Année universitaire 2021-2022 UNIVERSITE D’ANTANANARIVO FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE Parcours : Mathématiques Grade : Licence Semestre : S2 TD MECANIQUE GENERALE VECTEURS, TORSEURS ET CINEMATIQUE DU SOLIDE Exercice 1 : L’espace est rapporté au repère R (O, x , y, z) . Soient le vecteur a = (1, 3, -1)/Ret l’opérateur vectoriel (A) a . a) Déterminer dans la base du repère R les matrices des opérateurs vectoriels suivants : (A), (A)² et (A)3. b) Pour b = (-1, 3, 5)/R , calculer de deux façons différentes (A) b ; -(A)² b ; - b (A)² b Exercice 2 : Pour A et B deux vecteurs donnés et X vecteur inconnu, résoudre l’équation : X B X A Exercice 3 : L’espace est rapporté au repère R (O, x , y, z) . On considère le point P tel que OP (x, y, z)/R et le champ vectoriel H ( P) (X,Y,Z) / R où : X= 1 +3y - tz , Y= - 3x + 2tz et Z=2 + tx – t2y ; t étant un réel fixé. Déterminer le réel t pour que ce champ vectoriel définisse un torseur [T] dont on donnera le vecteur et la nature. Déterminer de deux façons différentes son axe central (T). Exercice 4 : Le torseur [T] est défini par les relations de correspondances suivantes dans R (O, x , y, z) : M1 (1, 0, 0)/R → (1, 0, -1)/R ; M2 (0, 1, 0)/R → (1, 2, 2)/R ; M3 (0, 0, 1)/R → (λ, μ , ν)/R 1 2 3 Déterminer (λ, μ , ν) pour que [T] soit un couple et trouver son moment. Quelle relation doit lier (λ, μ , ν) pour que [T] soit un glisseur et déterminer μ et ν en fonction de λ pour que son support passe par le point A(1/3, 1, 4/3)/R Dans le cas où (λ, μ , ν) = (-2, 0, -1)/R, préciser les caractéristiques du torseur [T]. Exercice 5 : Dans R (O, x , y, z) on donne deux glisseurs [G1] et [G2] de vecteurs respectifs S1 y et S 2 ax a et des constantes non nulles, et de supports respectifs D1= (x = 0, z = 1)/R et D2= (y = 0, z = -1)/R. On définit le torseur [T] par ses éléments de réduction au point P(x, y, z)/R : S (T ) S1 S 2 et m(T ) PA S1 PB S 2 où A et B sontles intersections respectives de (D1) et (D2) avec l’axe (O, z ). Calculer les composantes de mP (T ) . Déterminer l’axe (T) et préciser sa position par rapport à (O,z) . On appelle point Q =(T) (O, z ) et on pose QR mQ (T ) . Calculer les coordonnées de R. Trouver l’ensemble des points R’, projection orthogonale de R sur le plan (O, x , y) lorsque varie. 1 Exercice 6 : Changement de repères, les angles d’Euler 1) Dans la base e (x, y, z) orthonormé directe, on donne deux vecteurs X et Y d’expressions 1 1 ( x y z ) et Y (x z ) respectives : X 3 2 Vérifier qu’ils sont unitaires et orthogonaux. Calculer Calculer x , y, z en fonction de X, Y, Z . On donne dans les deux bases le vecteur W x x y y z z X X Y Y Z Z Calculer x, y, z en fonction de X, Y, Z et X, Y, Z en fonction de x, y, z En déduire l’expression de = y2 + xy – xz – yz en fonction de X, Y, Z. 2) Déterminer les angles d’Euler (, , ) relatifs à ce changement de repère ainsi que les deux repères intermédiaires et en déduire les tableaux de changement de base de chaque rotation successive. Exercice 7 : Un solide (S) est en mouvement par rapport au repère fixe R o (O o , x o , yo , z o ) . On note S (O, x, y, z) le repère lié au solide. Soient trois points A, B et C du solide (S) tels que OA x , OB y et OC z . On suppose qu’à l’instant t : VRo ( A S ) ux 2 g y g z VRo ( B S ) g x vy où g et des constantes positives données VRo (C S ) g x g y wz 1) En utilisant l’équiprojectivité du champ de vitesses du torseur cinématique , montrer que u g , v 2 g et w g . 2) a) Soit S / R0 px qy rz le vecteur rotation du torseur cinématique . En écrivant les relations d’antisymétrie entre les vitesses des points A, B et C, déterminer p, q et r. b) Déterminer l’axe instantané de rotation () (axe central) du torseur cinématique . 3) Déterminer la vitesse VRo (O S ) et l’accélération Ro (O S ) . Exercice 8 : L’espace est rapporté au repère galiléen Ro (O, xo , yo , z o ) , l’axe (O , zo ) étant vertical ascendant. On étudiera, par rapport au repère Ro (O, xo , yo , zo ) le mouvement d’un solide (S), qui est une tige filiforme AB homogène de masse m, de centre de masse G. Le solide (S) est lié au repère S (A, x, y , z ) 1 tel que AB = z et AG z où est la longueur de la tige. 2 Le mouvement du solide (S) par rapport à R0 s’effectue de la façon suivante : l’extrémité A se déplace sur le plan Po (O, xo , yo ) tel que OA = a v , et l’extrémité B parcourt l’axe (O , zo ) tel que OB = b zo . On repère la position de la tige à tout instant t par les angles d’Euler (,) tels que ( xo , x ) ( yo , v) , mesuré autour de l’axe (O , zo ) et ( zo , z ) ( v , y ) , mesuré autour de l’axe (O , x) ; puis on prend le repère R1 (O, x, v, z o ) comme repère de projection. Dans tout le problème, on écrira les résultats en fonction des angles d’Euler (, ) et de leurs dérivées. 1) a) Exprimer a et b en fonction de . 2 b) Montrer que l’axe (O , x) est l’axe des nœuds et paramétrer le mouvement du solide (S) par rapport au repère R0. c) Calculer les vitesses VRo (A), VRo (B), VRo (G), puis les accélérations Ro (A) et Ro (B) puis Ro (G) 2) Retrouver VRo (G), et Ro (G) par composition de mouvement en prenant : a) R1 (O, x, v, z o ) comme repère relatif b) S (A, x, y , z ) comme repère relatif. 3) Soit un point P mobile sur la tige telle que BP (t) z . a) Calculer VS (P), VR1 (P) et VRo (P). b) Utiliser la composition de mouvement pour R1 relatif pour trouver VRo (P). Exercice 9 : On considère deux plans 1 et 2 qui restent en coïncidence (globale) quel que soit t. On désigne par R i (Oi , x i , yi ) un repère orthonormé direct lié à i . Soit (C1) le cercle situé dans 1 , de centre O1 et de rayon R. On suppose que le point O2 de 2 reste constamment sur la partie x1 ≥ R de l’axe (O1 , x1 ) et que l’axe (O 2 , y2 ) reste constamment tangent à (C1) en un point P variable sur (C1) et sur (O 2 , y2 ) , de telle sorte que (t )=( x1 , x 2 ) 0, , mesuré autour de z1 x1 y1 . On étudie le mouvement de 2 1 2 d (supposé tel que ne s’annule jamais). dt 1) Caractériser géométriquement la position du C.I.R. I à l’instant t et retrouver le résultat par calcul; d montrer que cette position ne dépend pas de . dt 2) Déterminer la base 1 et la roulante 2 dans le mouvement considéré (on déterminera 1 et 2 par des équations paramétriques). Quelle est la nature géométrique de 2 ? 3) Soit M2 un point quelconque lié à 2 ; exprimer l’accélération ( M 2 ) par ses composantes dans R1. 3 d est constant, en déduire qu’il existe un point M2 unique dont l’accélération est dt nulle à l’instant t. Quel est à l’instant t l’ensemble des positions dans 1 des points liés à 2 dont l’accélération est colinéaire à la vitesse ? 4) Dans le cas où 4
