I- La fonction affine : 1- Définition d’une fonction affine : Activité : Le gérant d’une salle de cinéma propose une carte d’abonnement donnant droit à un tarif réduit pour chaque séance. Ainsi, la personne paie un abonnement annuel de 300dh et 6dh par séance. 1. Compléter le tableau suivant : Nombre de séances de 2 cinéma Somme payée 2×6+300 annuellement en DH. =312 6 6×6+300 =336 11 11×6+300 =366 15 15×6+300 =390 24 24×6+300 =444 2. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Non le tableau ne représente pas une proportionnalité car les deux séries ne sont pas proportionnelles. 3. Déterminer f(x) en fonction de x. f(x)=6x+300 4. Calculer : f(3) ; f(0) et f(10). 5. f(3)=6× 3+300 ; f(3)=6× 0+300 ; f(10)=6×10+300 =318 =300 =360 Quel est le nombre dont son image par f est 420. On a f(x)=420 Donc 6x+300=420 Alors 6x=120 Donc x=20 2- Coefficient d’une fonction affine : Activité : Soit f la fonction affine définie par : 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 4. 1- Compléter le tableau suivant : x -2 f(x) f(x)=4 -3x+4=4 x=0 3 4 -3×3+4=-5 -3×-2+4=10 2- a.: 𝒇(−𝟐)−𝒇(𝟑) −𝟐−𝟑 = f(x)=-6 -3x+4=-6 x= −𝟑×−𝟐+𝟒−(−𝟑×𝟑+𝟒) 𝟏𝟎 𝟑 -6 -3×-1+4=8 . −𝟐−𝟑 = -1 𝟏𝟎 + 𝟓 −𝟐 − 𝟑 = −𝟑 : 𝒇(𝟑)−𝒇(−𝟑) 𝟑−(−𝟑) = −𝟑×𝟑+𝟒−(−𝟑×−𝟑+𝟒) 𝟑+𝟑 = . −𝟓 − 𝟏𝟑 𝟑 − (−𝟑) = −𝟑 𝒇(−𝟏)−𝒇(−𝟐) −𝟏−(−𝟐) = −𝟑×−𝟏+𝟒−(−𝟑×−𝟐+𝟒) −𝟏+𝟐 = . 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟏 −𝟑 b. sans faire de calcul, donner le résultat de : 𝑓(2017)−𝑓(1957) 2017−1957 =-3 1- 𝒙𝟏 𝒆𝒕 𝒙𝟐 sont deux nombres réels distincts. : 𝑓(𝑥2 )−𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 −𝑥1 = 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 . Exemple : Soit f une fonction affine telle que : 𝑓(−2) = 4 𝑒𝑡 𝑓(5) . Calculons𝑓(3). Pour calculer l’image de 3 par f il faut déterminer l’expression f(x) Sachant que f est une fonction affine, on peut l’écrire sous forme :f(x)=ax+b Déterminons la valeur de a On a : Alors : 𝑓(𝑥2 )−𝑓(𝑥1 ) =𝑎 𝑥2 −𝑥1 𝑓(−2)−𝑓(5) = −2−5 = 4−7 −2−5 3 7 On détermine b 3 on sait que f(x)= x+b 7 3 alors b= f(x)- x 7 on a f(5)=7 ou bien 3 3 donc :f(5)= ×5+b f(-2)= × −2+b 7 7 3 3 alors : 7= ×5+b 4= ×-2+b 7 c.à.d. : 7= 7 15 7 +b 4= 34 on déduit que :b= b= 7 3 34 7 7 On conclut que f(x)= x+ 3 34 7 7 Calculons f(3)= × 3+ 9 = = f(-2)=4 7 + −6 7 +b 34 7 34 7 43 7 Exemple : 1. Déterminer l’expression algébrique affine g. Sachant que : g(1) = −1 et g(2) = 2 de la fonction Sachant que g est une fonction affine, on peut l’écrire sous forme :g(x)=ax+b Déterminons la valeur de a On a : Alors : 𝑔(𝑥2 )−𝑔(𝑥1 ) 𝑥2 −𝑥1 𝑔(1)−𝑔(2) 1−2 =𝑎 = −1−2 1−2 =3 On détermine b on sait que g(x)= 3x+b alors b= g(x)- 3 x on a g(1)=-1 donc :g(1)= 3 ×1+b alors : -1= 3+b c.à.d. : -4= b On conclut que g(x)= 3x-4 2. Déterminer 𝒉(𝒙) en fonction de x sachant que h est une fonction affine et : 𝒉(𝟔) − 𝒉(𝟐) = 𝟖 −𝟑. On a h une fonction affine Donc ℎ(6)−𝑔(2) 6−2 = 8 4 =2 On a h(1)=-3 Donc -3=2×1+b Alors b=-3-2 c.à.d. b=-5 On déduit que h(x)=2x-5 𝒆𝒕 𝒉(𝟏) = 3- Représentation graphique d’une fonction affine : Activité : On a la fonction affine f telle que :𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟏 1. Compléter le tableau suivant : 𝒇(𝒙) = 𝒚 x 0 𝒇(𝟎) = −𝟐 × 𝟎 + 𝟏 𝑴(𝒙, 𝒚) 𝑨( 𝟎; 𝟏 ) =1 1 𝒇(𝟏) = −𝟐 × 𝟏 + 𝟏 𝑩( 𝟏; −𝟏) ) 𝑪( −𝟏; 𝟑) ) 𝑫( 𝟐; −𝟑 ) ) = -1 -1 𝒇(−𝟏) = −𝟐 × −𝟏 + 𝟏 =3 2 𝒇(𝟐) = −𝟐 × 𝟐 + 𝟏 = -3 −𝟑 𝟐 𝒇(𝟏) = −𝟐 × =4 −𝟑 𝟐 +𝟏 𝑬( −𝟑 𝟐 ; 𝟒) ) Exemple : Traçons la courbe de la fonction affine g telle que : 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟐. Pour construire la courbe d’une fonction affine f il suffit de chercher deux points de cette courbe Traçons deux points A et B qui appartiennent à cg A(0 ;g(0)) c’est-à-dire A(0 ;-2) B(-1 ;g(-1)) c’est-à-dire B(-1 ;-5)