relation ∼.
6. On définit sur P(E) la relation R par :
ARB ⇐⇒ (∀x ∈ A, ∃y ∈ B, x ∼ y).
(a) Montrer que R est reflexive et transitive. La relation R est-elle en général une relation d’équivalence ?
(b) Montrer que ARB et BRA si et seulement si As = B s . La relation R est-elle une relation d’ordre ?
(c) On définit la relation S sur P(E) par ASB si et seulement As = B s . Montrer que S est une relation
d’équivalence.
(d) Montrer que S respecte la relation R, c’est-à-dire : pour tout (A, B, A′ , B ′ ) tels que ASA′ et BSB ′ , si ARB
alors A′ RB ′ .
(e) En déduire l’existence d’une relation R sur P(E)/S telle que pour tout (A, B) ∈ P(E)2 ,
ARB ⇐⇒ A R B.
La barre désigne ici la classe d’équivalence dans P(E) pour la relation R.
(f) Montrer que R est une relation d’ordre sur P(E)/S
3
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MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 17/10/2019
DM no 5 : Relations, réels
Problème 1 – Treillis et algèbres de Boole
Partie I – Treillis
Soit E un ensemble, et 6 une relation d’ordre sur E. On dit que E est un treillis si tout couple (x, y) ∈ E 2 admet une
borne supérieure et une borne inférieure. On notera dans ce cas x a y la borne inférieure et x ` y la borne supérieure.
1. Montrer que si (E, 6) est un ensemble totalement ordonné, alors E est un treillis.
2. Les ensembles ordonnés suivants sont-ils des treillis ? Si oui, donner l’expression x a y et x ` y pour tout couple
(x, y) :
(i) N∗ muni de la relation de divisibilité
(ii) P(X), muni de la relation d’inclusion (X étant un ensemble quelconque)
On dit qu’un treillis est borné s’il admet un minimum, qu’on notera 0 et un maximum, qu’on notera 1. Un treillis
E borné est dit complémenté si et seulement si pour tout élément x il existe un élément xc , appelé complémentaire,
vérifiant x a xc = 0 et x ` xc = 1. On dit qu’il est distributif si a est distributif sur `, et inversement.
3. Montrer que pour tout ensemble X, P(X) est un treillis borné complémenté et distributif.
4. Soit (E, 6) un treillis borné, complémenté et distributif.
(a) Soit x ∈ E. Que valent x a 0, x ` 0, x a 1 et x ` 1 ?
(b) Montrer que a est associatif, à savoir : ∀(x, y, z) ∈ E 3 , inf(inf(x, y), z) = inf(x, inf(y, z)).
On admet sans justification que ` est également associatif.
(c) Montrer que tout x ∈ E admet un unique complémentaire xc .
Indication : Si x′ et x′′ sont deux complémentaires, on pourra considérer y = (x a x′ ) ` x′′ .
(d) Montrer que pour tout couple (x, y) ∈ E, on a les relations (appelées lois de de Morgan) : (x a y)c = xc ` y c
et (x ` y)c = xc a y c .
5. On définit deux lois + et × sur E par :
∀(x, y) ∈ E, x + y = (x a y c ) ` (xc a y)
et
x×y =xay
(a) Déterminer, pour tout x ∈ E, x + 0, x × 1, x2 et x + x.
(b) Montrer que + est commutative et associative, que × est associative et distributive sur l’addition.
Ces propriétés montrent que tout treillis borné complémenté et distributif peut être muni d’une structure d’algèbre
de Boole dans le sens défini dans la partie suivante.
Partie II – Algèbres de Boole
Une algèbre de Boole est un ensemble A, muni d’une loi d’addition notée +, et d’une loi de multiplication notée ×,
telles que :
• les lois + et × sont associatives, c’est-à-dire, pour tout (x, y, z) ∈ A3 , (x + y) + z = x + (y + z) et (x × y) × z =
x × (y × z) ;
• la loi + est commutative (donc vérifie x + y = y + x) ;
• il existe un élément neutre 0 pour la loi d’addition, c’est-à-dire vérifiant : ∀x ∈ A, x + 0 = x ;
• il existe un élément neutre 1 pour la loi de multiplication ×, c’est-à-dire vérifiant : ∀x ∈ A, x × 1 = x ;
1
• la multiplication est distributive sur l’addition, c’est-à-dire, pour tout (x, y, z) ∈ A3 , x×(y+z) = (x×y)+(x×z) ;
• tout élément x admet un opposé −x pour l’addition (donc vérifiant x + (−x) = 0) ;
• tout élément x de A est idempotent pour ×, à savoir : pour tout x ∈ A, x2 = x, où x2 désigne x × x.
Pour simplifier les notations, on se permettra d’omettre le signe ×, donc d’écrire xy à la place de x × y.
Dans ce qui suit, on se donne A une algèbre de Boole.
1. Soit X un ensemble quelconque. En se servant de certains résultats établis précédemment, montrer que P(X)
est une algèbre de Boole, lorsqu’on le munit des opérations suivantes :
• ∀(Y, Z) ∈ P(X)2 , Y + Z = Y △Z = (Y ∩ ∁X Z) ∪ (∁X Y ∩ Z) (différence symétrique)
• ∀(Y, Z) ∈ P(X)2 , Y × Z = Y ∩ Z.
Quels sont les éléments 0 et 1 ?
2. (a) En considérant (x + y)2 , montrer que pour tout (x, y) ∈ A2 , xy + yx = 0.
(b) En déduire que :
i. pour tout x ∈ E, −x = x ;
ii. la loi × est commutative.
3. On définit sur A une relation 6 par :
∀(x, y) ∈ A, x 6 y ⇐⇒ xy = x.
(a) Montrer que 6 est une relation d’ordre sur A.
(b) Montrer que pour cette relation d’ordre 0 est le minimum de A, et 1 le maximum.
(c) Montrer que pour tout (x, y) ∈ A2 , x a y existe, et vaut xy.
(d) Montrer que pour tout (x, y) ∈ A2 , x ` y existe et vaut x + y + xy.
(e) Montrer que a et ` sont associatives, commutatives, et distributives l’une par rapport à l’autre.
(f) Montrer que tout élément x de A admet un complémentaire xc , dans le sens défini dans la partie I.
Ainsi, toute algèbre de Boole peut être muni d’une relation d’ordre qui en fait un treillis borné complémenté distributif.
La réciproque avait été établie dans la partie I.
Partie III – Description des algèbres de Boole finies
Le but de cette partie est d’établir que toute algèbre de Boole est isomorphe (c’est-à-dire en bijection, avec conservation
de la structure) à l’algèbre de Boole P(E) des parties d’un ensemble.
Étant donné deux algèbres de Boole A et B, munies des relations d’ordre décrites dans la partie II, on dit que l’application h : A −→ B est un homomorphisme d’algèbres de Boole si pour tout (x, y) ∈ A2 , h(x a y) = h(x) a h(y) et si
h(xc ) = h(x)c . On dit qu’il s’agit d’un isomophisme si de plus h est bijective.
Étant donné une algèbre de Boole A, on appelle atome de A tout élément minimal de A \ {0}, donc tout élément a tel
que les seuls éléments x tels que x 6 a sont 0 et a lui-même.
Soit A une algèbre de Boole finie.
1. En considérant m(x) l’ensemble des minorants stricts de x, montrer que tout x non nul de A est minoré par au
moins un atome.
2. (a) Soit (x, y) ∈ A2 , et a un atome de A. Montrer que si a 6 x ` y et si a
x, alors a 6 y
Indication : on pourra considérer a a (x ` y).
(b) En déduire que pour tout (x1 , . . . , xn ) ∈ An et tout atome a, si a 6 x1 ` x2 ` · · · ` xn , alors a 6 x1 ou
a 6 x2 ou ... ou a 6 xn .
3. Soit E l’ensemble des atomes de A, et h : A −→ P(E) définie par :
∀x ∈ A, h(x) = {a ∈ E | a 6 x}.
(a) Montrer que h est un homomorphisme d’algèbres de Boole
2
(b) Soit X = {a1 , . . . , ak } ∈ P(E), et x = a1 ` · · · ` ak ∈ A. Montrer que h(x) = X. Qu’en déduit-on sur h ?
(c) Montrer que h est injective. Conclure.
Problème 2 – Le premier nombre transcendant connu
Soit c la constante de Liouville, définie par :
c=
+∞
X
10−k! = lim
n→+∞
k=0
n
X
10−k! .
k=0
Le but est de démontrer que c est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients
entiers ou rationnels. On établit en fait cette propriété pour une famille plus large de réels, appelés nombres de Liouville.
Nous démontrons d’abord dans la question 1 que c est bien défini, puis dans la question 2 que c est irrationnel.
1. Convergence de la série définissant c
En étudiant la convergence de la série, montrer l’existence de la constante de Liouville c =
+∞
X
10−k! .
k=0
2. Irrationnalité de c
(a) Montrer que pour tout n ∈ N,
+∞
X
10−k! 6
k=n+1
1
.
9 · 10(n+1)!−1
(b) Supposons qu’il existe deux entiers p et q tels que c =
encadrant p10n! , trouver une contradiction. Conclure.
p
q.
En remarquant que 10n! Sn est entier, et en
3. Inégalité des accroissements finis
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. À l’aide d’une intégration, montrer que si f est une fonction dérivable sur un
intervalle [a, b], de dérivée continue sur [a, b] et telle que |f ′ | est majorée par M , alors |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|.
Justifiez que cette expression est encore valable si b 6 a, l’inervalle considéré étant alors [b, a].
4. Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
Le but de cette question est de démontrer le théorème de Liouville, s’énonçant ainsi :
Théorème de Liouville. Soit α un nombre algébrique non rationnel. Alors il existe un réel A > 0 et un entier
p
p
A
d > 2, tels que pour tout nombre rationnel , ((p, q) ∈ Z × N∗ ), on ait : α −
> d.
q
q
q
Ce théorème affirme que les nombres algébriques non rationnels sont « assez mal » approchés par des rationnels.
Soit α un nombre algébrique, c’est-à-dire tel qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers vérifiant
P (α) = 0. On suppose de plus que α n’est pas rationnel.
On admettra dans cette question qu’une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée.
(a) Montrer qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers tel que P (α) = 0, de degré minimal dans
l’ensemble de tous les polynômes non nuls vérifiant cette propriété. On se donne désormais un tel polynôme
P et on note d son degré.
(b) Justifier que d > 2.
(c) Montrer que P ne peut pas avoir de racine rationnelle.
p
d
∗
> 1.
(d) En déduire que pour tout (p, q) ∈ Z × N , q P
q
(e) À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, en déduire l’existence d’un réel M > 0 tel que pour tout
p
p
6 1, on ait :
nombre rationnel ((p, q) ∈ Z × N∗ ) tel que α −
q
q
α−
p
1
.
>
q
M qd
1
, montrer le théorème de Liouville.
(f) En posant A = min 1,
M
3
5. Transcendance de c
On appelle nombre de Liouville un réel irrationnel x tel que :
∀n ∈ N∗ , ∃(pn , qn ) ∈ Z × (N \ {0, 1}) ,
x−
pn
1
6
.
qn
(qn )n
(a) À l’aide du théorème de Liouville, montrer qu’un nombre de Liouville n’est pas algébrique (on dit qu’il est
transcendant).
(b) En déduire que c est transcendant.
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 14/11/2019
DM no 5 : Complexes
Problème 1 – Théorème de Liouville
Dans ce problème, on s’intéresse à certaines propriétés des fonctions dites « analytiques » ou (« holomorphes ») sur
une boule B(0, R), R ∈ R∗+ ∪ +∞. Nous montrons notamment le théorème de Liouville, affirmant qu’une fonction
analytique sur C et bornée est constante, théorème qui fournit une preuve assez simple du théorème de d’AlembertGauss (à condition de connaître quelques propriétés des fonctions analytiques). La démonstration usuelle se fait par
des calculs d’intégrales le long de cercles ( via le théorème de l’indice de Cauchy). La preuve exposée ci-dessous est une
variation de cette méthode, utilisant la description d’une intégrale sur un cercle par des sommes de Riemann sur le
cercle.
Rappels, résultats admis, définitions et notations
P
• On rappelle (et on pourra l’utiliser sans preuve) que si une série réelle
un converge absolument (c’est-à-dire
P
|un | converge), alors elle converge. On admettra que cela reste vrai pour des séries à termes complexes (la
valeur absolue étant alors remplacée par le module).
• On rappelle également le théorème de comparaison des séries à termes positifs (TCSTP) affirmant que si pour
P
P
tout n ∈ N (ou au moins à partir d’un certain rang), 0 6 un 6 vn , et si
vn converge, alors
un converge.
P n
• On pourra utiliser sans preuve le fait que les séries géométriques complexes
a convergent si et seulement si
|a| < 1.
• On note, pour tout n ∈ N∗ et tout k ∈ Z,
ωn,k = e
2 i πk
n
,
ζn,k = ei
(2k+1)π
n
et
αn,k = ωn,k+1 − ωn,k .
On remarquera qu’à n fixé, ces suites sont n-périodiques de la variable k.
• Soit D ⊂ C un domaine de C contenant U. Pour toute fonction f : D → C, on définit pour tout n > 2,
In (f ) =
n−1
X
αn,k f (ζn,k ),
k=0
et, si cette limite existe,
I(f ) = lim In (f ).
n→+∞
On s’autorisera l’abus de notation consistant à remplacer dans cette expression la fonction f par son expression,
qu’on écrira alors toujours de la variable z. Ainsi, I(z 2 ) désigne I(f ) pour la fonction f : z 7→ z 2 .
I(f ) est en réalité l’intégrale de f le long du cercle unité U, calculé ici par des sommes de Riemann.
• On dit qu’une fonction f définie sur une boule ouverte B(0, R) (pour R ∈ R ∪ {+∞}) est analytique (ou
holomorphe) sur B(0, R) s’il existe une suite de complexes (ak )k∈N tels que
∀z ∈ B(0, R), f (z) =
+∞
X
ak z k ,
k=0
ce qui sous-entend au passage la convergence de cette série pour tout z de B(0, R). Le cas R = +∞ correspond
au cas d’une fonction définie sur C entier, la série associée étant convergente pour toute valeur de C.
Partie I – Quelques calculs préliminaires
1. Soit f et g deux applications à valeurs dans C, définies sur D contenant U, et λ et µ deux complexes. Justifier
que si ces quantités existent, I(λf + µg) = λI(f ) + µI(g).
1
2. Soit f tel que I(f ) existe. Supposons qu’il existe M tel que |f | 6 M sur U. Montrer que pour tout n ∈ N,
|In (f )| 6 2πM , puis |I(f )| 6 2πM .
3. Montrer que pour tout n > 2, In (1) = 0, et en déduire I(1).
π 1
1
4. Montrer que pour tout n > 2, In
= 2 i sin
× n et en déduire I
.
z
n
z
5. En adaptant le calcul de la question précédente, montrer que pour tout p ∈ Z \ {−1}, I (z p ) = 0.
1
P (z)
6. En déduire que pour tout polynôme P , P (0) =
, et plus généralement, pour tout N > 0,
I
2iπ
z
P (z)
N!
(N )
,
I
P
(0) =
2iπ
z N +1
où P (N ) est le polynôme obtenu en dérivant « formellement » par rapport à la variable complexe, en admettant
que les règles de dérivation des monômes sont les mêmes que pour une dérivation par rapport à une variable
réelle.
Partie II – Intégrale circulaire d’une fonction holomorphe
Dans cette partie, f : z 7→
+∞
X
ak z k désigne une fonction analytique sur B(0, R), où R > 1.
k=0
1. Justifier qu’il existe r > 1 tel que (ak rk )k∈N soit bornée. On se donne désormais un tel r.
+∞
X
2. Soit RN (z) =
ak z k . Montrer l’existence d’un réel M tel que pour tout N ∈ N, et tout z ∈ U,
k=N +1
|RN (z)| 6
M r−N +1
.
1 − r−1
3. En déduire une majoration de |In (RN )|, puis montrer que I(f ) = 0.
Partie III – Théorème de Liouville et théorème de d’Alembert-Gauss
On garde les notations de la partie précédente. Soit N ∈ N.
1
f (z)
1. En écrivant z 7→ N +1 comme somme d’une fonction analytique et de fonctions z 7→ k , k > 0, montrer que
z
z
1
f (z)
aN =
.
I
2iπ
z N +1
En admettant qu’une série du type définissant f peut se dériver terme à terme par rapport à la variable complexe
z, on vérifie facilement que f (N ) (0) = N !aN . Ainsi, cette formule est l’analogue de la dernière formule démontrée
dans la partie I.
2. On suppose maintenant que f est analytique sur C, et bornée, et on note M telle que |f | 6 M sur C.
En considérant la fonction g : z 7→ f (rz), montrer que pour tout r > 0
|aN | 6
M
.
rN
3. En déduire le théorème de Liouville : si f est analytique sur C et bornée, alors f est constante.
4. En admettant que l’inverse d’une fonction analytique ne s’annulant pas est encore une fonction analytique, et
qu’une fonction continue sur une boule fermée bornée est bornée, en déduire le théorème de d’Alembert-Gauss.
Partie IV – Un cas particulier d’une formule de Cauchy
Dans cette partie, nous généralisons les résultats de la partie 1, en montrant que plus généralement, on peut exprimer
la valeur de P (z) pour tout z de B(0, 1) sous une forme intégrale. Ceci est remarquable en le sens que ceci permet de
retrouver l’expression de P sur tout B(0, 1) ne connaissant P que sur U.
Soit z0 ∈ C tel que |z0 | < 1, et r tel que |z0 | < r < 1, et p ∈ N.
2
1. Soit N > p fixé. Montrer que
I
z
p−1
N X
z0 ℓ
ℓ=0
z
!
= 2 i πz0p .
2. Après avoir justifié rapidement l’existence de la somme infinie pour tout z de module 1, montrer que
!
+∞ ℓ
X
2π|z0 |N +1
z
0
6
In z p−1
z
1 − |z0 |
ℓ=N +1
zp
= 2 i πz0p
z − z0
4. Montrer que pour tout polynôme P ,
3. En déduire que I
P (z0 ) =
5. Montrer que pour tout n ∈ N, In
+∞
X
k=N +1
ak
1
I
2iπ
!
zk
z − z0
P (z)
z − z0
.
est majoré par une expression indépendante de n, et
tendant vers 0 lorsque N tend vers +∞.
f (z)
1
.
I
6. Montrer que f (z0 ) =
2iπ
z − z0
Cette formule est un cas particulier d’une formule due à Cauchy (formule de l’indice).
Question subsidiaire : Montrer qu’une fonction analytique sur B(0, R) est continue sur ce domaine, dérivable de
(z)
admet une limite lorsque la variable
la variable z (c’est à dire qu’en tout point z, le taux d’accroissement f (z+h)−f
h
complexe h tend vers 0), et même infiniment dérivable et exprimer les dérivées successives sous forme de sommes.
3
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 28/11/2019
DM no 7 : Continuité, dérivabilité
Problème 1 – Une fonction continue partout dérivable nulle part
Partie I – Une limite non continue de fonctions continues
Soit I un intervalle de R, et soit (fn )n∈N une suite de fonctions de I dans R. On dit que la suite (fn )n∈N converge
simplement vers la fonction f : I → R si pour tout x ∈ I, la suite numérique (fn (x))n∈N converge vers f (x).
Nous donnons un exemple montrant que si (fn ) converge simplement vers f , même si toutes les fonctions fn , n ∈ N
sont continues, la fonction limite f n’est pas forcément continue. Ainsi, la continuité n’est pas forcément préservée par
passage à la limite.
Soit x0 ∈ R et n ∈ N. On définit la fonction fx0 ,n de R dans R par :
2
∀x ∈ R, fx0 ,n (x) = e−n(x−x0 ) .
1. Montrer que pour tout x0 ∈ R et pour tout n ∈ N, fx0 ,n est de classe C ∞ .
2. Montrer que la suite (fx0 ,n )n∈N converge simplement vers une fonction fx0 que l’on déterminera.
3. fx0 est-elle continue sur R ?
Soit m ∈ N∗ , et x1 , . . . , xm des réels deux à deux distincts. On considère pour tout n ∈ N, la fonction
fn = fx1 ,n + · · · + fxm ,n .
4. Justifier que pour tout n ∈ N, fn est de classe C ∞ .
5. Montrer que (fn )n∈N converge simplement vers une fonction qui n’est continue en aucun des points xi , i ∈ [[1, m]].
Partie II – Un critère de continuité pour des séries de fonctions
D’après la partie précédente, on ne peut pas conclure directement à la continuité de la limite d’une suite de fonctions
continues (et donc à la continuité d’une somme d’une série de fonctions continues). L’objet de cette partie est de
donner un critère simple de continuité d’une limite de suite de fonctions ou d’une somme de série de fonctions.
On dit que la suite (fn )n∈N de fonctions de I dans R converge uniformément vers la fonction f si
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x ∈ I, ∀n > N, |fn (x) − f (x)| < ε.
Ainsi, contrairement au cas de la convergence simple, N est indépendant de x. On peut donc contrôler de façon globale
la convergence de la suite vers f : pour tout ε > 0, on peut trouver un « voisinage tubulaire » de la courbe de f
(c’est-à-dire un « tube » encadrant la courbe de f à ε près des deux côtés) dans lequel vont se tracer les courbes des
fn à partir d’un certain rang.
1. Montrer que la suite (fx0 ,n )n∈N de la partie I n’est pas uniformément convergente.
2. Justifier qu’une suite uniformément convergente est simplement convergente.
3. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers f . Montrer que f est continue
sur I.
P
P
P
Soit
fn une
fn converge simplement si pour tout x ∈ I,
fn (x) converge.
P série de fonctions de I dans R. On dit
P
On dit que
fn converge uniformément si la suite des sommes partielles converge uniformément. On dit que
fn
converge normalement s’il existe une suite positive (an )n∈N tel que :
X
an converge,
et
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, |fn (x)| 6 an .
P
P
4. Montrer que si
fn converge normalement, alors
fn converge uniformément.
1
Partie III – La fonction de Weierstrass : une fonction partout continue nulle part dérivable
On étudie ici une fonction, obtenue comme limite d’une série de fonction. On montre que cette fonction est continue
sur R, mais dérivable en aucun point de R. L’exemple qui suit a été donné par Weierstrass en 1861 (pour des valeurs
particulières de a et b). De nombreux autres exemples de fonctions partout continues et nulle part dérivables peuvent
être trouvés dans la littérature mathématique (Gini, Bolzano, Van der Waerden...)
Soit b ∈]0, 1[, et a un entier positif impair tel que ab > 1 + 23 π. On définit f par :
∀x ∈ R, f (x) =
+∞
X
bn cos(an πx).
n=0
1. Justifier que f est bien définie sur R et continue sur R.
Soit x ∈ R. Soit h ∈ R∗ . Soit m ∈ N∗ . On pose
Sm (h) =
m−1
1 X n
b (cos(an π(x + h)) − cos(an πx))
h n=0
et
Rm (h) =
+∞
1 X n
b (cos(an π(x + h)) − cos(an πx)).
h n=m
(ab)m
2. Montrer que : ∀h ∈ R∗ , |Sm (h)| 6 π
.
ab − 1
1 − βm
1
, et βm = am x − αm . On pose hm =
.
Soit αm = am x +
2
am
3
3. Justifier que |hm | 6 m .
2a
4. Soit n un entier supérieur ou égal à m.
(a) Montrer que cos(πan (x + hm )) = (−1)αm +1 . Calculer de même cos(πan−m αm ) et sin(πan−m αm ) en fonction
de αm .
(b) En déduire que cos(an πx) = (−1)αm cos(πan−m βm ).
π(ab)m
bm
, puis que |Rm (hm )| >
.
5. Montrer que |Rm (hm )| >
|hm |
ab − 1
f (x + hm ) − f (x)
2(ab)m ab − 1 + 3π
2
6. Montrer que :
>
·
.
hm
3
ab − 1
7. Montrer que f n’est dérivable en aucun réel x.
Problème 2 – Discontinuités des fonctions réglées
Soit I un intervalle de R. Une fonction f est dite réglée si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en
tout point où cela est envisageable. Le but de ce problème est de montrer qu’une fonction réglée ne peut pas admettre
trop de points de discontinuité (i.e. de points en lesquels elle n’est pas continue). Plus précisément, on montre que le
nombre de points de discontinuité d’une fonction réglée sur R est au plus dénombrable. Dans une deuxième partie, on
montre que réciproquement, tout sous-ensemble au plus dénombrable de R est l’ensemble des points de discontinuité
d’une fonction réglée.
On admettra dans ce problème le théorème de Bolzano-Weierstrass affirmant que de toute suite (un ) à valeurs dans
un intervalle fermé borné [a, b], on peut extraire une sous-suite (vn ) convergente dans [a, b], (une sous-suite ou suite
extraite étant une suite vérifiant pour tout n ∈ N, vn = uϕ(n) , où ϕ est strictement croissante de N dans N). Une
preuve de ce résultat a déjà été vue dans un devoir antérieur, et sera rappelée en cours prochainement.
On rappelle également qu’un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec N, et qu’il est au plus
dénombrable s’il est fini ou dénombrable. On rappelle enfin qu’une union d’un nombre au plus dénombrable d’ensembles
au plus dénombrables est encore au plus dénombrable.
Partie I – Une fonction réglée n’est pas trop discontinue
Soit f une fonction réglée sur R. Pour simplifier les écritures, on notera f (a− ) et f (a+ ) les limites à gauche et à droite
respectivement de f au point a. On considère dans un premier temps un intervalle fermé borné I.
On note, pour tout ε > 0, Dε = {a ∈ I | |f (a) − f (a− )| > ε}
[
1. Montrer que f|I n’est pas continue à gauche en un point a de I si et seulement si a ∈
D1/n .
n∈N∗
2. Soit ε > 0. On suppose ici que Dε est infini. Justifier l’existence d’une suite convergente (an )n∈N d’éléments 2
à 2 distincts de Dε . On note a sa limite.
2
3. Justifier que soit la suite (an )n∈N possède une infinité de termes vérifiant an > a soit elle possède une infinité
de termes vérifiant an < a (disjonction non exclusive).
4. Supposons qu’il existe une infinité de termes tels que an > a. Quitte à extraire une suite, on peut alors supposer
que pour tout n ∈ N, an > a.
(a) Justifier pour tout n ∈ N, l’existence de bn ∈]a, an [ tel que |f (an ) − f (bn )| >
ε
2
(b) Trouver une contradiction.
5. Adapter ce raisonnement au cas où il existe une infinité de termes an vérifiant an < a.
6. Conclure.
Partie II – Une fonction réglée d’ensemble de discontinuité au plus dénombrable imposé
Soit A un sous-ensemble au plus dénombrable de R. On s’interroge dans cette partie sur l’existence d’une fonction
réglée dont le domaine de discontinuité est exactement A.
1. Si A est fini, donner une fonction réglée dont l’ensemble des points de disonctinuité est exactement A.
2. On suppose désormais A dénombrable, et on se donne une suite (an )n∈N dont les éléments sont deux à deux
distincts, et telle que A = {an , n ∈ N}. On définit fn = 21n 1]an ,+∞[ .
(a) Montrer que pour tout x ∈ R,
application f : R → R.
+∞
X
fn (x) est convergente. On note f (x) sa somme. Cela définit donc une
n=0
(b) Montrer que f est croissante.
(c) Soit x < y. Montrer que
f (y) − f (x) =
X
n|x<an 6y
1
.
2n
(d) En déduire que l’ensemble des points de discontinuité de f est exactement A, et conclure.
On s’attachera à donner un raisonnement aussi rigoureux que possible dans cette dernière question.
3
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 05/12/2019
DM no 8 : Études de fonctions, fonctions usuelles
Exercice 1 – (Étude d’une fonction)
1 p
On définit la fonction f : x 7→ e x |x(x + 2)|.
1. Donner le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de f . Étudier la dérivabilité à gauche et à
droite en −2.
2. Étudier les variations de f (on pourra dériver x 7→ ln(f (x)) afin d’exprimer f ′ en fonction de f ).
3. Étudier les limites de f aux bornes de son domaine de définition, et déterminer les demi-tangentes aux bornes
du domaine et en −2.
4. Montrer que f admet une asymptote oblique (D) en +∞ et une asymptote oblique (D′ ) en −∞, et exprimer
leurs équations.
5. Étudier la position de la courbe par rapport à l’asymptote (D) sur ]0, +∞[.
6. Étudier la position de la courbe par rapport à l’asymptote (D′ ) sur ] − ∞, −2[.
7. Étudier la concavité de f .
8. On prolonge f en 0 en posant f (0) = 0. Montrer que f est infiniment dérivable à gauche en 0 et déterminer
(n)
pour tout n ∈ N, fg (0).
9. Tracer soigneusement la courbe représentative de f .
Problème 1 – Formule de Machin et calcul de π
Dans ce problème, on démontre la formule de John Machin (1706) :
4 Arctan
1
π
1
− Arctan
= ,
5
239
4
et on montre comment cette formule peut être utilisée pour le calcul approché de π. On s’intéresse ensuite à l’existence
d’autres formules de type « Machin » reliant 2 arctangentes ou plus.
Partie I – Formule de Machin
On pose θ = Arctan 15
1. Calculer tan(2θ), puis tan(4θ), puis montrer que
1
π
=
.
tan 4θ −
4
239
2. En déduire la formule de Machin.
3. On propose ci-dessous une autre présentation de cette démonstration, passant par l’utilisation des nombres
complexes.
(a) Montrer que pour tout nombre complexe z = a + i b, avec a, b ∈ R, et a 6= 0, on a :
b
arg(z) ≡ arctan
mod π
a
(b) Vérifier (sans calculatrice) que
(5 + i)4
= 2 × (1 + i),
239 + i
et conclure.
1
Partie II – Calcul approché de π
On montre dans cette partie comment la formule de Machin peut être utilisée pour calculer une valeur approchée de
π. On note f la fonction Arctan.
1. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[,
f ′ (x) =
+∞
X
(−1)k x2k .
k=0
2. En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[,
f ′ (x) −
n
X
(−1)k x2k 6 x2n+2 .
k=0
3. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[,
n
X
(−1)k x2k+1
Arctan (x) −
2k + 1
k=0
6 x2n+3
4. Étant donné ε > 0, exprimer en fonction de ε un entier n0 et un entier m0 tels que
n0
m0
X
X
ε
(−1)k
(−1)k
ε
1
1
6 .
− 16
−
4
6
et
4
Arctan
16 Arctan
2k+1
2k+1
5
(2k + 1)5
2
239
2
(2k + 1)239
k=0
Application numérique pour ε = 10
bien entendu).
k=0
−15
et ε = 10
−100
(précision du calcul de π effectué par Machin, à la main
5. Écrire une fonction en Python calculant π à une marge d’erreur ε près fournie en paramètre. Si vous implémentez
cet algorithme, donner la valeur obtenue pour ε = 10−15 .
Partie III – D’autres formules de type « Machin »
1. (a) Calculer (2 + i) × (3 + i), et en déduire une expression de
π
4
comme somme de deux arctangentes simples.
(b) Retrouver cette formule sans utiliser les nombres complexes, en adaptant la première méthode de la partie
I.
2. Montrer de même, par 2 méthodes différentes, que :
1
1
π
= 2 Arctan − Arctan
4
2
7
et
π
1
1
= 2 Arctan + Arctan .
4
3
7
3. Démontrer que
1
1
1
π
= Arctan + Arctan + Arctan .
4
2
5
8
Quelle est la condition pour qu’une formule de Machin donne une bonne convergence vers π ? Que dire de cette
formule ?
Pour information, on donne une formule démontrée par Gauss :
π
1
1
1
= 12 Arctan
+ 8 Arctan
− 5 Arctan
.
4
18
57
239
Vous pouvez vous amuser à essayer de la démontrer...
En voici une autre (Hwang Chien-Lih, 2003) :
π
1
1
1
1
= 183 Arctan
+ 32 Arctan
− 68 Arctan
+ 12 Arctan
4
239
1023
5032
113021
1
1
1
− 12 Arctan
+ 12 Arctan
− 100 Arctan
6826318
33366019650
43599522992503626068
Problème 2 – Etude d’une fonction réciproque
Soit f la fonction définie sur R par la relation : f (t) = t3 + t.
Dans la première partie, on étudie la fonction réciproque g de f . Dans la deuxième partie, on étudie un algorithme
d’approximation de g à l’aide d’une suite de fonctions rationnelles.
Dans tout le problème, on pourra admettre et utiliser les trois théorèmes suivants :
2
• Théorème de compacité : Une fonction f continue sur intervalle fermé borné [a, b] est bornée (et atteint ses
bornes)
• Inégalité des accroissements finis : si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] et dérivable
sur ]a, b[, et si m 6 f ′ 6 M sur ]a, b[, alors
m(b − a) 6 f (b) − f (a) 6 M (b − a).
• Théorème de la bijection : si f est une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle I, elle se
corestreint en une bijection de I sur Im(f ).
PARTIE I – Étude de g
1. Variations de g.
(a) Étudier la fonction f . On déterminera notamment le(s) point(s) d’inflexion et la convexité de f .
(b) Tracer la courbe représentative C de f . On tracera la tangente au(x) point(s) d’inflexion
(c) Montrer que f admet une fonction réciproque g : R → R. Ainsi, pour tout x ∈ R,
g 3 (x) + g(x) = x.
(d) Montrer que g est strictement croissante et impaire. Déterminer les limites de g en −∞ et +∞.
(e) Étudier les variations et les propriétés de convexité de g ainsi que les points d’inflexion de g. On donnera
l’expression de g ′ .
(f) Montrer que g est de classe C ∞ .
(g) Tracer la courbe représentative de g dans le même repère que C. Expliquez votre construction.
2. Étude de g ′ – Certaines propriétés de g ′ ne se déduisent pas de f ′ .
(a) La courbe de f ′ admet-elle des points d’inflexion ?
(b) Soit a ∈ R et α une fonction continue sur [a, +∞[. Montrer que si α(a) =
lim α(x), alors il existe
x→+∞
c ∈]a, +∞[ tel que α présente un extremum local en c.
(c) En que g ′ admet au moins deux points d’inflexion.
3. Étude locale et asymptotique de g
Lorsque f et g sont définis et ne s’annulent pas sur un voisinage de a (sauf éventuellement en a), on dit que
f (x)
= 1. Ainsi, f et g sont de même
f et g sont équivalents en a, et on note f (x) ∼ g(x) si et seulement si
a
g(x)
ordre de grandeur lorsque x est proche de a.
(a) Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur l’ensemble Fa des fonctions h pour lesquelles il existe un
a
voisinage V de a tel que pour tout x ∈ V \ {a}, h(x) 6= 0.
(b) Montrer que g(x) ∼ x.
0
(c) En déduire que g(x) − x ∼ −x3 .
0
1
3
(d) Montrer que g(x) ∼ x .
+∞
1
(e) On définit h sur R∗ par g(x) = x 3 (1 + h(x)). Justifier que h est bien défini, et déterminer sa limite en +∞.
2
(f) Déterminer une relation satisfaite par h, et en déduire l’existence et la valeur de la limite de x 3 h(x) lorsque
x tend vers +∞.
4. Étude d’une primitive de g – Nécessite le théorème de changement de variables (voir chapitre 9)
Z x
g(u) du.
Soit G la fonction définie sur R par la relation G(x) =
0
(a) À l’aide du changement de variable u = f (t), calculer G en fonction de g.
(b) Déterminer les variations et la parité de G.
(c) Déterminer un équivalent de G au voisinage de 0 et un équivalent de G au voisinage de +∞.
3
PARTIE II – Approximation rationnelle de g
Dans cette partie, on prend x dans l’intervalle [0, +∞[. On interprète g(x) comme l’unique solution de l’équation
t3 + t = x, c’est-à-dire comme l’abscisse du point d’intersection de la courbe C avec la droite Dx parallèle à l’axe des
abscisses, et l’ordonnée x. On se propose d’approcher g par des fonctions rationnelles un , construites par l’algorithme
de Newton. Pour cela, on pose u0 (x) = x et on prend pour u1 (x) l’abscisse du point d’intersection de Dx avec la
tangente à C au point d’abscisse x ; on itère ce processus en considérant l’abscisse un+1 (x) du point d’intersection de
Dx avec la tangente à C au point d’abscisse un (x).
1. Construction de l’algorithme d’approximation
Soit t un nombre réel positif. Expliciter en fonction de t et de x l’abscisse du point d’intersection de Dx avec la
tangente à C au point d’abscisse t. En déduire une relation de récurrence définissant la suite (un (x))n∈N .
2. Étude graphique d’un exemple
Dans cette question, x = 1. Sur une même figure, tracer soigneusement l’arc de C correspondant aux valeurs de
t appartenant à l’intervalle [0, 1] et construire u1 (1) et u2 (1).
3. Étude de l’algorithme
Soit ϕ la fonction numérique qui à tout nombre réel positif t associe :
ϕ(t) =
2t3 + x
.
3t2 + 1
(a) Montrer que g(x) est un point fixe de ϕ.
(b) Déterminer, pour tout t > 0, le signe de t − ϕ(t) en fonction de celui de f (t) − x.
(c) Déterminer le signe de ϕ′ (t) en fonction de celui de f (t) − x. En déduire les variations de ϕ sur l’intervalle
[g(x), x].
(d) Montrer que l’intervalle Ix = [g(x), x] est stable par ϕ, c’est-à-dire ϕ(Ix ) ⊂ Ix .
(e) Montrer que pour tout t ∈ [g(x), x],
0 6 ϕ′ (t) 6
2
.
3
4. Étude de la convergence
(a) Montrer que pour tout x > 0, la suite (un (x)) est décroissante, et qu’elle converge vers g(x).
2
(b) Prouver que pour tout nombre entier naturel n, 0 6 un+1 (x) − g(x) 6 (un (x) − g(x)).
3
n
2
(c) Soit a un nombre réel positif. On pose βn = sup (un (x) − g(x)). Montrer que βn 6
a.
3
x∈[0,a]
(d) Montrer que, pour tout nombre réel positif t : ϕ(t) − g(x) = (t − g(x))2
2t + g(x)
.
3t2 + 1
3t
sur R. On déterminera notamment ses limites, ses extrema, ses points
3t2 + 1
d’inflexion et sa concavité. Tracer l’allure de cette fonction.
√ !2n −1
n
3
(x − g(x))2 ,
(f) En déduire que : 0 6 un (x) − g(x) 6
2
√ !2n −1
n
3
un (x)3·2 .
puis que : 0 6 un (x) − g(x) 6
2
(e) Étudier la fonction t 7→
(g) Écrire une fonction en Python prenant en argument un réel x ∈ [0, 1], une marge d’erreur err et calculant
g(x) à la marge d’erreur err près.
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 19/12/2019
DM no 8 : Intégration
Exercice 1 – (Formule de Plouffe, 1995)
Nous démontrons ici une formule remarquablement simple permettant de calculer assez rapidement et de façon indépendante les chiffres de π en base 2.
+∞
X
4
2
1
1
1
−
−
−
π=
16n 8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6
n=0
1. Soit a ∈]0, 1[, et k ∈ N. Montrer que pour tout t ∈ [0, a[, et tout n ∈ N on a :
n
X
tk
a8(n+1)+k
8ℓ+k
−
t
.
6
1 − t8
1 − a8
ℓ=0
2. En déduire que
Z
a
0
puis que
+∞
X
a8n+k+1
tk
dt
=
,
1 − t8
(8n + k + 1)
n=0
Z 1 5
+∞
X
x + x4 + 2x3 − 4
1
4
2
1
1
=
−16
dx
−
−
−
16n 8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6
16 − x8
0
n=0
3. Quelles sont les racines de 16 − X 8 ? Factoriser dans C puis dans R ce polynôme et remarquer que certains des
facteurs apparaissant dans cette décomposition divisent aussi X 5 + X 4 + 2X 3 − 4.
Z 1 5
x + x4 + 2x3 − 4
4. Calculer alors
dx en utilisant une décomposition en éléments simples de la fraction (ne
16 − x8
0
pas oublier de mettre un numérateur de degré 1 lorsque le dénominateur est un polynôme irréductible sur R de
degré 2). Conclure.
Exercice 2 –
1. Intégrales de Wallis. Soit, pour n ∈ N, In =
Z
π
2
sinn x dx.
0
(a) Calculer I0 et I1 .
n
· In−1 .
n+1
(c) En déduire que pour tout entier p > 0,
(b) Montrer que pour tout n > 1, In+1 =
I2p =
(2p)!
π
·
22p (p!)2 2
et
I2p+1 =
22p (p!)2
.
(2p + 1)!
In+1
In+1
>
.
(d) Étudier le sens de variation de In et en déduire que pour tout n ∈ N, 1 >
In
In−1
(e) En déduire la limite de In+1
, puis la formule de Wallis :
In
n∈N
lim
p→+∞
(2p)!
√
1
p · 2p
= √ .
2 (p!)2
π
n!en
2. Formule de Stirling. Soit, pour n ∈ N∗ , Sn = ln n √ .
n n
1
(a) Soit un = Sn − Sn−1 . Montrer que un = O
n2
(On pourra utiliser un développement limité du logarithme)
1
(b) En déduire que Sn admet une limite finie S dans R.
n!en
σn2
√
, déterminer la valeur de S.
.
En
calculant
de
deux
manières
la
limite
de
nn n
σ2n
√
(d) En déduire la formule de Stirling : n! = nn e−n 2πn(1 + o(1)).
(c) Soit, pour n ∈ N∗ , σn =
Exercice 3 – (Transcendance de e)
Soit e la base des logarithmes népériens. Le but de l’exercice est de montrer que e est transcendant, c’est-à-dire qu’il
n’existe pas de polynôme P à coefficients dans Q, non nul, tel que P (e) = 0.
1. Montrer que pour toute fonction polynomiale f à coefficients dans R, de degré m, on a :
Z
t
et−u f (u) du = et
0
m
X
f (j) (0) −
j=0
m
X
f (j) (t).
j=0
2. Soit n ∈ N∗ . Soient a0 , . . . , an des entiers tels que a0 + a1 e + a2 e2 + · · · + an en = 0, et a0 6= 0. On pose pour
tout p ∈ N∗ et pour tout x ∈ R :
fp (x) = xp−1
n
Y
(x − i)p ,
Z
Ip (x) =
x
ex−u fp (u) du
et
Jp =
0
i=1
n
X
ak Ip (k)
k=0
(a) Montrer que Jp est entier
(j)
(b) Montrer que pour tout k ∈ [[1, n]] et tout j ∈ N, fp (k) est divisible par p!.
∗
(c) Montrer que si p est un nombre premier suffisamment grand, Jp est divisible par (p − 1)! mais pas par p!.
(d) Montrer que
|Jp | 6 C((n)n+1 )p
où
C = nen
n
X
|ak |.
k=0
3. En considérant la limite de
C(nn+1 )p
lorsque p tend vers +∞, trouver une contradiction et conclure.
(p − 1)!
Problème 1 – Calcul de l’intégrale de Dirichlet
Z x
sin(t)
On note pour tout x ∈ R∗+ , I(x) =
dt.
t
0
On pourra utiliser, sans les justifier, les trois résultats suivants :
• une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] est bornée sur [a, b] ;
• une fonction f de classe C 1 sur ]a, b], telle que f ′ (x) −→+ ℓ admet un prolongement par continuité en a, qui est
x→a
de classe C 1 sur [a, b] ;
• au voisinage de 0, sin(t) − t ∼ −
t3
.
6
Z x
On rappelle par ailleurs que si f et g sont deux fonctions continues sur R+ , telles que |f | 6 g sur R∗+ et si
g(t) dt
0
Z +∞
Z x
admet une limite finie lorsque x → +∞ (c’est-à-dire si
g converge), il en est de même de
f (t) dt.
0
0
1. Étude de I(x)
(a) Montrer que I(x) est bien définie pour toute valeur de x.
Z x
sin(t)
dt, montrer que I(x) admet une limite finie
(b) À l’aide d’une intégration par parties sur l’intégrale
t
1
lorsque x tend vers +∞, qu’on note
Z +∞
sin(t)
dt.
I=
t
0
2. Valeur de I (première méthode)
Z π2
sin((2n + 1)t)
(a) Soit, pour tout n ∈ N, In =
dt.
sin(t)
0
i. Justifier que In est bien définie pour tout n ∈ N.
2
ii. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , In − In−1 = 0.
iii. En déduire In pour tout n ∈ N.
(b) Montrer que si f est une fonction de classe C sur l’intervalle [a, b], alors Jn =
1
Z
b
f (t) sin(nt) dt tend vers
a
0 lorsque n tend vers +∞.
(c) En considérant la fonction t 7→ f (t) =
1
1
π
−
, en déduire que I = .
t
sin(t)
2
3. Valeur de I (deuxième méthode)
On admet dans cette question le théorème de Fubini pour les intégrales : Soit f une application continue de R2
dans R. On a alors, pour tout (a, b, c, d) de R4 :
!
!
Z b Z d
Z d Z b
f (x, y) dy dx =
f (x, y) dx dy.
a
c
c
(a) Montrer que pour tout u > 0, et tout x > 0,
Z
a
u
sin(x)e−xy dy =
0
sin(x)
(1 − e−xu ).
x
(b) En déduire que pour tout u > 0, on a :
Z u
Z u
sin(x)
1 − e−yu (cos(u) + y sin(u))
dy.
(1 − e−xu ) dx =
x
1 + y2
0
0
(c) À l’aide d’un passage à la limite dont on justifiera soigneusement toutes les étapes, en déduire la valeur de
I (on pourra procéder par majorations).
4. Estimation du reste
Montrer que, au voisinage de +∞ :
Z
+∞
n
cos(n) sin(n)
sin(t)
+o
=
+
t
n
n2
3
1
n2
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 09/01/2020
DM no 8 : Intégration
Le problème 1 a pour but d’introduire en douceur certains résultats et certaines techniques qu’on retrouvera dans le
problème 2.
Problème 1 –
Dans tout ce problème, on considère la fonction f définie sur R∗+ par f (x) =
par la donnée de u0 ∈ R∗+ et la relation un+1 = f (un ), pour tout n ∈ N.
√
x · ln x + 1, et (un )n∈N la suite définie
1. Étude de la fonction f et existence de (un ).
(a) Justifier que f peut être prolongée par continuité en 0. Si on désigne encore par f la fonction prolongée,
quelle est alors la valeur de f (0) ?
(b) Étudier les variations de f sur R+ , et déterminer l’existence et la valeur d’un minimum de f , en un point
que l’on déterminera.
(c) En déduire que f est positive sur R+ , puis que la suite (un ) est bien définie, quel que soit le choix de u0
dans R∗+ .
(d) Montrer que f est strictement convexe sur ]0, 1[ et strictement concave sur ]1, +∞[.
(e) En considérant la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1, en déduire l’existence et l’unicité d’un
point fixe égal à 1.
(f) Tracer l’allure du graphe de f .
2. Convergence de la suite (un ).
(a) On suppose ici que u0 ∈]0, 1]. Justifier que pour tout n ∈ N, un ∈]0, 1], et en déduire les variations de
(un )n∈N , puis montrer qu’elle est convergente. Quelle est sa limite ?
(b) Étudier de la même façon le cas où u0 ∈]1, +∞[.
3. Un résultat classique : la moyenne de Cesaro.
Cette question est indépendante des précédentes. Le résultat qui y est démontré sera utile pour la fin de l’exercice,
et pourra éventuellement être admis.
On considère ici une suite (an )n∈N , et on définit mn par :
∀n ∈ N∗ , mn =
n−1
1X
ak .
n
k=0
Ainsi, mn est la moyenne des n premiers termes de la suite (an )n∈N . Le but de cette question est de montrer
que si (an )n∈N admet une limite ℓ dans R, alors (mn )n∈N∗ converge également vers ℓ :
(a) On suppose dans un premier temps que (an )n∈N converge vers 0.
i. Soit ε > 0. Justifier l’existence d’un entier n0 tel que, pour tout n > n0 , on ait :
|mn | 6
1
(|a0 | + · · · + |an0 −1 | + (n − n0 )ε) .
n
1
ii. Soit, pour tout n > n0 , bn = (|a0 | + · · · + |an0 −1 | + (n − n0 )ε.) Déterminer la limite de bn lorsque n
n
tend vers +∞ (ε et n0 étant fixé comme dans la question précédente).
1
iii. En déduire l’existence de n1 tel que, pour tout n > n1 , |mn | < 2ε.
iv. Conclure.
(b) On suppose maintenant que (an )n∈N admet une limite ℓ ∈ R. En appliquant le résultat précédent à la suite
(an − ℓ)n∈N , montrer que (mn )n∈N converge vers ℓ.
4. Un équivalent de (un − 1)n∈N .
(a) Montrer que, au voisinage de 0, f (1 + x) = 1 + x −
x3
+ o(x3 ).
24
1
1
1
−
=
.
(f (y) − 1)2
(y − 1)2
12
(c) On suppose que u0 6= 1, ce qui implique que pour tout n ∈ N, un 6= 1. Soit, pour tout n ∈ N, vn = un − 1
1
1
et wn = 2 − 2 . Déduire de ce qui précède la limite de wn
vn+1
vn
!
√
n−1
1X
2 3
(d) En considérant la suite
wk
, justifier que un − 1 ∼ ± √ , le signe étant donné par la position
+∞
n
n
(b) En déduire que lim
y→1
k=0
de u0 par rapport à 1.
n∈N
5. Quelques séries
On suppose ici u0 > 1.
(a) Quelle est la nature de
P
un ?
P
(b) Quelle est, suivant la valeur de α ∈ R, la nature de (un − 1)α ?
P
(c) Étudier la nature de
(−1)n (un − 1) (on pourra montrer que les suites (S2n ) et (S2n+1 ) des sommes
partielles sont adjacentes).
Problème 2 – Autour du lemme de la moyenne de Cesàro
Partie I – Variantes du lemme de Cesàro
1. (a) Soit (an ) une suite d’éléments strictement positifs, telle que Sn =
n
X
ak −→ +∞. Montrer que pour toute
k=0
suite (un ) de réels convergeant vers un réel ℓ, on a
n
1 X
ak uk −→ ℓ.
Sn
k=0
(b) Justifier que le résultat est encore valable si ℓ = +∞ ou ℓ = −∞.
(c) Justifier que le résultat est encore valable pour des suites à valeurs dans C.
(d) Qu’obtient-on lorsque (ak ) est la suite constante égale à 1 ?
(e) Montrer que si un −→ ℓ (dans C ou R), alors
n−1
1 X k
2 uk converge vers ℓ.
2n
k=0
2. (les questions suivantes ne dépendent pas de cette question)
∗
(a) Soit (un )n∈N∗ une suite à valeurs dans R∗+ . En utilisant la question 1(a), montrer que si
n
1 X
uk −→ α ∈ R,
nun
k=1
n
α
1 X
kuk −→
.
alors 2
n un
1+α
k=1
∗∗
(b) Montrer que cela reste vraie pour une suite (un )n∈N à valeurs dans R∗ , α étant supposé strictement positif.
n
X
1
(c) Sous les mêmes hypothèses, que peut-on dire de la limite lorsque n tend vers +∞ de p+1
k p uk ?
n un
k=1
2
Partie II – Une application classique du lemme de Cesàro
Dans cette partie, nous mettons en place, sur un exemple, une méthode permettant d’obtenir un équivalent de un − ℓ
lorsque (un ) est une suite récurrente définie par une relation un+1 = f (un ), et convergeant vers un point fixe ℓ de f ,
en lequel f ′ (ℓ) = 1.
On considère dans cette question la fonction g : x 7→ 21 (sh(x) + sin(x)).
1. (a) Montrer que g induit une bijection de R+ dans R+ . On note f sa réciproque
(b) Montrer, à l’aide d’une formule de Taylor, que pour toute suite (vn ) de limite nulle,
g(vn ) = vn +
1 5
v + o(vn5 ).
5! n
(c) En déduire que pour toute suite (vn ) de limite nulle,
et
f (vn ) ∼ vn
f (vn ) − vn ∼ −
1 5
v .
5! n
2. Soit (un )n∈N la suite définie par la donnée de u0 ∈ R∗+ , et la relation un+1 = f (un ), pour tout n ∈ N.
(a) Montrer que lim un = 0.
(b) Déterminer l’unique valeur de α ∈ R∗+ telle que
1
1
− α admette une limite finie non nulle.
α
f (un )
un
(c) En déduire un équivalent de la suite (un ).
Partie III – Une généralisation de la partie I
1. (a) Montrer que si un −→ ℓ (on se limitera au cas d’une suite réelle telle que ℓ ∈ R), alors
n 1 X n
uk −→ ℓ.
2n
k
k=0
(b) Ce résultat est-il un cas particulier de I-1 ?
2. Dans cette question, on donne un résultat de type Cesàro, englobant aussi bien la situation de la question I-1 que
l’exemple de la question II-1. On définit une suite doublement indexée (an,k )(n,k)∈N2 à valeur réelles strictement
positives, telle que pour tout k > n, an,k = 0. On note, pour tout n ∈ N,
An =
+∞
X
an,k =
k=0
n
X
an,k .
k=0
On définit alors T : NN −→ NN pour tout (un ) par :
T (un ) = (vn )
∀n ∈ N, vn =
où
n
X
an,k uk .
k=0
On dit que T est régulière si et seulement si pour toute suite (un ) convergeant vers un réel ℓ, T (un ) converge
aussi vers ℓ.
(a) Montrer que T est régulière si et seulement si lim An = 1 et pour tout k ∈ N, lim an,k = 0.
n→+∞
n→+∞
(b) Montrer que les questions I-1 et III-1 sont des cas particuliers de ce résultat.
Partie IV – Adaptation du lemme de Cesàro pour des valeurs d’adhérence.
On considère une suite (un ) admettant p valeurs d’adhérences, supposées toutes réelles, et notées a1 , . . . , ap . Pour tout
ε > 0 tout i ∈ [[1, p]] et tout n ∈ N, on note :
An,i (ε) = {k ∈ [[0, n]] | |uk − ai | 6 ε} .
On note alors bn,i (ε) le cardinal de An,i (ε). On fait les hypothèses suivantes :
bn,i (ε)
(i) Pour tout i ∈ [[1, p]] et tout ε > 0 (au moins suffisamment petit),
admet une limite lorsque n tend vers
n
bn,i (ε)
+∞ ; on note pi (ε) = lim
;
n→+∞
n
3
(ii) Pour tout i ∈ [[1, p]], pi (ε) admet une limite lorsque ε tend vers 0. On note pi cette limite.
1. Expliquer la signification intuitive des hypothèses (i) et (ii).
p
X
pi = 1
2. Montrer que
i=1
3. Montrer que
n
X
1X
p i ai
uk converge vers
n
k=0
i∈[[1,p]]
4. Expliquer en quoi le lemme de Cesàro est un cas particulier de ce résultat.
5. Trouver une suite (un )n∈N non convergente telle que sa moyenne de Cesàro converge.
6. Trouver une suite (un )n∈N dont toutes les valeurs d’adhérences sont finies, et en nombre fini, et telle que la
moyenne de Cesàro de (un ) diverge.
7. Soit pour tout n ∈ N, rn le reste modulo 6 de n2 et (un ) une suite convergeant vers 1. Montrer que la moyenne
de Cesàro de (un rn ) converge, et déterminer sa limite.
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 27/01/2020
DM no 11 : Suites, asymptotique
Problème 1 –
PARTIE I – Étude d’une suite définie par une récurrence linéaire.
1. On considère l’équation P (x) = x3 − x2 − 2x + 1 = 0. Montrer qu’elle admet trois racines réelles distinctes
x1 < x2 < x3 vérifiant −2 < x1 < −1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 et x1 + x2 + x3 = 1.
2. Montrer que |x2 | < |x1 | < |x3 |.
3. Soit (an )n∈N la suite définie par les conditions initiales a0 = 0, a1 = 0 et a2 = 1 et la relation an+3 =
an+2 + 2an+1 − an . Montrer que la suite (an )n∈N est croissante, et que pour tout n > 2, an > 0.
4. Expliciter en fonction de x1 , x2 et x3 des coefficients λ1 , λ2 et λ3 tels que
∀n ∈ N, an = λ1 xn1 + λ2 xn2 + λ3 xn3 ,
et vérifier que les coefficients λ1 , λ2 et λ3 sont non nuls.
Dans la suite du problème, il est demandé de ne pas utiliser les expressions explicites de λ1 , λ2 et λ3 .
5. Montrer que an est équivalente à une suite géométrique, qu’on exprimera en fonction de x1 , x2 , x3 , λ1 , λ2 et
λ3 .
an+1
6. Déterminer, en fonction de x1 , x2 et x3 , la limite de bn =
.
an
PARTIE II – Étude et amélioration de la vitesse de convergence de (bn )n∈N .
n
λ1 x1
.
1. Soit pour tout n ∈ N, εn = bn − x3 . Montrer que εn ∼ (x1 − x3 )
+∞
λ3 x3
n
x1
2. En déduire que |bn − x3 | = O
.
x3
!
2
x1
x2
x2 x1
x1
. Vérifier que β <
3. On pose β = max
,
,
, et montrer que
x3
x23
x3
x3
λ1
bn − x3 − (x1 − x3 )
λ3
x1
x3
n
= O(β n ).
n bn+1 − bn
x1
βx3
.
. Justifier que cn −
=O
bn − bn−1
x3
x1
bn+1 − cn bn
. Montrer que dn − x3 = O(β n ). En quoi peut-on dire qu’on a
5. Pour tout n > 3, on pose dn =
1 − cn
accéléré la convergence de la suite ?
4. Pour tout n > 3, on pose cn =
6. Écrire une fonction en Python prenant en paramètre un entier n, et retournant la valeur de dn .
Problème 2 – Polynômes de Bernoulli, nombres de Bernoulli et fonction tangente.
Partie I – Polynômes de Bernoulli
On définit dans cette partie les polynômes de Bernoulli.
1
1. Établir que, pour tout polynôme Q ∈ R[X], il existe un unique polynôme P ∈ R[X] tel que P ′ = Q et
Z 1
P (t) dt = 0.
0
2. En déduire l’existence d’une unique suite (Bp )p∈N de polynômes de R[X] vérifiant :

 B0 = 1,
3. Déterminer B1 , B2 et B3 .
 ∀p ∈ N∗ , Bp′ = pBp−1 et
Z
1
Bp (t) dt = 0.
(1)
0
Partie II – Étude des racines dans [0, 1] des polynômes de Bernoulli
On étudie dans cette partie les racines des polynômes de Bernoulli situées dans l’intervalle [0, 1].
Z 1
1. En considérant
Bp (t) dt, montrer que Bp admet au moins une racine dans ]0, 1[.
0
2. Soit f une fonction continue de [0, 1] dans R telle que la fonction t 7→ f t + 21 − f 12 définie sur − 21 , 12 soit
Z 1
1
.
impaire. Montrer qu’alors
f (t) dt = f
2
0
3. Soit f une fonction de R dans R de classe C 1 sur R. Montrer que si f ′ est impaire, alors f est paire, et que si
f ′ est paire et si f (0) = 0, alors f est impaire.
1
4. Montrer que le polynôme Bp X +
est pair si p est pair, et est impair si p est impair.
2
1
= Bp (1) = 0.
5. En déduire que si p est un entier impair supérieur ou égal à 3, alors Bp (0) = Bp
2
6. Montrer que si p est un entier pair supérieur ou égal à 2, Bp s’annule au moins deux fois sur ]0, 1[.
7. Montrer que pour tout p ∈ N \ {0, 1} :
• si p est pair, Bp admet exactement deux racines distinctes dans [0, 1], situées l’une dans 0, 21 , l’autre dans
1 2, 1
1
• si p est impair, les seules racines de Bp dans [0, 1] sont 0, et 1.
2
Partie III – Majorations de Bp
Dans cette partie, on trouve un majorant de Bp sur [0, 1].
1. On note Mp = max |Bp (x)|. Justifier l’existence de ce maximum.
x∈[0,1]
2.
3.
4.
5.
1 3
1
ou
,
Soit p un entier impair au moins égal à 3. En distinguant trois cas, selon que x ∈ 0, , x ∈
4
4 4
3
p
x∈
, 1 , montrer que pour tout x ∈ [0, 1], |Bp (x)| 6 · Mp−1 .
4
4
p
Démontrer de même que si p est un entier pair au moins égal à 2, alors Mp 6 · Mp−1 .
2
Déterminer M0 , M1 et M2 .
p!
.
Montrer que pour tout p ∈ N \ {0, 1}, Mp 6
p+1
p
⌋
⌊
6 · 2 2 · 4⌊ 2 ⌋−1
Partie IV – Nombres de Bernoulli
On définit la suite (bn )n∈N des nombres de Bernoulli par bn = Bn (0). On pourra admettre pour la fin du problème les
trois résultats suivants, valables pour des séries à termes complexes :
+∞
+∞
X
X
P
• Si
|an | converge, alors
an converge. On dit dans ce cas que
an converge absolument.
n=0
n=0
P
• Théorème de comparaison des séries à termes positifs : si pour tout n ∈ N, 0 6 un 6 vn et si
vn converge,
P
alors
un converge.
2
• Théorème du produit de Cauchy : si
tout n ∈ N,
P
un et
P
vn sont deux séries absolument convergentes, et si on pose pour
cn =
n
X
uk vn−k ,
k=0
alors la série
P
cn est convergente, et
+∞
X
+∞
X
cn =
n=0
un
n=0
!
+∞
X
n=0
vn
!
.
(k)
1. (a) Exprimer pour tout m ∈ N et k ∈ [[0, m]], une relation entre Bm et Bm−k .
(b) En déduire que pour tout n ∈ N,
n X
n
Bn (X) =
bk X n−k .
k
k=0
(c) Montrer que pour tout n ∈ N \ {1} :
n−1
X
k=0
n
bk = 0.
k
+∞
X
√
bn n
2. (a) Soit z ∈ B(0, 2 2), dans C. Montrer, en utilisant la partie III, que la série
z est absolument
n!
n=0
convergente. (Le résultat est en fait valable sur B(0, 2π), mais cela nécessite une analyse un peu plus fine).
√
(b) À l’aide d’un produit de Cauchy, montrer que pour tout z ∈ B(0, 2 2),
+∞
X
bn n
(e − 1)
z =z
n!
n=0
z
√
(c) Montrer que pour tout z ∈ B(0, 2 2) \ {0},
+∞
z
z X b2n 2n
=1− +
z .
z
e −1
2 n=1 (2n)!
Partie V – Développement limité de la tangente
1. Montrer que pour tout x ∈ E = R \ Z π2 , on a
tan(x) = cotan(x) − 2cotan(2x).
√
2
2
2 , 2 [,
√
2. Montrer que pour tout x ∈] −
tan(x) =
+∞
X
(−1)n+1
n=1
b2n 22n (22n − 1) 2n−1
x
.
(2n)!
Ce résultat est en fait valable sur tout l’intervalle ] − π2 , π2 [.
3. Justifier que lorsque x est au voisinage de 0 :
+∞
X
k=n+1
(−1)k+1
b2k 22k (22k − 1) 2k−1
x
= o(x2n ).
(2n)!
En déduire le développement limité en 0 à l’ordre 2n de la tangente, exprimé à l’aide des nombres de Bernoulli.
3
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 06/02/2020
DM no 12 : Séries
Problème 1 – Convergence radiale des séries entières
Soit (an )n>n0 une suite à valeurs dans C définie à partir d’un certain rang n0 dans N. On appelle série entière associée
à la suite (an )n>n0 la suite de fonctions (fn )n>n0 , définies sur C par :
∀n > n0 , ∀z ∈ C, fn (z) = an0 z
n0
n
+ · · · + an z =
n
X
ak z k .
k=n0
Le domaine de convergence D de cette série entière est alors par définition le domaine de convergence simple de
P
an z n est convergente.
(fn )n>n0 , c’est-à-dire le sous-ensemble de C constitué des complexes z pour lesquels la série
n>n0
Pour tout z ∈ D, on définit alors la somme f de cette série entière par :
f (z) = lim fn (z) =
n→+∞
+∞
X
an z n .
n=n0
On étudie dans ce problème quelques propriétés asymptotiques de f .
Partie I – Généralités sur les séries entières
1. On suppose qu’il existe z0 ∈ C pour lequel la suite (an z0n )n>n0 est bornée. Montrer que pour tout z ∈ C tel que
P
|z| < |z0 |, la série
an z n est absolument convergente. On pourra faire apparaître le quotient zz0 .
2. Soit R = sup{r ∈ R+ | (an rn )n>n0 est bornée}. Après avoir justifié l’existence de R dans R+ , montrer que la
P
série
an z n est :
(i) absolument convergente si |z| < R
(ii) grossièrement divergente si |z| > R.
On prendra garde au fait que (an Rn ) peut être bornée ou non.
On dit que R est le rayon de convergence de la série entière associée à (an )n>n0 .
3. Déterminer le domaine D de convergence dans les cas suivants :
(i) an = 1, n > 0 ;
ln(n)
, n > 1.
(ii) an =
(n + ln(n))2
4. Dans cette question, an =
1
n
pour tout n ∈ N∗ .
(a) Déterminer le rayon de convergence R de la série associée à (an )n>1 .
(b) Soit z dans C tel que |z| = 1 et z 6= 1. On pose Sn = 1 + z + · · · + z n , pour tout n ∈ N. Montrer que (Sn )
est bornée, et que pour tout n ∈ N∗ ,
n−1
n
X 1
X
Sn
1
zk
.
Sk
=
− S0 +
−
k
n
k k+1
k=1
k=1
(c) En déduire le domaine de convergence D de la série entière associée à (an )n>1 .
1
Partie II – Étude de la continuité de la somme
On dit que la suite de fonction (fn ) converge uniformément vers f sur l’intervalle I si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀x ∈ I, |fn (x) − f (x)| 6 ε.
1. On suppose que pour tout n > n0 , fn est continue sur l’intervalle I, et que (fn ) converge uniformément vers f
sur I. On montre dans cette question qu’alors f|I est continue sur I également.
(a) Soit ε > 0. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que pour tout n > N et tout (x, y) ∈ I 2 ,
|f (y) − f (x)| 6
2
ε + |fn (y) − fn (x)|.
3
(b) En déduire que la restriction f|I de f à I est continue sur I.
La suite (fn ) et la fonction f sont celles définies dans le préambule du problème, pour une suite (an )n>0 (on suppose
par commodité que n0 = 0). On fait de plus l’hypothèse que R > 0. Enfin, on restreint f sur son domaine réel de
convergence (donc sur D ∩ R). On note encore f cette restriction. Ainsi, f définit une fonction d’un intervalle I
d’extrémités R et −R (qui peuvent être dans I ou non) dans R. On souhaite étudier la continuité de f .
2. (a) Soit ρ ∈ [0, R[. Montrer que :
∀n ∈ N, ∀x ∈ [−ρ, ρ], |fn (x) − f (x)| 6
+∞
X
|ak |ρk .
k=n+1
(b) En déduire que (fn )n∈N converge uniformément vers f sur [−ρ, ρ], puis montrer que f est continue sur
] − R, R[.
P
3. Justifier de même que si
an Rn est absolument convergente, f est continue sur [−R, R].
P
4. On suppose dans cette question que
an Rn est convergente. On pose, pour tout n ∈ N :
+∞
X
rn =
ak R k .
k=n+1
(a) Soit (n, p) ∈ N2 tel que p > n et x ∈ [0, R]. En écrivant ak Rk à l’aide de rk−1 et rk , montrer que :
p
X
k=n+1
k
ak x =
p−1
X
k=n+1
rk
x k+1
R
−
x k R
+ rn
x n+1
R
− rp
x p
R
.
(b) En déduire que (fn ) est uniformément convergente sur [0, R]. Qu’en déduit-on sur f ?
P
5. On suppose dans cette question que pour tout n ∈ N, an > 0, et que
an Rn diverge.
(a) Justifier que f admet en R− une limite ℓ dans R.
(b) Montrer que pour tout n ∈ N et tout x ∈ [0, R[, on a
n
X
ak xk 6 f (x) 6 ℓ.
k=0
(c) En déduire la limite de f en R− .
6. Trouver un exemple de suite (an ) pour laquelle
P
an Rn diverge, et f admet une limite finie en R− .
Partie III – Séries de Fourier et approximations polynomiales
On montre dans cette partie qu’on peut approcher uniformément toute fonction continue sur un intervalle compact
[a, b] par une suite de fonctions polynomiales, autrement dit que pour toute fonction continue f sur [a, b], il existe une
suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers f sur [a, b] (théorème de Weierstrass).
On se contente du cas où [a, b] = [0, 2π], et où f (0) = f (2π). On admettra que le cas général s’en déduit (sans
difficulté) par un changement de variable affine (pour se ramener au bon intervalle) et en retranchant une fonction
2
affine, donc polynomiale (pour se ramener à l’hypothèse f (0) = f (2π)). Avec ces hypothèses, on peut prolonger f sur
R par 2π-périodicité, en une fonction 2π-périodique et continue sur R, qu’on notera encore f .
Notre construction de l’approximation polynomiale est basée sur les séries de Fourier.
On appelle série de Fourier de f la suite de fonctions (Sn )n>0 telle que pour tout n ∈ N, et tout x ∈ R :
n
Sn (x) =
a0 X
+
(ak cos(kx) + bk sin(kx)),
2
k=1
où :
∀k ∈ N, ak =
1
π
Z
π
f (t) cos(kt) dt
bk =
et
−π
1
π
Z
π
f (t) sin(kt) dt.
−π
On définit la n-ième somme de Cesàro associée à f par :
∀x ∈ R, σn (x) =
n−1
1X
Sk (x).
n
k=0
1. (a) Montrer que pour tout x ∈ R,
1
Sn (x) =
π
!
n
1 X
+
cos(k(x − t)) f (t) dt.
2
π
Z
−π
k=1
(b) En déduire que pour tout x ∈ R :
1
Sn (x) =
2π
Z
π
−π
f (x+u)
sin
n + 21 u
du
sin u2
1
Sn (x) =
2π
puis:
Z
π
(f (x+u)+f (x−u))
0
Cette formule est appelée formule de Dirichlet.
sin
n + 21 u
du.
sin u2
2. En déduire que pour tout x ∈ R :
π
1
σn (x) =
2nπ
Z
3. En choisissant judicieusement f , calculer
Z
(f (x + u) + f (x − u))
0
π
0
périodique) :
σn (x) − f (x) =
1
2nπ
Z
nu
2
u
2
sin2
sin2
π
nu
2
sin2 u2
sin2
0
4. (a) Soit δ ∈]0, π]. Montrer qu’on peut majorer
du.
du, et en déduire (pour f quelconque continue 2π-
(f (x + u) + f (x − u) − 2f (x))
Z
π
nu
2
2 u
sin 2
sin2
(f (x + u) + f (x − u) − 2f (x))
δ
dépendant de δ, mais indépendant de n et de x.
du.
nu
2
sin2 u2
sin2
du par un réel A
(b) Soit ε > 0. Justifier l’existence d’un réel δ > 0, qu’on peut choisir inférieur à π, tel que pour tout u tel que
|u| 6 δ, et tout x ∈ R,
|f (x + u) + f (x − u) − 2f (x)| 6 ε.
(c) En déduire que (σn ) converge uniformément vers f sur R
5. En utilisant un développement en série du cosinus et du sinus, et certains résultats de la partie II, montrer
que pour tout k ∈ N, les fonctions x 7→ sin(kx) et x 7→ cos(kx) sont limites uniformes de suites de fonctions
polynomiales sur l’intervalle [0, 2π].
6. En déduire que pour tout ε > 0, il existe un polynôme Q à coefficients réels tel que pour tout x ∈ [0, 2π],
|f (x) − Q(x)| 6 ε.
Nous supposons donc désormais acquis la version plus générale de ce théorème : pour toute fonction continue sur un
intervalle [a, b], et tout ε > 0, il existe un polynôme Q de R[X] tel que pour tout x ∈ [a, b], |f (x) − Q(x)| 6 ε (théorème
de Weierstrass).
3
Partie IV – Approximations polynomiales de certaines fonctions continues par morceaux
1. Soit χ = 1[ 12 ,1] définie sur [0, 1], donc la fonction en escalier sur [0, 1] prenant la valeur 1 sur [ 21 , 1] et 0 ailleurs.
Soit ε > 0. Montrer qu’il existe deux fonctions g1 et g2 , définies et continues sur [0, 1], telles que
Z 1
ε
g1 6 χ 6 g2
et
(g2 (x) − g1 (x)) dx 6 .
2
0
On pourra construire g1 et g2 affines par morceaux, de sorte à effacer le saut de discontinuité en 21 .
1
2. Soit ϕ une fonction
définie sur [0, 1], continue sauf en 2 , admettant des limites gauche et à droite finies en
1
1
= lim ϕ(x). Soit ε > 0. À l’aide de la question précédente, montrer qu’il existe deux
2 , telles que ϕ 2
x→ 21 +
Z 1
ε
fonctions continues h1 et h2 telles que h1 6 ϕ 6 h2 sur [0, 1] et
(h2 (x) − h1 (x)) dx 6 .
2
0
3. (a) En considérant h2 + δ pour un certain réel δ à déterminer, montrer qu’il existe un polynôme B2 tel que
ε
∀x ∈ [0, 1], h2 (x) 6 B2 (x) 6 h2 (x) + .
4
(b) En déduire l’existence de deux polynômes B1 et B2 tels que
et
∀x ∈ [0, 1], B1 (x) 6 ϕ(x) 6 B2 (x)
Z
1
(B2 (x) − B1 (x)) dx 6 ε.
0
(c) Soit χ la fonction de la question 1. Montrer que pour tout ε > 0, il existe deux polynômes P1 et P2 tels que
P1 (0) = P2 (0) = 0 et P1 (1) = P2 (1) = 1, et vérifiant sur [0, 1] :
Z 1
P2 (x) − P1 (x)
dx 6 ε.
P1 6 χ 6 P2
et
x(1 − x)
0
On pourra chercher Pi sous la forme Pi (x) = x(1 − x)Qi (x) + x, avec Qi polynomiale.
Partie V – Théorème Taubérien
Dans cette partie, on considère une suite réelle (an )n∈N telle que la série entière associée ait un rayon de convergence
R au moins égal à 1, et tel que sa somme f admette une limite ℓ en 1− . On suppose de plus que an = O n1 , et on
P
note A un réel tel que n|an | 6 A. On montre qu’alors
an converge.
P
1. (a) Soit P un polynôme réel de terme constant nul. Montrer que la série an P (xn ) converge pour tout x ∈]−1, 1[
et calculer, lorsque x tend vers 1− , la limite de sa somme à l’aide de ℓ et d’une valeur prise par P en un
point qu’on précisera.
P n
(b) Soit Q un polynôme réel. Montrer que la série
x Q(xn ) converge pour tout x ∈] − 1, 1[ et montrer que
Z 1
+∞
X
n
n
lim− (1 − x)
x Q(x ) =
Q(t) dt.
x→1
0
n=0
2. On reprend la fonction χ et les fonctions polynomiales P1 et P2 ainsi que Q1 et Q2 construites à la fin de la
partie précédente, pour un ε > 0 fixé.
P
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[, la série
an χ(xn ) converge, puis que les deux différences
δ1 (x) =
+∞
X
n
an χ(x ) −
n=0
+∞
X
n
et
an P1 (x )
δ2 (x) =
n=0
n=0
sont majorées par A(1 − x)
+∞
X
+∞
X
xn (Q2 − Q1 )(xn ).
n=1
(b) En déduire qu’il existe α ∈]0, 1[ tel que pour tout x ∈ [α, 1[, on ait
+∞
X
an χ(xn ) − ℓ 6 (A + 1)ε.
n=0
(c) En déduire que la série
P
an converge.
4
n
an P2 (x ) −
+∞
X
n=0
an χ(xn )
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 27/02/2020
DM no 12 : Analyse (révisions)
Problème 1 –
Le but de ce problème est de décrire une méthode permettant de calculer les racines réelles d’un polynôme P d’une
variable réelle. Le problème est décomposé en trois parties. La première partie est consacrée à l’étude d’une fonction
construite à partir de P appelée fonction d’exclusion, la seconde partie est consacrée à la recherche d’un réel R strictement positif tel que toutes les racines de P soient contenues dans l’intervalle [−R, R]. La dernière partie est consacrée
à l’étude d’un algorithme qui utilise la fonction d’exclusion présentée dans la première partie. cet algorithme permet
de calculer une approximation aussi fine que l’on veut de toutes les racines réelles du polynôme P .
Partie I – Fonction d’exclusion associée à un polynôme
Soit n un entier strictement positif et a0 , a1 , . . . , an , n + 1 nombres réels avec an différent de 0. On considère le
n
P
an xk . On notera Z l’ensemble fini des racines
polynôme de degré n défini pour x appartenant à R par P (x) =
k=0
réelles de P , que l’on suppose non vide.
1. Soit x un réel fixé, on considère la fonction polynomiale qui à t réel associe M (x, t) définie par :
M (x, t) = |P (x)| −
n
X
|P (k) (x)|
k=1
k!
tk .
Montrer que cette fonction est strictement décroissante sur [0, +∞[ et en déduire l’existence d’un unique réel
positif pour lequel cette fonction s’annule. Comme ce réel dépend de x, on le notera m(x), et on aura donc
M (x, m(x)) = 0, soit :
n
X
|P (k) (x)|
|P (x)| −
m(x)k = 0.
(1)
k!
k=1
2. On choisit pour P le polynôme défini pour x appartenant à R par P (x) = x2 − 1. Montrer que :
p
m(x) = −|x| + x2 + |x2 − 1|.
Montrer que la fonction définie de R dans R et qui à x associe m(x) est continue sur R, dérivable sur R\{−1, 0, 1}.
Montrer que pour les trois points −1, 0 et 1, la fonction est dérivable à gauche et à droite.
On va désormais étudier, pour un polynôme P quelconque mais non constant, les propriétés de la fonction m qui à
x associe m(x) de R dans R. Cette fonction qui est bien définie, d’après la première question, est appelée la fonction
d’exclusion associée au polynôme P . Nous montrerons dans la question I-5 la propriété caractéristique de cette fonction.
3. Soit x appartenant à R, montrer que m(x) = 0 si et seulement si P (x) = 0.
4. Montrer que pour tout x et tout y appartenant à R, on a :
|P (y)| > |P (x)| −
n
X
|P (k) (x)|
k!
k=1
|y − x|k = M (x, |y − x|).
Soit x tel que P (x) est non nul, montrer que pour tout y tel que |y − x| < m(x), M (x, |y − x|) > 0 et donc que
P (y) est aussi non nul.
5. Pour x appartenant à R, on note
d(x, Z) = min |x − z|.
z∈Z
Montrer en utilisant la question précédente que pour tout x réel, m(x) 6 d(x, Z).
1
6. Soit ε > 0 fixé et x appartenant à R.
(a) On suppose que m(x) > ε. Montrer que
M (x, m(x) + ε) < 0 < M (x, m(x) − ε).
Montrer également qu’il existe η strictement positif tel que pour tout y tel que |x − y| < η,
M (y, m(x) + ε) < 0.
(b) En déduire que la fonction m est continue sur R.
7. On désire maintenant étudier la dérivabilité de m, ce que nous allons faire en distinguant plusieurs cas.
(a) Soit x et h appartenant à R, h étant différent de 0, montrer que
n
n−1
k=1
k=1
|P (x + h)| − |P (x)| X (k)
m(x + h)k − m(x)k X |P (k) (x + h)| − |P (k) (x)|
−
|P (x + h)|
−
m(x)k = 0.
h
hk!
hk!
(b) Soit a ∈ R, on note σ(a) la fonction qui vaut +1 si a est positif, et −1 sinon. Soit x appartenant à R tel que
P (k) (x) est non nul pour tout k compris entre 0 et n − 1, déduire de la question précédente que la fonction
m est dérivable en x et que :
P ′ (x)σ(P (x)) −
n
P
k=2
m′ (x) =
n
P
k=1
k−1
P (k) (x)σ(P (k−1) (x)) m(x)
(k−1)!
.
|P (k) (x)| m(x)
(k−1)!
k−1
(c) Soit x ∈ R tel que P (x) 6= 0, et tel qu’il existe au moins un entier dans [[1, n − 1]] tel que P (k) (x) = 0.
Montrer que m est dérivable à gauche et à droite en x, mais pas nécessairement dérivable en x.
(d) On suppose désormais, et jusqu’à la fin de la partie I, que toutes les racines de P sont simples, donc telles
m(x + h) − m(x)
quand h tend vers 0 par
que P ′ (x) 6= 0. Soit x l’une de ces racines. Calculer la limite de
h
valeurs négatives et par valeurs positives.
En déduire que m est dérivable à gauche et à droite en x, et déterminer m′g (x) et m′d (x).
8. Montrer que pour tout x et tout y appartenant à R, on a :
|m(y) − m(x)| 6 |y − x|.
On pourra, sans perte de généralité, supposer que x 6 y et distinguer les cas où m est dérivable sur ]x, y[ ou
non.
9. On admet l’existence de :
m(x)
x→−∞ |x|
et
m− = lim
m(x)
.
x→+∞ |x|
m+ = lim
(a) Montrer, en utilisant la formule (1), que :
1−
n
X
k=1
n
X
n!
n!
mk− = 1 −
mk = 0.
k!(n − k)!
k!(n − k)! +
k=1
(b) En déduire m− et m+ .
10. Montrer qu’il existe une constante αn strictement positive telle que pour tout x appartenant à R,
αn d(x, Z) 6 m(x).
On étudiera pour cela la fonction f définie pour tout x de R par :


 m(x)
si x 6∈ Z
f (x) = d(x, Z)

1
si x ∈ Z.
2
Partie II – Détermination d’un intervalle de R contenant toutes les racines de P
Cette partie est consacrée à la recherche d’un réel R strictement positif tel que toutes les racines du polynôme P soient
contenues dans l’intervalle [−R, R]. On note
x0 = max |x|,
x∈Z
et on supposera désormais que an = 1 et que les n réels a0 , a1 , . . . , an−1 ne sont pas tous nuls.
1. Soit Q la fonction de R dans R qui à x associe
n
Q(x) = x −
n−1
X
|ak |xk .
k=0
Montrer l’existence d’un unique réel strictement positif pour lequel cette fonction s’annule.
2. Montrer que si r est un réel strictement positif tel que Q(r) est aussi strictement positif, alors on a x0 6 r.
!
n−1
X
3. Montrer que : x0 6 max 1,
|ak | .
k=0
4. Montrer également que :
x0 6 |an−1 − 1| +
n−1
X
|ak − ak−1 | + |a0 |.
k=1
On pourra utiliser pour cela le polynôme défini pour x appartenant à R par (x − c)P (x), où c est une constante
convenablement choisie.
5. Montrer enfin que si on suppose que tous les ak pour k variant de 0 à n − 1 sont strictement positifs, on a
|an−2 |
|a1 | |a0 |
x0 6 max 2|an−1 |, 2
.
,...,2
,
|an−1 |
|a2 | |a1 |
6. Donner un exemple de polynôme pour lequel la question II-4 donne une meilleure estimation de x0 que la
question II-5.
Donner de même un exemple de polynôme pour lequel la question II-5 donne une meilleure estimation de x0
que la question II-4.
Partie III – Algorithme d’exclusion
Soit ε > 0 fixé. On suppose que P a au moins une racine réelle et que ses racines sont toutes simples. On note
x1 , . . . , xp (p 6 n) les racines 2 à 2 distinctes de P , de sorte que
Z = {x1 , . . . , xp }.
En utilisant αn introduit dans la question I-10, on note pour i ∈ [[1, p]] :
Bi,ε = {x ∈ R | |x − xi | 6
On note enfin
Zε =
p
[
ε
}.
αn
Bi,ε .
i=1
Dans cette dernière partie, on utilise les résultats des parties I et II pour construire un ensemble Fε tel que
Z ⊂ Fε ⊂ Zε .
On choisit R tel que Z soit inclus dans [−R, R] et on construit une suite de réels (yn )n∈N et une suite d’ensembles de
R de la façon suivante :
(i) On pose y0 = −R et F0,ε = ∅.
(ii)
• Si m(y0 ) > 2ε , on pose y1 = y0 + m(y0 ) et F1,ε = ∅.
3
• Sinon on cherche le plus petit entier k strictement positif tel que m(y0 + kε) > 2ε et on pose y1 = y0 + kε. On
définit alors :

F ∪ [y , y − m(y )] si y 6 y − m(y )
0,ε
0 1
1
0
1
1
F1,ε =
∅
sinon.
(iii) Plus généralement, pour n supérieur ou égal à 1 :
• Si m(yn ) > 2ε , on pose :
yn+1 = yn + m(yn )
et
Fn+1,ε = Fn,ε ,
• sinon, on recherche le plus petit entier k strictement positif tel que m(yn + kε) > 2ε , et on pose
yn+1 = yn + kε.
On définit alors :
Fn+1,ε =

F
n,ε
∪ [yn , yn+1 − m(yn+1 )]
si yn 6 yn+1 − m(yn+1 ),
sinon.
Fn,ε
1. Montrer qu’il existe un entier n0 pour lequel yn0 > R.
2. Montrer en utilisant I-4 que Z ⊂ Fn0 ,ε .
3. Montrer en utilisant I-8 et I-10 que l’on a Fn0 ,ε ⊂ Zε .
4. Comment peut-on adapter cet algorithme si l’on ne connait que des valeurs approchées à un certain η près des
m(yn ), pour n compris entre 0 et n0 ?
L’idée d’un tel algorithme a été proposée par Jean-Pierre Dedieu et Jean-Claude Yacoubsohn. Il fournit un moyen
efficace de calculer une bonne approximation des racines du polynôme et s’étend aussi au cas où P a des racines
multiples. Il demande seulement de calculer une approximation des valeurs de la fonction m, ce qui est très simple cas
la fonction introduite en I-1 est strictement décroissante
5. Programmation (vous avez droit à un ordinateur)
d
P
On représentera informatiquement un polynôme
ai X i sous forme de la liste [a0 , . . . , ad ] de ses coefficients.
k=0
Toutes les fonctions sont à écrire en Python. On prendra soin à bien commenter le code, de sorte à le rendre
facilement compréhensible à la lecture.
(a) Écrire une fonction derivepoly(P) prenant en argument un polynôme P , et retournant le polynôme P ′ .
(b) Écrire une fonction evaluepoly(P,x) prenant en argument un polynôme P et un réel x, et retournant la
valeur de P (x). On utilisera pour ce faire l’algorithme de Hörner.
(c) Écrire une fonction M(P,x) prenant en argument un polynôme P et un réel x, et retournant la liste des
coefficients du polynôme t 7→ M (x, t) en la variable t.
(d) Écrire une fonction m(P,x,eta) prenant en argument un polynôme P et deux réels x et eta, et retournant
une valeur approchée de m(x) à eta près. On pourra commencer par déterminer un intervalle de longueur
1 contenant m(x), en effectuant un balayage de R+ , puis utiliser un procédé vu en cours d’informatique.
(e) Écrire une fonction approcheracines(P,eps) prenant en argument un polynôme P (supposé à racines
simples) et un réel eps , et retournant la liste des bornes successives des intervalles dont est formé Fn0 ,ε .
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 05/03/2020
DM no 14 : Groupes
Problème 1 – Théorèmes de Sylow
Le but de ce problème est de démontrer des théorèmes d’existence de certains p-sous-groupes d’un groupe fini donné.
Pour tout entier premier p, on appelle p-groupe un groupe dont le cardinal est pk , pour un certain entier k. Soit G un
groupe fini quelconque. On considère α tel que n = pα m, où pα ∧ m = 1. Autrement dit, α est la p-valuation de n. On
appelle p-sous-groupe de Sylow de G un sous-groupe de cardinal pα .
Le premier théorème de Sylow affirme l’existence d’un p-sous-groupe de Sylow. Le second affirme que tous les sousgroupes de Sylow sont conjugués, dans un sens qui sera défini dans la partie II. Le troisième théorème de Sylow précise
le résultat en affirmant que le nombre de p-sous-groupes de Sylow divise n et est congru à 1 modulo p.
Nous démontrons dans ce problème le premier théorème de Sylow, de deux façons différentes, et une partie du troisième.
Nous rappelons le théorème de Lagrange, théoriquement hors-programme, selon lequel l’ordre d’un sous-groupe H de
G divise l’ordre de G, dont on déduit en particulier que l’ordre de tout élément de G divise l’ordre de G.
Partie I – Étude des sous-groupes de Sylow de Z/nZ
Nous étudions dans cette partie le cas simple des p-sous-groupes de Sylow du groupe cyclique Z/nZ. Nous supposons
que n = pα m, où p est premier et pα ∧ m = 1, avec α > 0.
1. Soit S = {mk, k ∈ [[0, pα − 1]]} ⊂ Z/nZ. Montrer que S est un p-sous-groupe de Sylow de Z/nZ.
2. Soit S ′ un p-sous-groupe de Sylow de Z/nZ, et soit x ∈ S ′ .
(a) Justifier l’existence d’un entier naturel β tel que l’ordre de x soit pβ .
(b) En déduire que x ∈ S.
3. Montrer que S est l’unique p-sous-groupe de Sylow de Z/nZ.
Cela prouve les deux théorèmes de Sylow pour les groupes Z/nZ.
Partie II – Actions de groupe, stabilisateurs, orbites
Soit (G, ×) un groupe, de neutre e, et X un ensemble. On appelle action du groupe G sur X la donnée d’une
application (correspondant à une loi de composition externe sur X d’ensemble d’opérateur G) :
G × X −→ X
(g, x) 7−→ g · x
vérifiant les deux axiomes suivants :
(i) ∀(g, g ′ ) ∈ G, ∀x ∈ X, g · (g ′ · x) = (gg ′ ) · x
(ii) ∀x ∈ X, e · x = x.
On dit que G opère sur X via l’action ci-dessus.
Étant donné un groupe G opérant sur X, on définit pour tout x ∈ X respectivement l’orbite et le stabilisateur de x
par :
ω(x) = {g · x, g ∈ G}
et
Stab(x) = {g ∈ G | g · x = x}.
1. Quelques exemples.
1
(a) Étant donné un sous-groupe H de G, montrer que H opère « par translation à gauche » sur G, via l’action
(h, g) ∈ H × G 7→ h · g = hg. Décrire les orbites de G sous cette action.
(b) La « translation à droite » (h, g) 7→ gh définit-elle une action de groupe ? Si non, comment modifier sa
définition pour en faire une action de groupe ?
(c) Étant donné un groupe G, montrer que G opère sur lui-même « par automorphisme intérieur » ou « par
conjugaison » via l’action (g, a) 7→ g · a = gag −1 . Les orbites sous cette action sont appelées classes de
conjugaison. Deux éléments a et b situées dans une orbite commune sont dits conjugués.
(d) Soit G un groupe, et X l’ensemble de ses sous-groupes.
i. Montrer que pour tout H ∈ X et tout g ∈ G, {gxg −1 , x ∈ H}, est un sous-groupe de G. On le note
gHg −1 .
ii. Montrer que G opère sur X via l’action (g, H) 7→ gHg −1 .
Deux sous-groupes H et H ′ sont dits conjugués s’ils sont dans la même orbite sous cette action, ce qui
revient à dire qu’il existe g ∈ G tel que H ′ = gHg −1 .
2. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X, et soit x ∈ X. Montrer que le stabilisateur Stab(x) de x est un
sous-groupe de G.
3. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X, et soit R la relation sur X définie par : xRy si et seulement si
y ∈ ω(x).
(a) Montrer que R est une relation d’équivalence.
(b) En déduire que l’ensemble des orbites forme une partition de X.
4. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Soit x ∈ X.
(a) Soit ϕ : G → ω(x) définie par ϕ(g) = g · x. Montrer que g ′−1 g ∈ Stab(x) si et seulement si ϕ(g) = ϕ(g ′ ).
|G|
.
(b) En déduire que |ω(x)| =
|Stab(x)|
5. Une application :
Soit G un groupe opérant sur un ensemble X fini. On note XG l’ensemble des points fixes de cette opération,
c’est-à-dire des points x de X tels que gx = x pour tout g ∈ G. On note Ω1 , . . . , Ωn les orbites deux à deux
distinctes de X sous l’action de G, et non réduites à un point.
(a) Montrer que
|X| = |XG | +
n
X
|Ωi |.
i=1
(b) En déduire que si G est d’ordre pn , avec p premier et n ∈ N∗ , alors |XG | ≡ |X| mod [p].
(c) Soit G un groupe d’ordre pn , p premier et n ∈ N∗ . Montrer que le centre Z(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G, xy = yx}
de G n’est pas réduit au groupe trivial.
Partie III – Démonstration du premier théorème de Sylow par Wielandt
Dans cette partie, on se fixe un groupe G de cardinal pα m, avec α ∈ N, et pα ∧ m = 1. On considère X l’ensemble des
parties de G de cardinal pα , et Y l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G. On fait opérer G sur X par translation
à gauche : pour tout g de G et tout E ∈ X,
g · E = {gx | x ∈ E}.
On adoptera de façon symétrique la notation E · g, ou plus simplement Eg pour désigner l’ensemble obtenu de E par
multiplication à droite de chacun de ses éléments par g.
1. Montrer que cela définit bien une action de G sur X.
2. En étudiant des propriétés de l’application ϕx : Stab(E) → E définie par g 7→ g · x, montrer que |Stab(E)| 6 pα .
3. (a) Montrer que si |Stab(E)| = pα , alors E = Stab(E) · x, où x est un élément quelconque de E.
2
(b) Montrer que s’il existe S ∈ Y et x ∈ G tel que E = Sx, alors |Stab(E)| = pα .
On pourrait démontrer de même (et on admet) que si Stab′ (E) désigne le stabilisateur de E sous l’action à
droite de G sur X définie par g · E = Eg −1 , alors Stab′ (E) est de cardinal pα si et seulement s’il existe un
sous-groupe de Sylow S ∈ Y et x ∈ G tels que E = xS, et que dans ce cas, S = Stab′ (E).
(c) Montrer que si (S, S ′ ) ∈ Y 2 , avec S 6= S ′ , alors S et S ′ ne sont pas dans une même orbite de X sous l’action
de G.
4. À l’aide de la question précédente et de certains résultats de la partie 2, en déduire que
|X| ≡ m|Y | [p].
5. En appliquant dans un premier temps la question précédente à G′ = Z/nZ, en déduire que
|Y | ≡ 1 [p].
Cela prouve le premier théorème de Sylow et la moitié du troisième.
Partie IV – Quatre lemmes
Dans cette partie, nous établissons quatre lemmes en vue de donner une autre démonstration du premier théorème de
Sylow.
Tous les groupes considérés ici sont décrits en notation multiplicative. Étant donné un groupe G, on notera 1G son
élément neutre.
1. Lemme de Cauchy
On se donne dans cette question un groupe G d’ordre n, et un nombre premier p tel que p divise n. Le but de
cette partie est de prouver qu’il existe dans G au moins un élément d’ordre p. On montre plus précisément que
le nombre de solutions de l’équation xp = 1G est un multiple de p.
On note E l’ensemble des p-uplets (x1 , . . . , xp ) d’éléments de G tels que x1 x2 . . . xp = 1G , les indices de
(x1 , . . . , xp ) étant considérés dans Z/pZ (donc vus cycliquement, ce qui revient à définir un tel p-uplet comme
une application de Z/pZ dans G).
On fait agir Z/pZ sur E par permutation des indices : étant donné k dans Z/pZ,
k · (x1 , . . . , xp ) = (x1+k , . . . , xp+k ).
(a) Montrer que cela définit bien une action de groupe.
(b) Quels sont les points fixes pour cette action ?
(c) En déduire que le nombre de solutions de l’équation xp = 1G est un multiple de p.
(d) En déduire que le nombre d’éléments d’ordre p de G est congru à p − 1 modulo p.
En particulier, pour tout groupe G et tout diviseur premier p de l’ordre de G, il existe un élément de G d’ordre p.
2. Image réciproque d’un sous-groupe
Soit f : G −→ H un morphisme de groupes, et K un sous-groupe de H. Montrer que f −1 (K) est un sous-groupe
de G.
3. Groupes quotients
Soit G un groupe, et H un sous-groupe distingué de G, c’est-à-dire tel que pour tout g ∈ G, gH = Hg. On
remarquera que ceci équivaut au fait que pour tout g de G, et tout h de H, ghg −1 ∈ H
(a) Montrer que les relations de congruence à droite et à gauche sont identiques.
(b) Montrer que cette relation est une congruence pour la loi du groupe. Ainsi, cette loi passe au quotient, et
définit une loi de composition interne sur l’espace quotient noté G/H.
(c) Montrer que cette loi de composition interne munit G/H d’une structure de groupe.
4. Premier théorème d’isomorphisme.
Soit f : G −→ H un morphisme surjectif de groupes multiplicatifs, et Ker(f ) le sous-ensemble de G des éléments
x ∈ G tels que f (x) = 1H .
3
(a) Montrer que Ker(f ) est un sous-groupe distingué de G.
(b) Montrer que f est constante sur chacune des classes d’équivalences modulo Ker(f ). Ainsi, f induit une
application f : G/ Ker(f ) −→ H
(c) Montrer que f est une bijection.
(d) Donner une relation entre les cardinaux de G, H et Ker(f ).
Partie V – Une démonstration par récurrence du premier théorème de Sylow
Soit G un groupe d’ordre n = pα m, avec m ∧ pα = 1 et α > 0.
1. On suppose dans cette question que G est abélien.
(a) Justifier l’existence d’un sous-groupe distingué H d’ordre p de G
(b) En raisonnant par récurrence, et en considérant f −1 (S) où f est la projection canonique de G sur G/H,
et S un p-sous-groupe de Sylow de G/H, prouver l’existence d’un p-sous-groupe de Sylow de tout groupe
abélien.
2. On ne suppose plus G abélien. On fait agir G sur lui-même par conjugaison. On rappelle que le centre de G est
l’ensemble Z(G) = {x ∈ G | ∀g ∈ G, xg = gx}.
(a) Montrer que Z(G) est un sous-groupe abélien (et distingué) de G
(b) Montrer, à l’aide de la partie II, que soit |Z(G)| divisible par p, soit il existe une orbite non réduite à un
point et de cardinal premier avec p.
(c) Montrer le premier théorème de Sylow par récurrence, à l’aide, suivant la situation, soit du centre, soit du
stabilisateur d’une orbite non réduite à un point.
Partie VI – Démonstration des deuxième et troisième théorèmes de Sylow
G est toujours un groupe d’ordre pa m, p ∧ m = 1.
On montre le deuxième théorème de Sylow, en commençant par prouver un résultat un peu plus fort : étant donné un
sous-groupe de Sylow S fixé, tout p-sous-groupe de G est contenu dans un conjugué de S.
1. Soit S un p-sous-groupe de Sylow de G. Soit H un p-sous-groupe de G. On fait opérer H sur l’ensemble
X = (G/S)g des classes à gauche xS par translation : h · (xS) = (hx) · S.
(a) À l’aide de résultats de la partie II, montrer que l’ensemble XH des points fixes de X sous cette action
vérifie :
|XH | ≡ m mod [p].
(b) En déduire qu’il existe un élément x ∈ G tel que pour tout h ∈ H, hxSx−1 = xSx−1 .
(c) En déduire que H est un sous-groupe de xSx−1
En particulier, le cardinal de xSx−1 étant égal à celui de S, tout p-sous-groupe est inclu dans un p-sous-groupe
de Sylow
2. Montrer que les sous-groupes de Sylow sont deux à deux conjugués, donc que si S et S ′ sont deux sous-groupes
de Sylow, il existe x ∈ G tel que S ′ = xSx−1 .
Ceci prouve le deuxième théorème de Sylow
3. On montre enfin le dernier point du troisième théorème de Sylow. Notons comme précédemment Y l’ensemble
des p-sous-groupes de Sylow de G, et faisons agir G sur Y par conjugaison.
(a) Décrire pour cette action l’orbite ΩS dans Y d’un élément S de Y .
|G|
et conclure.
(b) En déduire que pour tout S ∈ Y , on a |Y | =
Stab(S)
4
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 12/03/2020
DM no 14 : Groupes, anneaux
Problème 1 –
• Un pseudo-anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition interne notées + et ×, telles que
(A, +) soit un groupe abélien, et telle que × soit associative et distributive sur +. En revanche, il n’existe pas
nécessairement d’élément neutre pour la loi ×.
• Un anneau est donc un pseudo-anneau admettant un élément neutre 1A pour la loi ×.
• Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I
et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I.
• Le centre C(A) d’un pseudo-anneau A est : C(A) = {x ∈ A | ∀y ∈ A, xy = yx}.
• On dit qu’un pseudo-anneau A est commutatif si la loi × est commutative, ce qui revient à dire que C(A) = A.
1. Soit A un pseudo-anneau
(a) Montrer que C(A) est un sous-groupe additif de (A, +).
(b) Montrer que tout idéal bilatère I de A est un pseudo-anneau.
2. Soit A un pseudo-anneau vérifiant : ∀x ∈ A, x2 − x ∈ C(A).
(a) En considérant x + y, montrer que pour tout (x, y) ∈ A2 , xy + yx ∈ C(A).
(b) En déduire que A est commutatif.
Dans la suite, A désigne un anneau tel que pour tout x ∈ A, x3 = x. On veut prouver que A est commutatif.
3. Prouver l’égalité 6 = 0, où 6 désigne 6 · 1A .
4. On note 2A = {2 · a | a ∈ A} et 3A = {3 · a | a ∈ A}. Prouver les assertions suivantes :
(a) 3A ∩ 2A = {0}
(b) 3A et 2A sont des idéaux bilatères de A
(c) Tout élément de A s’écrit de façon unique comme somme d’un élément de 3A et d’un élément de 2A.
(d) ∀x ∈ 3A, ∀y ∈ 2A, xy = yx = 0.
5. (a) Prouver que pour tout x ∈ 3A, 2x = 0 et x2 = x.
(b) En déduire que pour tout (x, y) ∈ (3A)2 , xy = yx
6. Soit x et y dans 2A. En développant (x + y)3 et (x − y)3 , montrer que xy = yx.
7. Montrer que A est commutatif.
Problème 2 – Simplicité de An
Le but du problème est de prouver la simplicité de An lorsque n > 5, ce qui signifie que An n’a pas d’autre sous-groupe
distingué que {id} et lui-même. Ce résultat est à la base de la preuve de Galois de la non-résolubilité des équations de
degré n > 5 par radicaux. Soit n > 5.
Préliminaire
1. Montrer que le produit de deux transpositions (non nécessairement à supports disjoints) de Sn est soit un
3-cycle, soit la composée de deux 3-cycles.
2. En déduire que les 3-cycles engendrent An , c’est-à-dire que tout élément de An s’écrit comme produit de 3-cycles.
1
Partie I – Conjugaison
On dit que deux permutations τ1 et τ2 de Sn sont conjuguées s’il existe σ ∈ Sn tel que τ2 = σ ◦ τ1 ◦ σ −1 .
1. Montrer que la relation de conjugaison est une relation d’équivalence.
2. Soit, avec les notations précédentes, τ1 = (i1 i2 · · · ik ) un cycle, et τ2 conjugué (par s) à τ1 . Montrer que τ2
est égal au cycle :
τ2 = (σ(i1 ) σ(i2 ) · · · σ(ik )).
3. Montrer que deux permutations sont conjuguées dans Sn si et seulement si elles ont même type cyclique.
Partie II – Simplicité de A5
1. Soit a1 , . . . , an−2 des éléments 2 à 2 distincts de [[1, n]], et an−1 , an les deux éléments de [[1, n]] n’étant pas dans
cette liste. On se donne de même b1 , . . . , bn−2 des éléments distincts de [[1, n]], complétés par les 2 éléments
manquant bn−1 et bn . Montrer qu’il existe une permutation paire σ telle que
∀i ∈ [[1, n − 2]], σ(ai ) = bi .
On pourra éventuellement utiliser une composition par une certaine transposition pour obtenir la bonne parité.
2. En déduire que les 3-cycles (a1 , a2 , a3 ) sont conjugués dans A5 , c’est-à-dire que si c1 et c2 sont deux 3-cycles, il
existe σ ∈ A5 tel que c2 = σc2 σ −1 .
3. Montrer de même que les composées de deux transpositions à supports disjoints sont conjuguées dans A5 .
4. Soit c0 = (1 2 3 4 5), et c = (a1 a2 a3 a4 a5 ) un 5-cycle, et σ ∈ S5 définie par σ(k) = ak . Expliciter un élément
τ de S5 tel que c2 = (σ ◦ τ ) ◦ c0 ◦ (σ ◦ τ )−1 .
5. En déduire que pour tout 5-cycle c, soit c, soit c2 est conjugué dans A5 au cycle c0 .
6. Soit H un sous-groupe distingué de A5 (donc stable par conjugaison). Montrer que si H contient un 3-cycle,
il les contient tous, et de même pour les produits de 2 transpositions à supports disjoints, ainsi que pour les
5-cycles.
7. En comptant le nombre de 3-cycles, le nombre de 5-cycles et le nombre de produits de 2 transpositions à
supports disjoints, en déduire que H = {id} ou H = A5 . Conclure.
Partie III – Simplicité de An , n > 5
Soit n > 5, et soit H un sous-groupe distingué de An , différent de {id}. Soit σ 6= id dans H
1. Soit a tel que σ(a) 6= a. On pose b = σ(a), et on considère c différent de a, b et σ(b). Soit τ le 3-cycle (a b c).
Quel est le type cyclique de στ −1 σ −1 ? Montrer que τ στ −1 σ −1 admet au moins n − 5 points fixes.
2. Soit F un sous-ensemble de [[1, n]] de cardinal 5, contenant l’ensemble des points non fixes de τ στ −1 σ −1 . Soit
A(F ) l’ensemble des permutations de An laissant tous les points extérieurs à F fixes. Montrer que A(F ) est
isomorphe, en tant que groupe, à A5 , et en déduire que A(F ) est simple.
3. Montrer que H ∩ A(F ) est distingué dans A(F ), et en déduire que H contient au moins un 3-cycle.
4. En déduire que An est simple.
2
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 27/03/2020
DM no 16 (je sais compter !) : Arithmétique
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, par mail, avec les consignes suivantes à respecter scupuleusement
(y compris les majuscules et les espacements). Le respect de ces consignes facilite grandement la gestion des fichiers.
Merci d’avance !
• sujet du mail : DM16 MPSI4
• nom du fichier : dm16-nom.pdf (par exemple dm16-troesch.pdf si c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans
espace.
Vous faites AU CHOIX l’un des deux problèmes suivants. Vous avez le droit de faire les 2 bien entendu !
Problème 1 – Postulat de Bertrand, théorème de Sylvester
Le but de ce problème est de démontrer le postulat de Joseph Bertrand (1822-1900, mathématicien et économiste
français, beau-frère de Charles Hermite), stipulant que pour tout n ∈ N∗ , il existe un nombre premier dans l’ensemble
[[n + 1, 2n]]. Ce postulat a été démontré en 1850 par Pafnouti Tchebychev (celui des polynômes). La preuve que nous
proposons ici est due au mathématicien hongrois Paul Erdös (1913-1996).
Partie I – Majoration du produit des premiers nombres premiers
Soit P l’ensemble des nombres premiers, et n ∈ N∗ .
2n + 1
2n + 1
2n + 1
1. En comparant
et
, montrer que
6 22n .
n
n+1
n
Y
2n + 1
2. Montrer que
p divise
n
p∈P
n+1<p62n+1
3. En raisonnant par récurrence sur m, montrer que pour tout m > 2 :
Y
p 6 4m−1
p∈P
p6m
Partie II – Majoration d’un coefficient binomial
Soit n ∈ N, n > 2.
1. Montrer que pour tout réel positif x, ⌊2x⌋ − 2⌊x⌋ ∈ {0, 1}.
2. Montrer que pour tout nombre premier p, et tout entier naturel N , la valuation p-adique de N ! est
XN vp (N !) =
pk
k>1
(formule de Legendre).
3. En déduire que :
(a) pour tout nombre premier p, pvp (( n )) 6 2n ;
√
2n
61
(b) pour tout nombre premier p > 2n, vp
n
2n
2
= 0 (la clé de la preuve, selon Erdös).
(c) pour tout nombre premier p tel que n < p 6 n, vp
3
n
2n
1
4. En déduire que :


√
2n

6 (2n) 2n 

n
√
Y
p∈P
2n<p6 32 n
 
  Y

p · 
 
p∈P
n<p62n


p
.
Partie III – Démonstration du postulat de Bertrand
Soit n ∈ N, n > 2. On suppose dans cette partie que l’ensemble [[n + 1, 2n]] ne contient aucun nombre premier.
2n
2n
1. (a) Montrer que pour tout entier naturel k < n, on a
<
.
k
k+1
4n
2n
(b) En déduire que
6
.
2n
n
2. En déduire que :
√
2
4n
6 (2n) 2n 4 3 n .
2n
3. (a) Justifier que pour tout réel a > 1, a + 1 < 2a .
(b) Montrer que 2n 6 26
√
6
2n
.
4. Montrer que, sous l’hypothèse faite en début de partie, pour tout n > 50, 22n < 220(2n)
n < 4000.
2/3
. En déduire que
5. En remarquant que 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001 sont premiers, démontrer que le postulat de Bertrand est vrai pour n 6 4000.
6. Conclure.
Partie IV – Une conséquence du théorème de Sylvester
Le théorème de Sylvester ci-dessous constitue une généralisation du postulat de Bertrand : Si n et k sont deux entiers
strictement positifs tels que n > 2k, alors l’un au moins des nombres n, n − 1, . . . , n − k + 1 possède un diviseur premier
strictement plus grand que k.
1. Montrer que le théorème de Sylvester pour n = 2k est équivalent au postulat de Bertrand.
Dans la suite du problème, on admet le théorème de Sylvester, et on en donne un conséquence
assez inattendue :
n
les coefficients binomiaux ne sont presque jamais des puissances. Plus précisément, l’équation
= mℓ n’a pas de
k
solution entière en m dès lors que ℓ > 2 et 4 6 k 6 n − 4. La preuve exposée ci-dessous est également due à Erdös.
2. Justifier qu’on peut se limiter à l’étude du cas où n > 2k. On suppose désormais cette condition satisfaite.
n
3. Montrer que
possède un facteur premier p > k.
k
4. Soit n, k dans N∗ tels que n > 2k. Supposons qu’il existe un entier m, et un entier ℓ > 2 tels que nk = mℓ
(a) Montrer qu’il existe un entier premier p et un entier i ∈ [[0, k − 1]] tel que pℓ divise n − i.
(b) En déduire que n > k ℓ .
5. (a) Justifier l’existence et l’unicité de couples d’entiers positifs (ai , mi ), tels que les ai sont non divisibles par
une puissance non triviale d’ordre ℓ, et tels que pour tout i ∈ [[0, k − 1]], n − i = ai mℓi
(b) Montrer que les ai , i ∈ [[0, k − 1]] sont deux à deux distincts.
Indication : si ce n’est pas
= aj , avec i < j. En remarquant que mi > mj + 1, montrer
qle cas, considérer ai √
ℓ
que (n − i) − (n − j) > ℓ aj mj , puis que k > n.
6. (La clé de la preuve, selon Erdös)
(a) Montrer qu’il existe u et v des entiers premiers entre eux tels que uℓ
k−1
Q
i=0
(b) Montrer que tout diviseur premier p de v vérifie p 6 k.
2
ai = v ℓ k!.
(c) Soit p un diviseur premier de v. Montrer que
vp (a0 a1 . . . ak−1 ) 6
ℓ−1 X
k
i=1
pi
+1
(d) À l’aide de la formule de Legendre, en déduire que
vp (v ℓ ) 6 ℓ − 1.
puis que v = 1.
(e) Montrer que σ : i 7→ ai est une bijection de [[0, k − 1]] dans [[1, k]]. On note τ sa réciproque.
7. Montrer que si ℓ = 2, le résultat
attendu est vrai (donc que pour tout k > 4 et n > 2k, il n’existe pas de solution
n
2
entière de l’équation
= m ).
k
8. On suppose ℓ > 3, et k > 4. Soit i1 = τ (1), i2 = τ (2) et i4 = τ (4).
(a) Montrer que (n − i2 )2 6= (n − i1 )(n − i4 )
Indication : Poser b, x, y tels que n − i2 = b, n − i1 = b − x, n − i4 = b + y, et montrer que si l’égalité est
vraie, (y − x)b = xy, puis en minorant |xy|, trouver, à l’aide de la question 3, |xy| > |xy|.
(b) En déduire que m2i2 6= mi1 mi4 .
(c) On suppose m2i2 > mi1 mi4 . Montrer successivement :
i. 2(k − 1)n > (n − i2 )2 − (n − i1 )(n − i4 ) > 4ℓ(mi1 mi4 )ℓ−1
ii. 2(k − 1)nmi1 mi4 > ℓ(n − k + 1)2 > 2n2 (on pourra remarquer que n > 6k)
2
iii. kn 3 > n
(d) Conclure dans le cas où m2i2 > mi1 mi4 .
(e) Terminer la preuve du résultat.
9. (Question pouvant être traitée séparément ; de la nécessité de l’hypothèse k > 4)
Soit (un )n∈N définie par u0 = 9 et pour tout n ∈ N, un+1 = (2un − 1)2 .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N, u2n est un carré parfait.
(b) En déduire que l’équation n2 = m2 , d’inconnues entières n et m, admet une infinité de solutions.
(c) Montrer que 50
3 est un carré parfait. On sait montrer que c’est la seule solution pour k = 3 et ℓ = 2.
Ainsi, l’hypothèse k > 4 est importante dans la preuve générale. Où s’en est-on servi ?
Problème 2 – Loi de réciprocité quadratique
Le but de ce problème est de démontrer la loi de réciprocité quadratique, due à Gauss. On en présente trois preuves,
la première basée sur l’étude de la multiplication par q dans Z/pZ, la deuxième, due à Eisenstein, basée sur les
polynômes de Tchebychev, et la troisième, basée sur l’étude de la signature de certaines permutations, donc sur un
argument combinatoire.
Soit p un nombre premier. Un résidu quadratique modulo p est un élément a ∈ Z tel qu’il existe b ∈ Z tel que b2 ≡ a [p].
Autrement dit, a est un résidu quadratique si et seulement si sa classe dans Z/pZ s’exprime sous forme d’un carré,
i.e. est dans l’image de l’application x 7→ x2 .
Pour p un entier premier et a non divisible par p, on définit le symbole de Legendre par

1
si a est résidu quadratique modulo p
a
=
p L −1 sinon.
a
= 0 si a est divisible par p. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, vous êtes autorisés à écrire plus
On pose de plus
p L
a
.
simplement
p
3
La loi de réciprocité quadratique dit alors que si p et q sont deux entiers premiers impairs distincts, alors
p−1 q−1
p
q
= (−1) 2 · 2
.
p L
q L
Les parties II, III et IV sont indépendantes, elles ne dépendent chacune que de la partie I.
Questions préliminaires
Dans ces questions préliminaires, et uniquement dans ces questions, on admet la loi de réciprocité quadratique énoncée
ci-dessus.
q
p
1. Étant donnés deux entiers premiers impairs, justifier que
=
, sauf si p ≡ q ≡ 3[4]. Quelle relation
p L
q L
a-t-on dans ce cas ?
b
a
=
.
2. Montrer que si a ≡ b [p], alors
p L
p L
1
2
3. Déterminer
et
5 L
5 L
4. Est-ce que 5 est un résidu quadratique modulo 17 ? Modulo 41 ?
Partie I – Quelques propriétés élémentaires du symbole de Legendre
Dans toute cette partie, p désigne un nombre premier impair.
1. Caractérisation des résidus quadratiques
(a) Soit n un entier premier avec p. Justifier que n
p−1
2
≡ 1 [p] ou n
(b) Justifier que si n est un résidu quadratique premier avec p, n
(c) En considérant le polynôme X
p−1
2
p−1
2
p−1
2
≡ −1 [p]
≡ 1 [p].
− 1 de Fp [X], en déduire que pour tout entier n,
p−1
n
≡ n 2 [p] (formule d’Euler)
p L
(d) En déduire enfin la multiplicativité du symbole de Legendre : pour tous entiers m et n,
n
m
mn
=
.
p L
p L p L
(e) En admettant dans cette question (et uniquement dans cette question) la loi de réciprocité quadratique,
33
.
déterminer 127
L
2. Lemme de Gauss
Soit m un entier non divisible par p.
p−1 p−1
(a) Soit, pour n ∈ [[1, p−1
2 ]], rm (n) l’unique représentant de la classe de mn modulo p dans l’intervalle [[− 2 , 2 ]],
et em (n) ∈ {−1, 1} son signe. Montrer que les entiers |rm (n)| sont deux à deux distincts, puis que n 7→
em (n)rm (n) est une bijection de [[1, p−1
2 ]] dans lui-même.
(b) En déduire que
p−1
3. Caractère quadratique de 2
m
p
L
=
2
Y
em (n)
(lemme de Gauss)
n=1
p−1
2
= (−1)⌈ 4 ⌉
(a) Déduire du lemme de Gauss que
p L
p2 −1
2
2
2
= 1 si p ≡ ±1 [8] et
= −1 si p ≡ ±3 [8], puis enfin que
= (−1) 8 .
(b) En déduire que
p L
p L
p L
4
Ce résultat est particulièrement important car l’utilisation répétée du théorème de réciprocité quadratique associé
à la question
préliminaire
2 et à la multiplicativité ramène le calcul des symboles de Legendre au calcul de
1
2
symboles
= 1 et
.
p L
p L
Partie II – Démonstration calculatoire de la loi de réciprocité quadratique
Soit p et q deux nombres premiers impairs distincts, qu’on se pose pour les 3 parties à venir. Quitte à échanger le rôle
de p et q (ce qui n’a pas d’importance, la loi de réciprocité étant symétrique en p et q), on peut supposer que q > p.
Avec les notations de la partie I, on note µ le cardinal de k ∈ [[1, p−1
2 ]] tel que eq (k) = −1 . On note sq (k) le reste
de la division euclidienne de qk par p.
1. Justifier que eq (k)rq (k) = p · δ−1,eq (k) + eq (k)sq (k), où δ−1,eq (k) est le symbole de Kronecker, prenant la valeur
1 si −1 = eq(k) et 0 sinon.
2. À l’aide d’un résultat de la partie I, justifier que
p−1
2
X
p · δ−1,eq (k) + eq (k)sq (k) =
k=1
p2 − 1
8
3. Justifier que
p−1
2
X
k=1
p−1
2
où S(q, p) =
X
k=1
kq
eq (k) kq − p
p
≡ q·
p2 − 1
− pS(q, p) [2],
8
kq
.
p
4. En déduire que S(q, p) ≡ µ [2], puis que
q
= (−1)S(q,p) .
p L
j k
kq
]],
le
nombre
de
termes
égaux à ℓ dans la somme définissant S(q, p),
5. En comptant, pour chaque ℓ ∈ [[1, q−1
2
p
montrer que
q−1
q−1
X
2
2
X
ℓp
ℓp
(ℓ + 1)p
(ℓ + 1)p
S(q, p) =
−
=
−
.
ℓ
ℓ
q
q
q
q
ℓ=1
ℓ=1
p−1 q−1
6. En déduire que S(q, p) + S(p, q) =
·
. Donner une interprétation géométrique de cette formule,
2
2
consistant à compter les points entiers dans un certain rectangle.
7. Démontrer enfin la loi de réciprocité quadratique donnée dans le préambule du problème.
Partie III – Démonstration trigonométrique de la loi de réciprocité quadratique (Eisenstein)
Nous proposons dans cette partie une deuxième démonstration, due à Eisenstein, basée sur l’utilisation des polynômes
de Tchebychev. Elle utilise le lemme de Gauss démontré dans la partie I. On se donne un entier naturel impair m,
qu’on écrit sous la forme m = 2n + 1.
1. Expliciter, sous forme de somme de termes de la forme aj X j (1 − X)n−j , un polynôme Pn de degré n tel que
pour tout x ∈ R \ nZ,
sin(mx)
.
Pn (sin2 (x)) =
sin(x)
Déterminer le coefficient dominant de Pn .
2. En déduire que pour tout x ∈ R \ πZ,
m−1
2
m−1 Y
sin(mx)
2πj
2
2
.
sin (x) − sin
= (−4) 2
sin(x)
m
j=1
5
3. Montrer qu’avec les notations de la partie I, pour tout k ∈ [[1, p−1
2 ]],
2π
2π
qk = eq (k) sin
|rq (k)| .
sin
p
p
4. En déduire la loi de réciprocité quadratique.
Partie IV – Démonstration combinatoire de la loi de réciprocité quadratique
On propose une troisième et dernière démonstration, basée sur l’étude de signatures de certaines permutations.
Soit m ∈ Z \ pZ, et µm ∈ [[0, p − 1]][[0,p−1]] définie par µm (k) = km mod p, où km mod p désigne le reste de la division
euclidienne de km par p.
1. Montrer que µm ∈ S([[0, p − 1]]).
On définit alors le symbole de Zolotarev par :
m
p
= ε(µm ),
Z
où ε désigne le morphisme de signature.
On pourra de façon équivalente voir µm comme une permutation de Z/pZ.
n
mn
m
2. Montrer que pour tous entiers m et n premiers avec p,
=
.
p Z
p Z p Z
m
3. Montrer que si m est un résidu quadratique p, alors
=1
p Z
4. Soit G = hmi le sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif (Z/pZ)∗ engendré par la classe de m, et r son
p−1
ordre. En considérant les classes modulo G, montrer que le type cyclique de µm est 11 r r , autrement dit que
p−1
cycles disjoints de longueur r.
sa décomposition cyclique est composée d’un point fixe et de
r
p−1
m
m
m
2
5. En déduire une expression de ε(µm ), puis vérifier que
. Comparer
=m
et
.
p Z
p Z
p L
6. Comme dans les parties précédentes, q désigne un nombre premier impair distinct de
p.Soit j ∈ Z. Justifier
q
.
que i 7→ qi + j est un élément de S(Z/pZ) et déterminer sa signature en fonction de
p Z
7. Soit j ∈ [[0, q − 1]] et σj : Z/pZ × Z/qZ → Z/pZ × Z/qZ définie par :

(qi + j, j) si j = j ′
σj ((i, j ′ )) =
(i, j ′ )
sinon
q
Justifier que σj est une permutation de Z/pZ × Z/qZ, puis déterminer sa signature en fonction de
.
p Z
8. On définit enfin σ ∈ S (Z/pZ
× Z/qZ) par σ(i, j) = (qi + j, j) pour tout couple (i, j) cette fois (j n’est plus
q
fixé). Montrer que ε(σ) =
.
p Z
p
.
On définit de même τ ∈ S (Z/pZ × Z/qZ) de façon symétrique par τ (i, j) = (i, pj + i), qui vérifie donc ε(τ ) =
q Z
On définit également π : Z/pqZ → Z/pZ × Z/qZ par π(k) = k × (1, 1), pour k ∈ Z et enfin λ : [[0, pq − 1]] → [[0, pq − 1]]
définie, pour i ∈ [[0, p − 1]] et j ∈ [[0, q − 1]], par λ(qi + j) = pj + i.
9. Justifier que π est un isomophisme de groupes, que λ est bien définie et est une permutation, et que
λ ◦ π −1 ◦ σ = π −1 ◦ τ.
10. En comptant les inversions, déterminer la signature de λ et démontrer la loi de réciprocité quadratique.
6
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 24/04/2020
DM no 17 : Polynômes
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, par mail, avec les consignes suivantes à respecter scupuleusement
(y compris les majuscules et les espacements). Le respect de ces consignes facilite grandement la gestion des fichiers.
Merci d’avance !
• sujet du mail : DM17 MPSI4
• nom du fichier : dm17-nom.pdf (par exemple dm17-troesch.pdf si c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans
espace.
Vous faites AU CHOIX l’un des deux problèmes suivants. Vous avez le droit de faire les 2 bien entendu !
Problème 1 – Théorème de d’Alembert-Gauss
Nous donnons dans ce problème deux preuves du théorème de d’Alembert-Gauss, l’une essentiellement analytique,
l’autre essentiellement algébrique (mais reposant sur une propriété analytique simple : l’analyse semble incontournable
dans ce théorème).
Partie I – Démonstration analytique
n
X
Soit P =
ak X k un polynôme de C[X], qu’on suppose unitaire (sans perte de généralité), et non constant. Montrer
k=0
le théorème de d’Alembert Gauss revient à montrer l’existence d’une racine de P .
1. Montrer que |P (z)| → +∞ lorsque |z| → +∞ (z ∈ C).
On peut donc considérer M > 0 tel que pour tout z ∈ C, |z| > M =⇒ |P (z)| > |P (0)|.
2. Justifier que le sous-ensemble B(0, M ) de C est compact (c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété de BolzanoWeierstrass).
3. Justifier que |P | admet un minimum sur B(0, M ).
Notre but est de montrer que P (z0 ) = 0. Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que ce n’est pas le cas.
On note z0 ∈ B(0, M ) un point en lequel |P | atteint son minimum sur cet ensemble. et on fait un changement de
variable permettant de centrer le minimum : on considère Q le polynôme Q(X) = P (z0 + X), et on pose (bk ) ses
coefficients :
n
X
Q(X) =
bk X k .
k=0
∗
On note ℓ = inf{k ∈ N | bk 6= 0}. Ainsi,
Q(X) = b0 +
n
X
bk X k .
k=ℓ
Enfin, on pose c une racine ℓ-ième de −
b0
.
bℓ
4. Justifier que b0 6= 0
5. On pose f la fonction définie sur R par f (t) =
Q(tc)
. Montrer qu’il existe η > 0 tel que pour tout t ∈]0, η[,
b0
|f (t)| < 1.
6. En déduire une contradiction et conclure.
1
Partie II – Corps de décomposition d’un polynôme
Soit K un corps, et P un polynôme de K[X]. On veut montrer l’existence d’un corps K′ contenant K tel que P soit
scindé dans K′ [X]. Si K′ est minimal pour cette propriété, on dit que K′ est un corps de décomposition de K.
Soit Q un facteur irréductible (dans K[X]) de P . On note (Q) l’idéal principal de K[X] engendré par Q, et on note
K1 = K[X]/(Q) le quotient de K[X] par l’idéal (Q) (cela se comprend au sens d’un quotient de groupe).
1. Justifier que les lois + et × de K[X] passent au quotient et que les lois quotients définissent sur K1 une structure
de corps.
2. Soit ϕ : K[X] −→ K1 la projection canonique. Montrer que ϕ est un morphisme d’anneau, et que sa restriction
à K est injective.
Ainsi, on peut identifier K à son image Φ(K) ⊂ K1 . Via cette identification, on peut considérer que K ⊂ K1 .
3. En considérant θ = ϕ(X), montrer que P , vu comme polynôme de K1 [X], admet une racine dans K1 .
4. En raisonnant par récurrence, montrer l’existence d’un corps K2 contenant K dans lequel P est scindé.
5. Montrer l’existence d’un sous-corps minimal de K2 contenant K, dans lequel P est scindé.
Partie III – Polynômes symétriques
Soit K[X1 , . . . , Xn ] l’anneau des polynômes à n indéterminées à coefficients dans K, qui peut se définir récursivement
par
K[X1 , . . . , Xn ] = K[X1 , . . . , Xn−1 ][Xn ].
Les éléments de K[X1 , . . . , Xn ] s’écrivent de façon unique comme combinaison linéaire de monômes X1α1 . . . Xnαn .
Soit P ∈ K[X1 , . . . , Xn ]. On dit que P est symétrique si pour tout σ ∈ Sn , on a :
P (X1 , . . . , Xn ) = P (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ).
On définit les polynômes symétriques élémentaires :
Σk =
X
Xi1 Xi2 · · · Xik .
16i1 <i2 <···<ik 6n
Le but de cette partie est de montrer que l’ensemble S des polynômes symétriques de K[X1 , . . . , Xn ] est le sous-anneau
de K[X1 , . . . , Xn ] engendré par les polynômes symétriques élémentaires.
1. Montrer que S est un sous-anneau de K[X1 , . . . , Xn ].
2. Pour P ∈ K[X1 , . . . , Xn ], on note MD(P ) le monôme directeur de P , égal au monôme aX1α1 . . . Xnαn de la
décomposition de P pour lequel (α1 , . . . , αn ) est maximal pour l’ordre lexicographique.
Montrer que si P est un polynôme symétrique, alors
MD(P ) = aX1α1 . . . Xnαn =⇒ α1 > · · · > αn .
3. Montrer que pour tout P, Q ∈ K[X1 , . . . , Xn ], MD(P Q) = MD(P )MD(Q).
4. Soit α1 > · · · > αn des entiers naturels. Montrer que
α
n−1
MD(Σ1α1 −α2 · · · Σn−1
−αn
α1
αn
n
Σα
n ) = X1 · · · Xn .
5. En raisonnant par récurrence sur (α1 , . . . , αn ) le n-uplet des exposants du monôme directeur de P , montrer que
tout polynôme symétrique s’ecrit comme combinaison linéaire de produits de polynômes symétriques élémentaires, et conclure. On pourra considérer l’ordre lexicographique sur les n-uplets (α1 , . . . , αn ), et on justifiera
la validité de la « récurrence » ainsi faite sur l’ordre lexicographique.
Partie IV – Les polynômes de degré impair > 1 ne sont pas irréductibles dans C[X]
On montre dans cette partie qu’un polynôme de degré impair strictement supérieur à 1 n’est pas irréductible. On
rappelle que pour tout corps K, l’anneau K[X] est principal, et on admettra que cela implique que K[X] est factoriel,
donc que tout polynôme de K[X] se décompose de façon unique (à inversibles près, et à l’ordre près des facteurs)
comme produit de polynômes irréductibles.
2
1. Soit P ∈ R[X] de degré impair. Montrer que P admet une racine réelle.
On considère P ∈ C[X] de degré impair n = 2p + 1 > 1.
n
n
X
X
ak X k , on note P =
Si P =
ak X k .
k=0
k=0
On suppose que P est unitaire et irréductible, et on pose Q = P P .
2. Justifier que P 6∈ R[X] et Q ∈ R[X].
3. Montrer que Q est irréductible dans R[X]
Soit K un corps de décomposition de Q sur C, et α1 , . . . , α2n les racines de Q (non nécessairement distinctes) dans
K. On définit le polynôme R par :
Y
R=
(X − (αi + αj )).
16i<j62n
4. En remarquant que les coefficients de R sont symétriques en les αi , montrer que R ∈ R[X].
5. Montrer que R admet une racine r dans R. On définit :
r
et
S=Q X+
2
r
T = Q −X +
.
2
Montrer que S = T . En déduire l’existence de U ∈ R[X] tel que S(X) = U (X 2 )
6. En déduire l’existence d’une racine α de P et conclure.
Partie V – Preuve algébrique du théorème de d’Alembert-Gauss
1. Soit P un polynôme de C[X], et α1 , . . . , αn ses racines (non nécessairement distinctes) dans un corps de
décomposition K de P . On considère comme ci-dessus
Y
R=
(X − (αi + αj )).
16i<j6n
Justifier que R ∈ C[X], et qu’il existe un polynôme irréductible Q divisant R et dont la valuation 2-adique du
degré est strictement inférieure à la valuation 2-adique de degré de P .
2. Montrer le théorème de d’Alembert-Gauss par récurrence sur la valuation 2-adique du degré de P , en adaptant
la preuve de la partie IV.
Problème 2 – (Théorème de l’élément primitif )
Le but de ce problème est d’étudier des propriétés des extensions de corps. Une extension d’un corps K est la donnée
d’un corps L et d’un morphisme de corps K → L. D’après le cours, ce morphisme est nécessairement injectif, donc
son image est un sous-corps de L, isomorphe à K. Quitte à identifier K et son image, si K → L est une extension
du corps K, on peut toujours considérer que K est un sous-corps de L. Dans le problème, cette identification sera
faite systématiquement, et à chaque fois qu’on construira une extension de corps K → L, on considérera K comme
un sous-corps de L ; en particulier, les éléments de K seront considérés comme des éléments de L aussi.
Nous commençons par montrer, étant donné un polynôme P de K[X], l’existence d’une extension L de K minimale,
unique à isomorphisme près, telle que P soit scindé sur L. Une telle extension L est appelée corps de décomposition
de P .
Le but ultime du problème est de montrer le théorème de l’élément primitif, affirmant que sous certaines hypothèses,
une extension L de K est engendrée par un unique élément, dans le sens où il existe α dans L tel que L = K(α),
K(α) étant le plus petit sous-corps de L contenant tous les éléments de K et α.
Partie I – Extensions de degré fini.
Soit K ⊂ L une extension du corps K. On dit qu’un élément α du corps L est algébrique sur K s’il existe un polynôme
P 6= 0 à coefficients dans K (P ∈ K[X]) tel que P (α) = 0. On dit que l’extension K ⊂ L est algébrique si tout élément
α de L est algébrique sur K.
3
On rappelle que L est muni d’une structure de K-espace vectoriel. Si L est de dimension finie sur K, on dira que
l’extension K ⊂ L est de degré fini dimK (L). Cette dimension sera notée [L : K] (degré de L sur K)
1. Montrer que si K ⊂ L et L ⊂ M sont deux extensions de degré fini, alors K ⊂ M est aussi de degré fini, et
[M : K] = [M : L] × [L : K]
Indication : considérer la famille (ai bj ), où (ai ) est une base de L sur K et (bj ) une base de M sur L.
2. Montrer que si l’extension K ⊂ L est de degré fini, alors elle est algébrique.
3. Soit K ⊂ L une extension de degré fini. Montrer que pour tout α ∈ L, il existe un unique polynôme unitaire
irréductible Pα ∈ K[X] tel que α soit racine de Pα . Le polynôme Pα est appelé polynôme minimal de α, ou
polynôme irréductible de α sur K.
Partie II – Adjonction d’un ou plusieurs éléments à un corps
Dans cette partie, on considère K un corps, et K → L une extension de K. Suivant les conventions données dans
l’introduction, on considère que K ⊂ L. On définit, pour toute partie E de L, K(E) le plus petit sous-corps de L tel
que K ∪ E ⊂ K(E), si un tel corps existe. Pour alléger les notations, on notera par la suite, pour α ∈ L, K(α) au lieu
de K({α}) le plus petit sous-corps de L contenant K et α, et de même K(α1 , · · · , αn ) au lieu de K({α1 , . . . , αn }).
\
1. Soit (Mi )i∈I une famille non vide de sous-corps de L. Montrer que
Mi est un sous-corps de L.
i∈I
2. Soit E ⊂ L. Justifier l’existence de K(E).
3. Montrer que si E et F sont deux parties de L, K(E ∪ F ) = K(E)(F ) (le plus petit sous-corps de L contenant
K(E) et F ).
En particulier, si α1 , · · · αn sont des éléments de L, on a donc K(α1 , · · · , αn ) = K(α1 , · · · , αn−1 )(αn ).
4. A-t-on en général K(α) ≃ K(β), pour α, β ∈ L quelconques ? (on pourra chercher un contre-exemple avec des
corps bien connus).
5. Soit P un polynôme irréductible sur K. On note (P ) l’idéal principal engendré par P dans K[X]. On rappelle
qu’on peut munir le quotient K[X]/(P ) d’une structure d’anneau.
Montrer que K[X]/(P ) est un corps.
6. Soit α ∈ L une racine de P . Soit ϕ : K[X] → L définie par ϕ(Q) = Q(α). Montrer que ϕ est un morphisme
d’anneaux et justifier que son noyau est (P ).
7. En déduire qu’il existe un isomorphisme de corps entre K[X]/(P ) et K(α) (on dira que les deux corps sont
isomorphes ; de façon générale, on notera K ≃ K ′ pour dire que les deux corps K et K ′ sont isomorphes)
8. Soit α et β deux racines dans L d’un même polynôme irréductible sur K. Montrer que K(α) et K(β) sont
isomorphes.
9. Dans les hypothèses de la question précédente, a-t-on en général K(α) = K(β) ? On pourra considérer le
polynôme X 3 − 2 de Q[X], après avoir justifié qu’il est irréductible sur Q.
Partie III – Corps de décomposition d’un polynôme
Dans la partie précédente, on a considéré une extension minimale K(α) de K dans laquelle un polynôme irréductible
P admet une racine α. Cette construction a été possible du fait de la donnée préalable d’un corps L dans lequel P
admet une racine. Nous aimerions maintenant nous affranchir de cette donnée initiale. Pour cela, nous partons de
l’observation que la question 7 donne une description de K(α) indépendante de L.
1. Soit P un polynôme irréductible. Montrer que l’application i : K → K[X]/(P ) associant à λ la classe du
polynôme constant λ est un morphisme de corps, permettant donc de considérer K comme un sous-corps de
K[X]/(P ).
2. En considérant α la classe du polynôme X dans K[X]/(P ), montrer que le polynôme P admet une racine dans
l’extension K[X]/(P ) de K.
4
Si K ⊂ L est une extension de K telle que le polynôme (irréductible ou non) P ∈ K[X] admette une racine dans L,
on dit que L est un corps de rupture de P . On vient de démontrer que pour tout polynôme irréductible P , il existe
une extension K ⊂ L telle que L soit un corps de rupture du polynôme P .
3. Justifier que pour tout P ∈ K[X] (irréductible ou non), il existe une extension K ⊂ L de P telle que L soit un
corps de rupture de P .
4. En raisonnant par récurrence sur deg P , montrer que pour tout P ∈ K[X], il existe une extension K ⊂ L de K
telle que P soit scindé sur L.
Notant alors α1 , . . . , αr les racines distinctes de P , le sous-corps M = K(α1 , . . . , αr ) de L est alors une extension de
K dans laquelle P est scindé, et est clairement minimale pour cette propriété dans le sens où pour toute extension
K ⊂ M ′ ⊂ M telle que P soit scindé sur M ′ , on a M = M ′ . Une telle extension M , sur laquelle P est scindé, et
minimale pour cette propriété, est appelée corps de décomposition de P . Le but de la fin de cette partie est de justifier
l’unicité (à isomorphisme près) de deux corps de décomposition d’un polynôme P .
b : K[X] → K ′ [X] par λ(P
b ) = Pλ , où, pour
Soit λ : K → K ′ un isomorphisme entre deux corps K et K ′ . On définit λ
d
d
P
P
λ(ak )X k .
ak X k , Pλ est défini par Pλ =
P =
k=0
k=0
b est un isomorphisme d’anneaux.
5. Montrer que λ
6. Montrer que si P ∈ K[X] est irréductible, il en est de même de Pλ , et que les corps K[X]/(P ) et K ′ [X]/(Pλ )
sont isomorphes.
∗
7. En raisonnant par récurrence sur deg P , montrer que pour tout polynôme P 6= 0 (sur n’importe quel corps K),
pour tout isomorphisme λ : K → K ′ , pour toute extension K ⊂ L et toute extension K ′ ⊂ L′ telles que P soit
scindé dans L et Pλ soit scindé dans L′ , en notant α1 , · · · , αr les racines distinctes de P dans L et β1 , . . . , βs
les racines distinctes de Pλ dans L′ , le sous-corps K(α1 , . . . , αr ) de L et le sous-corps K ′ (β1 , . . . , βs ) de L′ sont
isomorphes.
Indication : on pourra commencer par comparer K(α1 ) et K ′ (β1 ), en supposant que α1 et β1 sont racines de
facteurs irréductibles Q et R de P et Pλ respectivement, se correspondant via λ (c’est-à-dire tels que R = Qλ ).
8. En déduire que deux corps de décomposition de P sont isomorphes.
∗∗
9. [Cette question n’est pas utile pour la suite]
Soit K ⊂ L une extension de corps. Montrer que L est le corps de décomposition d’un polynôme P de K[X]
si et seulement si L est de degré fini, et si tout polynôme irréductible P de K[X] ayant une racine dans L est
scindé dans L.
Indications :
• Pour le sens direct, si L est corps de rupture de P , et si Q est un polynôme irréductible ayant une racine
dans L, considérer une extension L ⊂ M telle que M soit corps de décomposition du polynôme P Q,
• pour la réciproque, écrire L = K(α1 , · · · , αn ) et considérer un corps de décomposition M du produit
des polynômes minimaux des αi . Notant β et γ deux racines de Q dans M , comparer [L(β) : K(β)] et
[L(γ) : K(γ)] puis [L(β) : L] et [L(γ) : L].
Partie IV – Extensions séparables
Un polynôme irréductible P ∈ K[X] est dit séparable lorsque ses racines dans un corps de décomposition de P sont
deux à deux distinctes. Il est dit inséparable sinon.
1. Soit P ∈ K[X] non constant, et L un corps de décomposition de P .
(a) Soit α ∈ L. On suppose que X − α divise P et P ′ dans L[X], et on écrit P = (X − α)Q, où Q ∈ L[X].
Montrer que X − α divise Q.
(b) En déduire que P est inséparable si et seulement si P ∧P ′ 6= 1 (on prendra garde au fait que la caractéristique
de K est quelconque).
Ainsi, en contraposant, un polynôme non constant P est séparable si et seulement si P ∧ P ′ = 1. On remarquera
que cette caractérisation ne dépend pas de L (ou même plus généralement d’une extension dans laquelle P est
scindé).
5
2. Montrer que si K est de caractéristique nulle, tout polynôme irréductible P est séparable. Montrer que si K
est de caractéristique finie, un polynôme irréductible P est séparable si et seulement si P ′ 6= 0.
3. Soit p un nombre premier impair. On donne ici un exemple de polynôme irréductible non séparable pour un
corps K de caractéristique p.
(a) Justifier qu’il existe une extension Fp ⊂ K et un élément t de K tel que t ne soit pas algébrique sur Fp (on
pourra considérer K = Fp (X))
(b) Soit P = X p − t ∈ K[X], et α une racine de P dans un corps de décomposition L de P . Montrer que
P = (X − α)p .
∗
∗
(c) Montrer que si P n’est pas irréductible sur K, α ∈ K.
(d) Montrer que P est un polynôme irréductible inséparable.
Indication : montrer que l’appartenance de α à K entre en contradiction avec la transcendance de t ; on
pourra pour cela justifier l’existence de F ∈ Fp (X) tel que α = F (t).
Soit K ⊂ L une extension de corps. On dit qu’un élément α de L est séparable sur K s’il est algébrique et si son
polynôme irréductible (ou minimal) Pα est séparable sur K. On dit que l’extension K ⊂ L est séparable si tout élément
de α est séparable sur K.
4. Soit K ⊂ L ⊂ M deux extensions de corps.
(a) Soit α ∈ M , algébrique sur K. Justifier que α est algébrique sur L.
(b) Soit Pα ∈ K[X] le polynôme irréductible de α sur K et Qα ∈ L[X] le polynôme irréductible de α sur L.
Montrer que Qα divise Pα dans L[X].
(c) Montrer que si K ⊂ M est séparable, alors K ⊂ L et L ⊂ M sont séparables.
Partie V – Théorème de l’élément primitif
On montre dans cette partie le théorème de l’élément primitif. Ce théorème affirme que si K ⊂ L est une extension
séparable de degré fini, alors il existe θ ∈ L tel que L = K(θ) (on dit que l’extension est simple).
On se donne donc dans cette partie une extension K ⊂ L séparable de degré fini. On note n = dimK (L) = [L : K].
1. On suppose dans un premier temps que K est de cardinal infini.
(a) On traite pour commencer le cas où il existe deux éléments α et β tels que L = K(α, β). Après avoir
justifié l’existence de polynômes irréductibles Pα et Pβ de K[X] annulant respectivement α et β, et en
notant α, α2 , · · · , αr et β, β2 , . . . , βs respectivement les racines distinctes de Pα et de Pβ dans un corps M
de décomposition du produit Pα Pβ , montrer qu’il existe t ∈ K ∗ tel que pour tout (i, j) ∈ [[2, r]] × [[2, s]],
αi + tβj 6= α + tβ.
(b) On se donne un tel t, et on pose θ = α + tβ. Soit H ∈ K(θ)[X] le polynôme à coefficients dans K(θ) défini
par H(X) = Pα (θ − tX). Montrer que H ∧ Pβ = X − β
Indication : calculer ce PGCD dans M [X] en déterminant les racines communes et leurs multiplicités.
(c) En déduire que β ∈ K(θ), puis que K(θ) = K(α, β) = L.
(d) Montrer par récurrence sur n que si L = K(α1 , . . . , αn ), il existe θ ∈ L tel que L = K(θ)
(e) Terminer la preuve du théorème de l’élément primitif pour K infini.
√ √
2. Trouver θ tel que Q( 2, 3) = Q(θ).
∗
3. Soit L un corps fini. Montrer que (L∗ , ×) est un groupe cyclique.
4. En déduire le théorème de l’élément primitif lorsque K est un corps fini.
∗∗
Question subsidiaire (hors barême)
Un corps K est dit parfait si toute extension algébrique de K est séparable. Montrer que K est un corps parfait si et
seulement si la caractéristique de K est nulle, ou si la caractéristique de K est égale à p 6= 0 et K = {ap , a ∈ K}.
6
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 10/05/2020
DM no 17 : Algèbre linéaire, matrices
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, par mail, avec les consignes suivantes à respecter scupuleusement
(y compris les majuscules et les espacements). Le respect de ces consignes facilite grandement la gestion des fichiers.
Merci d’avance !
• sujet du mail : DM18 MPSI4
• nom du fichier : dm18-nom.pdf (par exemple dm18-troesch.pdf si c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans
espace.
Les deux problèmes sont obligatoires.
Problème 1 – Réduction de Jordan
Soit u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie n. On admet sans preuve le résultat suivant, vu
par ailleurs :
Soit P = (X − λ1 )α1 · · · (X − λk )αk le polynôme minimal de u, les λi étant deux à deux distincts. On a
alors :
M
Ker((u − λi id)αi ).
E=
i∈[[1,k]]
Le but du problème est de montrer qu’il existe une base B relativement à laquelle la matrice de u s’écrit

λ 1
0 ···


0
···
0
J1

..
0 λ

.
1
.. 

..
 0


.
. 
J2

.
.
..
..
MatB (u) =  .
 , où tout bloc Jℓ est de la forme Jℓ = 
0 0
..
..
 .


.
.
0 
 .
..
..
 ..
.
.
.
0
···
0
Jℓ
0 ··· 0
0
par blocs :

0
.. 
.



0


1
λ
On notera au passage que la preuve permettrait de retrouver le théorème des noyaux itérés, indissociable de ce résultat.
Partie I – Réduction du problème
1. Soit, avec les notations de l’introduction, pour tout i ∈ [[1, k]], Ei = Ker((u − λi id)αi ). Montrer que Ei est stable
par u et u − λi id.
2. Soit pour tout i ∈ [[1, k]], ui l’endomorphisme de Ei induit par u sur Ei . Justifier que si pour tout i ∈ [[1, k]],
Bi est une base de Ei , et si B est la base de E obtenue en juxtaposant dans cet ordre les bases, B1 , B2 , . . . , Bk ,
alors on a la représentation par blocs :


0

 MatB1 (u1 )







0

MatB (u) = 


..


.




0

···
..
.
.
..
.
···
0
MatB2 (u2 )
..
1
0







..


.

.




0




MatBk (uk ) 
3. Soit vi l’endomorphisme de Ei induit par u − λi id sur Ei . Montrer que vi est nilpotent.
4. Montrer que si tout endomorphisme nilpotent de tout C-ev de dimension finie admet une réduction de Jordan,
alors tout endomorphisme de tout C-ev de dimension finie admet une réduction de Jordan.
Partie II – Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent
D’après la partie précédente, on peut donc se limiter à l’étude de la réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent.
Soit donc u ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent.
1. Soit p l’indice de nilpotence de u, c’est-à-dire le plus petit entier positif tel que up = 0. En particulier,
up−1 6= 0. Soit S un supplémentaire de Ker(up−1 ) dans E. Soit x non nul dans S. Montrer que la famille
(up−1 (x), up−2 (x), . . . , u(x), x) est libre. On note F le sous-espace engendré par cette famille.
2. Montrer que F est stable par u.
3. Montrer que pour tout k ∈ [[1, p]], on a Ker(uk−1 ) ⊕ Vect(up−k (x)) ⊂ Ker(uk )
4. Soit Sp un supplémentaire de Ker(up−1 ) ⊕ Vect(x) dans Ker(up ). Montrer qu’il existe un supplémentaire Sp−1
de Ker(up−2 ) ⊕ Vect(u(x)) dans Ker(up−1 ) contenant u(Sp ).
5. Montrer plus généralement qu’on peut construire une suite (Sk )k∈[[1,p]] , Sk étant un supplémentaire de Ker(uk−1 )⊕
Vect(up−k (x)) dans Ker(uk ), et tel que u(Sk+1 ) ⊂ Sk , pour tout k ∈ [[1, p − 1]]
6. Montrer que T = S1 + · · · + Sp est un supplémentaire de F dans E, stable par u.
7. Terminer la preuve de l’existence d’une décomposition de Jordan, par récurrence.
Problème 2 – Exponentielles et logarithmes de matrices
P
L’objet de ce problème est d’étudier certaines séries de matrices
An où (An )n∈N est une suite de matrice. On
s’intéresse notamment aux séries exponentielles, logarithmiques et géométriques
Soit p ∈ N∗ . Soit pour tout n ∈ n ∈ N, An ∈ Mp (C) (matrice carrée de taille n). On dit que la suite (An )n∈N converge
vers la matrice A ∈ Mp (R) si pour tout (i, j) ∈ [[1, p]]2 , la suite numérique des coefficients en position (i, j) des
P
matrices An converge vers le coefficient en position (i, j) de A (convergence coefficient par coefficient). La série
An
converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles converge, ce qui équivaut à dire que les séries convergent
coefficient par coefficient.
On définit, pour tout matrice A ∈ Mp (C) pour laquelle les séries convergent :
exp(A) =
+∞
X
An
,
n!
n=0
ln(A) =
et
+∞
X
(−1)n+1 (A − Ip )n
.
n
n=1
On se propose d’étudier ces deux séries, ainsi que la série géométrique, sur deux exemples explicites.
Partie I – Premier exemple

0 a
. .
..
 ..


.
Soit p ∈ N∗ , p > 2. Soit a ∈ R. On pose A = 
 ..
.
.
.
0 ···
0
..
.
..
.
···
1. Dans cette question, p = 4 et a = 1.
···
..
.
..
.
..
.
···

0
.. 
.



0 ∈ Mp (R).


a
0
(a) Calculer An pour tout n ∈ N.
(b) En déduire l’existence et l’expression de exp(A).
(c) Montrer que exp(A) est inversible, et donner son inverse.
(d) On note C = exp(A) − I4 . Calculer C n pour tout n ∈ N.
(e) Que vaut ln(exp(A)) ?
2
(f) Montrer que I4 − A est inversible et calculer son inverse par la méthode du pivot.
+∞
P n
(g) Comparer à
A et commenter.
n=0
2. Étendre les résultats précédents à p ∈ N∗ et a ∈ R quelconques.
Partie II – Deuxième exemple
!
− 35 − 23
On pose A =
.
− 31 − 43
1. (a) Déterminer une base (b1 , b2 ) de R2 telle que les droites engendrées par b1 et b2 sont stables par l’endomorphisme f canoniquement associé à A (on pourra pour cela étudier Ker(f − λid))
(b) Soit P la matrice dont les 2 colonnes sont les coordonnées de b1 et b2 respectivement. Montrer que P −1 AP
est une matrice diagonale D, que l’on déteminera.
(c) Montrer que exp(A) existe et que exp(A) = P exp(D)P −1 .
!
1 2e−2 + e−1 2e−2 − 2e−1
(d) En déduire que exp(A) =
.
3 e−2 − e−1
e−2 + 2e−2
2. Calculer l’inverse de exp(A).
3. On note B = exp(A). Notre but est de déterminer ln(B) = ln(exp(A)).
(a) Justifier qu’il existe une matrice diagonale D′ que l’on déterminera telle que B − I2 = P D′ P −1 .
(b) Justifier l’existence de ln(D′ + I2 ) et donner son expression.
(c) Conclure.
Partie III – Exponentielle générale
On se fixe n ∈ N∗ . On définit, pour tout A = (ai,j ) ∈ Mn (C) :
kAk = max |ai,j |.
16i,j6n
1. (a) Montrer que A 7→ kAk définit une norme sur Mn (R) (c’est-à-dire une application N telle que N (x) = 0 ⇐⇒
x = 0, N (λx) = |λ|N (x) et N (x + y) 6 N (x) + N (y), x et y étant des vecteurs quelconques, λ un scalaire).
(b) Soit (Ak ) une suite de matrice. Justifier que Ak converge vers une matrice A si et seulement si kAk −Ak → 0.
(c) Justifier que (Ak ) converge si et seulement si pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que pour tout k, p > N ,
kAk − Ap k 6 ε.
2. Soit A, B ∈ Mn (R). Établir une inégalité entre kABk, kAk, kBk et n.
3. Soit A ∈ Mn (R) et k ∈ N∗ . Montrer que kAk k 6 nk−1 kAkk . En déduire l’existence de exp(A).
4. Soit A, B ∈ Mn (R) telle que AB = BA. Établir exp(A) exp(B) = exp(A + B).
5. Trouver deux matrices A et B telles que exp(A) exp(B) 6= exp(A + B).
+∞
X
A2k+1
A2k
et sin(A) =
(−1)k
. On admettra la convergence de ces séries
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
k=0
pour tout A ∈ Mn (R), ce qui se prouve par un argument similaire à celui développé pour l’exponentielle.
6. On définit cos(A) =
+∞
X
(−1)k
Exprimer, sous une certaine condition à préciser, cos(A+B) et sin(A+B) en fonction de cos(A), cos(B), sin(A),
sin(B).
3
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 25/05/2020
DM no 19 : Matrices
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, par mail, avec les consignes suivantes à respecter scupuleusement
(y compris les majuscules et les espacements). Le respect de ces consignes facilite grandement la gestion des fichiers.
Merci d’avance !
• sujet du mail : DM19 MPSI4
• nom du fichier : dm19-nom.pdf (par exemple dm19-troesch.pdf si c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans
espace.
Problème 1 – Trigonalisation, matrices de Hessenberg et tridiagonalisation
Soit n ∈ N∗ . Nous montrons dans ce problème que toute matrice de Mn (C) est trigonalisable (ou triangularisable),
c’est-à-dire semblable à une matrice triangulaire supérieure. Nous montrons ensuite que dans Mn (R), toute matrice
est semblable à une matrice de Hessenberg, c’est-à-dire une matrice M = (mi,j )16i,j6n telle que mi,j = 0 dès lors
que i > j + 1. Ainsi, une matrice M est une matrice de Hessenberg si et seulement si tous ses coefficients situés
strictement sous sa diagonale sont nuls, à l’exception eventuelle des coefficients situés sur la première sous-diagonale.
Pour terminer nous étudions le cas particulier des matrices symétriques S : dans ce cas, la classe de similitude de S
contient au moins une matrice tridiagonale M = (mi,j )16i,j6n , c’est-à-dire telle que mi,j = 0 dès lors que |i − j| > 1.
Question préliminaire
Soit K = R ou C. Justifier que toute matrice M ∈ Mn (K) est équivalente à une matrice triangulaire supérieure.
Partie I – Autour du polynôme minimal
Soit K = R ou C. Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
1. Justifier l’existence d’un polynôme Q non nul annulateur de u, c’est-à-dire tel que Q(u) = 0.
2. Justifier l’existence d’un unique polynôme unitaire P divisant tout polynôme annulateur de u. Ce polynôme P
est appelé polynôme minimal de u.
3. Soit P le polynôme minimal de u.
(a) Justifier que si λ ∈ K est racine de P , alors u − λId n’est pas un automorphisme.
(b) En déduire que λ est racine de P si et seulement s’il existe x ∈ E non nul tel que u(x) = λx. On dit dans
ce cas que λ est une valeur propre de u, et que x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
4. On suppose ici K = R, et on considère P0 un facteur irréductible de degré 2 de P .
(a) Montrer que Ker(P0 (u)) est non réduit à {0}, et est stable par u.
(b) En considérant la famille (x, u(x)), pour un vecteur x bien choisi, montrer qu’il existe un plan P de E,
stable par u.
Partie II – Trigonalisation dans Mn (C)
Soit E un C-espace vectoriel de dimension n, et u ∈ L(E).
1. (a) Montrer qu’il existe une base (b1 , . . . , bn ) de E relativement à laquelle la matrice de u n’a que des coefficients
nuls sur sa première colonne, à l’exception éventuelle du coefficient en position (1, 1).
(b) En déduire que toute matrice de Mn (C) est trigonalisable dans Mn (C).
1
(c) Soit B une base relativement à laquelle la matrice M de u soit triangulaire. En étudiant le noyau de M −λIn ,
montrer que les coefficients diagonaux de M sont des valeurs propres de u (notion définie en partie 1), donc
des racines du polynôme minimal.
2. On recherche maintenant une forme plus spécifique de matrice triangulaire représentant u.
(a) (Lemme des noyaux)
Soit A et B deux polynômes premiers entre eux. Montrer que
Ker(A(u) ◦ B(u)) = Ker(A(u)) ⊕ Ker(B(u)).
(b) En considérant une décomposition en facteurs irréductibles du polynôme minimal de u, en déduire qu’il
existe une décomposition
E = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ Ek
de E en somme directe de k sous-espaces Ei , i ∈ [[1, k]], telle que :
(i) chaque Ei est stable par u
(ii) pour tout i ∈ [[1, k]], l’endomorphisme ui de Ei induit par u admet une unique valeur propre λi (notion
définie en partie 1)
(iii) Les λi , i ∈ [[1, k]] sont deux à deux distincts.
3. En déduire que toute matrice de Mn (C) est semblable à une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant
une matrice triangulaire supérieure à diagonale constante, deux blocs différents ayant des coefficients diagonaux
différents.
4. On dit qu’une matrice M est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.
Montrer qu’une matrice M est diagonalisable dans Mn (C) si et seulement si son polynôme minimal est à racines
simples.
Partie III – Matrices de Hessenberg
On note Hn l’ensemble des matrices de Hessenberg de Mn (R), définies en début de problème.
1. (a) Montrer que Hn est un sous-espace de Mn (R). Quelle est sa dimension ? Est-ce une sous-algèbre ?
(b) Soit M ∈ Hn et T une matrice triangulaire supérieure. Montrer que M T et T M appartiennent à Hn .
2. (a) Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, et soit u ∈ L(E). En adaptant la preuve de II-1, montrer
qu’il existe une base relativement à laquelle la matrice de u est triangulaire par blocs, les blocs diagonaux
étant des blocs carrés 1 × 1 ou 2 × 2.
(b) En déduire que toute matrice réelle est sembable à une matrice de Hessenberg.
3. Dans cette question, on redémontre le même résultat par une méthode purement algorithmique. Cet algorithme
donne une façon effective de trouver une matrice de Hessenberg semblable à une matrice M donnée. Soit
M ∈ Mn (R).
(a) À l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, montrer qu’il existe P ∈ GLn (R) telle que
les coefficients de P M P −1 en position (i, 1) pour i > 3 soient tous nuls.
(b) Conclure une nouvelle fois que toute matrice de Mn (R) est semblable à une matrice de Hessenberg.
(c) On suppose définies en Python les 4 fonctions suivantes :
• echange_lignes(A,i,j),
• echange_colonnes(A,i,j),
• combine_lignes(A,i,j,a),
• combine_colonnes(A,i,j,a)
retournant une matrice obtenue de A, respectivement par l’échange des lignes i et j, par l’échange des
colonnes i et j, par l’opération sur les lignes Li ← Li +aLj , et par l’opération sur les colonnes Ci ← Ci +aCj .
Écrire une fonction hessenberg(A) retournant une matrice de Hessenberg équivalente à la matrice A.
2
Partie IV – Méthode de Householder
Soit k ∈ [[1, n]].
1. Soit X ∈ Mk,1 (R) une matrice colonne non nulle.
(a) Montrer que tXX est un réel strictement positif.
√
La norme de X est définie par kXk = tXX.
2
(b) Vérifier que la matrice SX = Ik −
X tX est une matrice de symétrie, ainsi que la matrice TX définie
kXk2
par blocs :
!
In−k 0n−k,k
,
TX =
0k,n−k
SX
où 0i,j désigne la matrice nulle de Mi,j
2. Soit E1 la première matrice de la base canonique de Mk,1 (R), Y ∈ Mk,1 (R) non colinéaire à E1 et X =
Y + kY kE1 .
Montrer que la matrice SX Y est colinéaire à E1 .
3. Soit M une matrice de Mn (R).
(a) Montrer que pour tout r ∈ [[1, n − 1]], il existe une matrice Pr obtenue comme produit de matrices de
symétrie telle que Pr M Pr−1 soit de la forme par blocs











Hr
0n−r,r−1
Y

Ar 


,



Br 
avec Hr ∈ Hr , Ar ∈ Mr,n−r (R), Br ∈ Mn−r,n−r (R) et Y ∈ Mn−r,1 (R).
(b) Retrouver que toute matrice de Mn (R) est semblable à une matrice de Hessenberg.
4. Montrer que toute matrice symétrique de Mn (R) est semblable à une matrice tridiagonale.
3
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 04/06/2020
DM no 20 : Espaces euclidiens
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, par mail, avec les consignes suivantes à respecter scupuleusement
(y compris les majuscules et les espacements). Le respect de ces consignes facilite grandement la gestion des fichiers.
Merci d’avance !
• sujet du mail : DM20 MPSI4
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espace.
Problème 1 – (Pseudo-inverse d’une matrice - ESSEC 2012)
Notations
Dans tout le problème, les lettres m et n désignent des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
Par ailleurs, on note :
• Mm,n (R) l’espace vectoriel des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients réels ; ainsi, tout élément X
appartenant à Mn,1 (R) est une matrice colonne à n lignes.
• tM la matrice transposée de la matrice M .
• In la matrice identité de Mn,n (R).
• Pour M appartenant à Mm,n (R),
Ker M = {X ∈ Mn,1 (R) | M X = 0}
et
Im M = {M X | X ∈ Mn,1 (R)}.
• Pour tout m entier naturel non nul, on munit Mm,1 (R) de sa structure euclidienne canonique ; ainsi :
 
 
y1
x1
 
 
x
 y2 
 2

 
si X = 
 ..  et Y =  ..  appartiennent à Mm,1 (R), le produit scalaire de X et Y s’obtient par la relation
 . 
 . 
ym
xm
m
m
X
X
t
yi2 .
xi yi , et la norme euclidienne de Y , notée kY km par : kY k2m = tY Y =
XY =
i=1
i=1
• On admettra que toute matrice et sa transposée ont même rang. De plus, on rappelle que lorsque le produit de
deux matrices M et N est possible, on a la relation t(M N ) = tN tM .
1. Question préliminaire
Soit F un sous-espace vectoriel de Mn,1 (R) de dimension k non nulle et (U1 , U2 , . . . , Uk ) une base orthonormée
de vecteurs colonnes de F .
On envisage la projection orthogonale sur F représentée par sa matrice P dans la base canonique de Mn,1 (R).
k
X
Montrer que P =
Ui tUi et vérifier que P est une matrice symétrique.
i=1
Partie I – Décomposition spéctrale de la matrice tAA associée à une matrice A de Mm,n (R).
On envisage dans toute cette partie une matrice A appartenant à Mm,n (R)
2. (a) Préciser la taille de la matrice tAA et vérifier que Ker A ⊂ Ker tAA.
(b) Montrer que si X ∈ Ker tAA alors kAXkn = 0 et établir que Ker A = Ker tAA.
Montrer que A et tAA sont nulles simultanément.
1
(c) Justifier l’égalité : Im tA = Im tAA.
3. (a) Établir que la matrice tAA est diagonalisable et en calculant kAXk2m pour X vecteur propre de la matrice
t
AA, montrer que ses valeurs propres sont des réels positifs.
(b) On désigne par (λ1 , λ2 , . . . , λp ) la liste des valeurs propres distinctes de la matrice tAA, classée dans l’ordre
croissant.
p
M
Eλi ( tAA), où Eλ1 ( tAA) = Ker( tAA − λi In ).
On rappelle que Mn,1 (R) =
i=1
Pour i entier naturel compris entre 1 et p, on note Pi la matrice de la projection orthogonale sur Eλi ( tAA)
dans la base canonique de Mn,1 (R).
Vérifier que pour i et j distincts compris entre 1 et p, Pi Pj est la matrice nulle.
p
p
X
X
λi Pi . Cette dernière écriture s’appelle la décomposition
Pi et tAA =
Justifier les relations : In =
i=1
i=1
spectrale de tAA.
4. Exemples :

1 −1 1


(a) Déterminer la décomposition spectrale de tAA lorsque A est la matrice 3,3 égale à  1 −1 1.
−1 1 2

(b) On envisage la matrice ligne A = (a1 a2 · · · an ) où les réels a1 , a2 , . . . , an sont fixés, non tous nuls simultanément. Ainsi, A tA est un réel.
Montrer que le polynôme X 2 − (A tA)X est annulateur pour la matrice tAA. Préciser la liste des valeurs
propres et la décomposition spectrale de la matrice tAA.
Partie II – Pseudo solution d’une équation linéaire
On s’intéresse dans cette partie à l’équation AX = B où A ∈ Mm;n (R) et B = Mm,1 (R).
Une matrice X appartenant à Mn,1 (R) est dite solution de cette équation si elle vérifie la relation AX = B.
Elle est dite pseudo solution de cette équation si elle vérifie :
∀Z ∈ Mn,1 (R), kAX − Bkm 6 kAZ − Bkm .
5. On suppose que l’équation AX = B admet au moins une solution. Montrer que X est une pseudo solution si
et seulement si elle est solution de l’équation.
6. On suppose que X est une pseudo solution de l’équation.
Montrer que, pour tout réel λ et toute matrice Y de Mn,1 (R), on a :
λ2 kAY k2m + 2λ tY tA(AX − B) > 0.
En déduire que tAAX = tAB.
7. Montrer que tout X de Mn,1 (R) vérifiant la relation tAAX = tAB est pseudo solution et en déduire qu’il
existe toujours au moins une pseudo solution de l’équation.
8. Exemple : déterminer toutes les pseudo solutions

1 −1

A =  1 −1
−1 1
de l’équation AX = B lorsque :

 
2
1

 
et
B = 2  .
1
1
2
Parmi celles-ci, préciser celle dont la norme euclidienne est minimale.
9. Donner une condition sur le rang de A pour que l’équation admette une unique pseudo solution.
Partie III – Pseudo inverse d’une matrice
On reprend les notations de la partie 2.
Parmi toutes les pseudo solutions de l’équation AX = B, on se propose de chercher s’il en existe, celle(s) dont la
norme euclidienne est minimale.
2
10. Montrer que l’équation possède une unique pseudo solution de norme minimale notée S et qu’elle est caractérisée
par les deux conditions : tAAS = tAB et S est orthogonal à Ker tAA.
11. Pour B fixé et appartenant à Mm,1 (R), préciser S dans les cas suivants :
(a) A est de rang n.
(b) A est la matrice nulle.
12. Lorsque B varie dans Mm,1 (R), montrer que l’application qui à B associe son unique pseudo solution de norme
minimale S est une application linéaire de Mm,1 (R) dans Mn,1 (R).
Relativement aux bases canoniques respectives de Mm,1 (R) et de Mn,1 (R), cette dernière application est représentée
par sa matrice appartenant à Mn,m (R). On convient de l’appeler, jusqu’à la fin de ce problème, pseudo inverse de la
matrice A et de la noter A+ .
13. On suppose que A est non nulle et on revient à la matrice tAA dont la décomposition spectrale introduite à la
p
X
λi Pi .
question 3(b) est
i=1
On désigne par Γ(A) l’ensemble des indices i compris entre 1 et p pour lesquels on a λi 6= 0.
(a) Pourquoi a-t-on Γ(A) 6= ∅ ?
X 1
(b) Vérifier que A+ =
Pi tA.
λi
i∈Γ(A)
14. Reprendre l’exemple de la question 8 en calculant explicitement A+ ; retrouver ainsi l’unique pseudo solution
de norme minimale.
15. Lorsque A appartient à M1,n (R), montrer que :
+
A =
t
A
A tA

0


si A 6= 0
sinon.
Partie IV – Étude de l’opérateur A 7→ A+
16. Démontrer les relations suivantes :
A = AA+ A,
A+ = A+ AA+ ,
(A+ A) = A+ A,
t
(AA+ ) = AA+ .
t
17. Soit M une matrice appartenant à Mn,m (R) vérifiant :
A = AM A,
M = M AM,
t
(M A) = M A,
t
(AM ) = AM
(∗)
(a) Montrer que M vérifie les relations suivantes :
M = M tM tA = tA tM M,
A = A tA tM = tM tAA,
t
A = tAAM = M A tA.
(b) En déduire que M = A+ et qu’ainsi A+ est l’unique matrice vérifiant les relations (∗).
18. Établir les formules suivantes :
(a) (A+ )+ = A
(b) ( tA)+ = t(A+ ).
19. Soit x un réel strictement positif et A ∈ Mm,n (R).
Montrer que : A+ = lim+ ( tAA + xIn )−1 tA . (On conviendra, sous réserve d’existence, que la limite en un
x→0
point d’une matrice est la matrice formée des limites en ce même point de ses coefficients). Utiliser ce procédé
pour trouver la pseudo inverse de la matrice A mise en oeuvre dans la question 8.
20. Pour tout α réel différent de 0 et A ∈ Mm,n (R), exprimer (αA)+ en fonction de α et A+ . La matrice (αA)+
admet-elle une limite lorsque α tend vers 0 ?
3
Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 18/06/2020
DM no 21 : Analyse globale, combinatoire
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, par mail, avec les consignes suivantes à respecter scupuleusement
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espace.
Problème 1 – (Théorème de Sunyer y Balaguer)
L’objet de ce problème est de montrer le théorème suivant (Sunyer y Balaguer) : si f est une fonction de classe C ∞
sur R telle que pour tout x ∈ R, il existe nx tel que f (nx ) (x) = 0, alors f est une fonction polynomiale.
Pour montrer ce résultat, on passe par un théorème de Baire affimant qu’une intersection dénombrable d’ouverts denses
dans R est encore dense dans R, résultat que nous démontrons et utilisons dans une situation légèrement plus générale,
en considérant des intersections avec un fermé donné de R.
Partie I – Théorème de Baire
Soit F un sous-ensemble fermé de R. On dit qu’un sous-ensemble E de R est dense dans F si pour tout ouvert V de
R tel que F ∩ V 6= ∅, on a aussi E ∩ F ∩ V 6= ∅.
1. Montrer que lorsque F = R, la définition donnée ci-dessus correspond à la notion usuelle de densité dans R.
2. On se donne (Un )n∈N∗ une suite d’ouverts denses dans F , et V un ouvert de R rencontrant F .
(a) Justifier l’existence de deux réels a1 < b1 tels que
et
[a1 , b1 ] ∩ F ⊂ U1 ∩ V ∩ F
]a1 , b1 [∩F 6= ∅.
(b) Justifier l’existence de deux suites (an )n∈N∗ , croissant, et (bn )n∈N∗ , décroissante, telles que pour tout n ∈ N∗ ,
an < bn et
!
n
\
et
]an , bn [∩F 6= ∅.
Ui ∩ V ∩ F
[an , bn ] ∩ F ⊂
i=1
(c) Justifier l’existence de réels a et b tels que a 6 b et
!
+∞
\
Ui ∩ V ∩ F
[a, b] ∩ F ⊂
et
[a, b] ∩ F 6= ∅.
i=1
(d) En déduire que
+∞
\
Ui est dense dans F .
i=1
Partie II – Théorème de Sunyer y Balaguer
Soit f une fonction de classe C ∞ sur R telle que pour tout x ∈ R, il existe nx ∈ N tel que f (nx ) (x) = 0.
1. On note, pour n ∈ N, Un = {x ∈ R | f (n) (x) 6= 0}.
Montrer que pour tout n ∈ N, Un est un ouvert, et que
+∞
\
i=0
1
Un = ∅.
2. On note
Ω = {x ∈ R | ∃η > 0, ∃P ∈ R[X], ∀y ∈ B(x, η), f (y) = P (y)}.
Ainsi, Ω est l’ensemble des points x tels que f coïncide avec un polynôme P sur un voisinage de x.
Montrer que Ω est un sous-ensemble ouvert de R. On note F son complémentaire dans R.
3. Soit f une fonction coïncidant avec un polynôme P sur un ouvert U et avec un polynôme Q sur un ouvert V .
Montrer que si U ∩ V 6= ∅, alors P = Q
4. Soit x ∈ Ω, et η > 0 et P ∈ R[X] tels que f coïncide avec P sur B(x, η). On considère
Ix = {y ∈ R | f = P sur [y, x](ou [x, y]).}.
(a) Montrer que Ix est un intervalle fermé. On note α et β ses bornes inférieure et supérieure, dans R).
(b) Montrer que ]α, β[⊂ Ω, et que si α et β ne sont pas infinis, ils sont des éléments de F .
(c) En déduire que pour tout intervalle I tel que I ⊂ Ω, il existe un polynôme P ∈ R[X] tel que f coïncide avec
P sur I.
5. On montre dans cette question que F n’a pas de points isolés.
On suppose qu’il existe x ∈ F et η > 0 tel que B(x, η) ∩ F = {x}. En remarquant que ]x − η, x[ et ]x, x + η[
sont inclus dans Ω, et en utilisant une formule de Taylor, montrer que x ∈ Ω et conclure
6. On suppose F non vide.
(a) En appliquant le théorème de Baire, montrer qu’il existe x ∈ F (qu’on pose), k ∈ N et η > 0 tel que pour
tout y ∈ B(x, η) ∩ F , f (k) (y) = 0.
(b) Soit y ∈ B(x, η) ∩ F . Montrer l’existence d’une suite strictement monotone (xn )n∈N d’éléments de F convergeant vers y. On supposera par la suite sans perte de généralité que (xn ) est strictement croissante.
(c) Montrer qu’il existe une suite (yn )n∈N strictement croissante et convergeant vers y telle que pour tout n ∈ N,
f (k+1) (yn ) = 0.
(d) Montrer que pour tout ℓ > k, f (ℓ) (y) = 0.
(e) Soit y ∈ B(x, η) ∩ Ω, et Iy =]α, β[ l’intervalle maximal inclus dans Ω contenant y. On note P le polynôme
coïncidant avec f sur Iy . Montrer que soit α ∈ B(x, η)∩F , soit β ∈ B(x, η)∩F , et en déduire que deg(P ) < k.
(f) En déduire que x ∈ Ω et conclure que F = ∅.
7. Terminer la preuve du théorème de Sunyer y Balaguer.
Problème 2 –
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel. Le but de ce problème est de répondre au problème des ménages
de Lucas, qui se pose en ces termes :
On dispose d’une table circulaire de 2n places autour de laquelle on veut placer n couples de sorte que :
• on ait alternance entre les hommes et les femmes
• aucune femme ne soit assise à côté de son conjoint (et réciproquement bien sûr).
Combien existe-t-il de façons de faire ?
On appelle un placement une répartition des convives autour de la table satisfaisant ces deux critères. On suppose que
deux répartitions admissibles obtenues par rotation l’une de l’autre correspondent au même placement (autrement dit,
on n’a pas de repère initial sur la table ronde, les places sont indiscernables, à leur ordre près).
On note µ(n) le nombre de placements. Le but du problème est de calculer µ(n).
Partie I – Lemme de Kaplansky (cas linéaire)
Soit ℓ ∈ N, et n ∈ N. Dans cette partie, on compte le nombre bn de sous-ensembles de [[1, n]] dont les éléments sont
séparés d’au moins ℓ autres éléments de [[1, n]]. Autrement dit, si i1 < · · · < ik sont les éléments de E, rangés par
ordre croissant, on doit avoir, pour tout j ∈ [[1, k − 1]], ij+1 − ij > ℓ.
Pour k ∈ N, on appelle bn,k le nombre de ces sous-ensembles dont le cardinal est k.
2
n − (k − 1)ℓ
1. Montrer que bn,k =
.
k
2. Montrer par un raisonnement combinatoire que (bn )n∈N est la suite déterminée par :
et
∀i ∈ [[0, ℓ]], bi = i + 1,
∀n > ℓ + 1, bn = bn−1 + bn−ℓ−1 .
Partie II – Lemme de Kaplansky (cas circulaire)
On considère maintenant n points répartis sur un cercle, numérotés de 1 à n dans le sens des aiguilles d’une montre.
On recherche maintenant le nombre de façons de choisir un sous-ensemble E constitué de k de ces points de sorte que
deux points quelconques de ce sous-ensemble soient séparés par au moins ℓ autres points (sur le cercle). Autrement dit,
si x0 , . . . , xk sont les k points de E, rangés par ordre croissant, il faut avoir, pour tout i ∈ [[1, k − 1]], xi+1 − xi > ℓ,
mais il faut aussi avoir x1 + (n − xk ) > ℓ (distance entre x1 et xk sur le cercle).
Pour tout n ∈ N, k ∈ [[0, n]], et ℓ ∈ N∗ , on note A(n, k, ℓ) l’ensemble des sous-ensembles de [[1, n]] vérifiant ces
conditions. On note également
B(n, k, ℓ) = {(E, x) où E ∈ A(n, k, ℓ) et x ∈ E}
n − kℓ − 1
1. Montrer que |B(n, k, ℓ)| = n
.
k−1
n
n − kℓ
2. En déduire que |A(n, k, ℓ)| =
.
n − kℓ
k
Partie III – Le problème des ménages de Lucas
On suppose que n > 1. Dans un premier temps, on suppose que les places autour de la table sont numérotées dans
le sens des aiguilles d’une montre (donc il y a un point de départ), et on décide d’attribuer les places impaires aux
dames, les places paires aux messieurs.
1. On commence par placer les dames sur les places impaires, dans le sens des aiguilles d’une montre.
Combien y a-t-il de façons de faire ?
2. Les dames étant placées, il faut repartir les messieurs. On numérote les dames de 1 à n dans le sens des aiguilles
d’une montre ; on numérote également les messieurs en leur donnant le même numéro que leur épouse. Enfin,
on renumérote les places vides, en décrétant que pour tout i ∈ [[1, n]], la place située à droite de la dame i est la
place i. Ainsi, la place à gauche de la dame i est la place i + 1 si i < n, et la place 1 si i = n.
On définit la famille de sous-ensembles de Sn suivante :
∀i ∈ [[1, n]], E2i−1 = {σ ∈ Sn | σ(i) = i}
∀i ∈ [[1, n − 1]], E2i = {σ ∈ Sn | σ(i) = i + 1}
et
E2n = {σ ∈ Sn | σ(n) = 1}
Exprimer le nombre N de façons de placer les hommes en fonction des Ei , et en déduire :
N = n! −
n
X
k−1
(−1)
k=1
2n − k
2n
(n − k)!.
2n − k
k
3. Montrer que le nombre de placements possibles sur une table non numérotée est :
µ(n) = (n − 1)!
n
X
(−1)k
k=0
2n
2n − k
(n − k)!
2n − k
k
3
(Formule de Touchard, 1953)