Notes de cours - Mathématiques en PCSI 834 à Masséna

Gaudino, casier 5
P.C.S.I. 834
version N1.2
Manipulations algébriques
I.
Récurrence
I.1.
Majoration et minoration
Lycée Masséna
Théorème 1 (admis). Tout ensemble non-vide d’entiers naturels admet un plus petit élément. Tout ensemble non-vide
majoré d’entiers naturels admet un plus grand élément.
I.2.
Récurrence faible
Théorème 2 (prouvé). Soit P(n) un propriété qui vérifie
– P(0) ; – ∀n ∈ N, P(n) =⇒ P(n + 1) .
alors on a ∀n ∈ N, P(n).
Exemple du calcul de la somme des carrés :
n
X
k2 =
k=1
I.3.
n(n + 1)(2n + 1)
. sin(x + nπ), cos(nπ)
6
Récurrence forte
Théorème 3 (admis). Soit P(n) un propriété qui vérifie
– P(0) ; h
i
– ∀n ∈ N, P(0) et P(1) et · · · et P(n) =⇒ P(n + 1) .
alors on a ∀n ∈ N, P(n).
Application à la divisibilité par un nombre premier.
n
X
Soit une suite (un )n∈N vérifiant : u0 = 1 et un+1 =
uk . Montrer que pour tout n ≥ 1, un = 2n−1 .
k=0
I.4.
Autres types
Exemple d’une récurrence à deux pas, avec la suite u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un . On ”prouve” deux
propriétés :
∀n ∈ N, un = 2n + 1 et un = 2n+1
II.
Sommes et produits
II.1.
Notations
Somme et produit d’une famille finie de nombres complexes : notations
X
i∈I
ai ,
n
X
i=1
ai ,
Y
i∈I
ai ,
n
Y
ai . Travail sur la
i=1
différence de deux sommes, couper une somme en deux (indices pairs et impairs), . . .
II.2.
Téléscopage
Sommation de la suite de terme général un = tn+1 − tn : ∀n ∈ N,
n
X
uk = tn+1 − t0 . Preuve par récurrence, et aussi
k=0
par renumérotation.
Exemple avec la distance totale d’un chemin.
II.3.
an − b n
Théorème 4. Soient a et b deux réels ou complexes, et n ∈ N∗ . On a
an − bn = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k = (a − b)
k=0
n−1
X
k=0
1
bk an−1−k
Preuve par changement d’indices.
Exemple : résoudre de deux manières différentes dans R l’équation : x3 − 1 = 0.
II.4.
Somme d’une progression arithmétique ou géométrique finie de nombres réels ou
complexes
Théorème 5 (suite arithmétique). Soit (un )n∈N une suite arithmétique de raison r, de premier terme u0 , donc de
terme général un = u0 + nr. On a
n
X
n(n + 1)
r
uk = (n + 1)u0 +
2
k=0
Théorème 6 (suite géométrique). Soit (un )n∈N une suite géométrique de raison q 6= 1, de premier terme u0 , donc de
terme général un = u0 q n . On a
n
X
1 − q n+1
uk = u0
1−q
k=0
Variantes quand on somme à partir de n0 . Lien avec an − bn .
II.5.
Sommes doubles
On note ai,j des réels qui dépendent de deux indices (qu’on représente sur un dessin).
n X
m
m X
n
X
X
– sur un rectangle (ou un carré) :
ai,j =
ai,j . Ex avec ai,j = 2j .
i=0 j=0
j=0 i=0
– produit de deux sommes finies : on se ramène au cas précédant.
n X
i
X
ai,j .
– sur un triangle : donner une autre expression de
i=0 j=0
III.
Coefficients binomiaux et formule du binôme
Voir aussi le chapitre dénombrement.
III.1.
Factorielle
définition 1. On pose 0! = 1 et, pour tout entier naturel n ≥ 1 ; n! =
n
Y
i.
i=1
Exemples de rapports, de factorisation.
III.2.
Coefficients binomiaux
n
n!
définition 2. Pour deux entiers n et p tels que 0 ≤ p ≤ n, on pose
=
.
p
p!(n − p)!
III.3.
Relations
n
= 0 si p > n.
p
III.4.
n
= 1.
n
n
= 1.
0
n
n
=
si 0 ≤ p ≤ n.
p
n−p
Triangle de Pascal
n
n−1
n−1
Théorème 7.
=
+
pour n ≥ 1 et n − 1 ≥ p ≥ 1.
p
p
p−1
III.5.
Binôme de Newton
Théorème 8. Soient a et b deux réels ou complexes, et n ∈ N∗ . On a
n n X
n k n−k X n k n−k
(a + b)n =
a b
=
b a
k
k
k=0
k=0
n
Pour a = b = 1, on trouve 2 . Exemple avec le carré, le cube.
2