Propriétés topologiques de R. Par Nicolas Lanchier 1 Relations d’ordre sur R. 1 Théorème 1.1 — R est un corps commutatif archimédien, i.e. pour tous x, y ∈ R, x > 0, il existe un entier n ≥ 0 tel que nx > y. [4], Sect. 1.8 Proposition 1.2 (Axiome de Cantor) — Soit InT= [an , bn ] une suite décroissante d’intervalles réels dont la longueur bn − an tend vers 0. Alors n≥0 In = {c} où c est la limite commune des suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 . [4], Sect. 2.1 Corollaire 1.3 — Soient (an )n≥0 une suite croissante et (bn )n≥0 une suite décroissante de réels telle que pour tout n ≥ 0, an ≥ bn et limn→∞ bn − an = 0. Alors les suites (an )n≥0 et (bn )n≥0 , dites adjacentes, convergent vers une limite commune. Définition 1.4 — On appelle coupure de R toute partition de R en deux sous-ensembles A et B tels que pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, a < b. [4], Sect. 2.1 Théorème 1.5 — Pour toute coupure (A, B) de R, il existe un réel c unique tel que pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, a ≤ c ≤ b. [4], Sect. 2.1 Théorème 1.6 — Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure. [4], Sect. 2.2 Théorème 1.7 — Toute suite croissante majorée de nombres réels converge vers une limite finie. [4], Sect. 2.3 Propriétés topologiques de R. 2 Proposition 2.1 — Les parties compactes de R sont les fermés bornés de R. Théorème 2.2 (Bolzano-Weierstrass) — Toute suite bornée de R admet une sous-suite convergente. [3], Sect. 1.3 Théorème 2.3 (Heine) — Toute fonction f à valeurs réelles continue sur un intervalle fermé borné de R est uniformément continue. Théorème 2.4 — Les parties connexes de R sont les intervalles. [3], Sect. 4.4 Théorème 2.5 (théorème des valeurs intermédiaires) — Soient I ⊂ R un intervalle et f : I −→ R une application continue. Alors f (I) est un intervalle. Théorème 2.6 — R est complet. En particulier, R possède la propriété de Baire : toute intersection dénombrable d’ouverts denses de R est dense dans R. [3], annexe A Application 2.7 — Soit f : R −→ R une fonction dérivable sur R. Alors l’ensemble des points de continuité de la fonction dérivée f 0 est une partie dense de R. [3], annexe A 1 Tout usage commercial, en partie ou en totalité, de ce document est soumis à l’autorisation explicite de l’auteur. 3 Sous-ensembles remarquables de R. Cardinalité. Définition 3.1 — Soient α ∈ R et f : Q[X] −→ R l’homomorphisme définie par f (x) = x pour tout x ∈ Q et f (X) = α. Le réel α est dit transcendant si f est injectif, algébrique dans le cas contraire. [5], Sect. 3.1 Théorème 3.2 — L’ensemble des nombres algébriques est un sous-corps de R contenant Q. Théorème 3.3 (nombres de Liouville) — Pour toute suite (an )n≥1 ⊂ {1, 2 . . . 9}, X a = an 10−n! n≥1 est un nombre transcendant. [1], Sect. 4.4 Définition 3.4 (réel constructible) — Un réel x est dit constructible si le point de coordonnées (x, 0) est constructible à la règle et au compas. [5], Sect. 3.1 Théorème 3.5 — Soient L un sous-corps de R et (x, y) ∈ L2 . Si l’extension Q ⊂ L est normale de degré une puissance de 2 alors le point (x, y) est constructible à la règle et au compas. [2], Ex 4.14 Théorème 3.6 (Dirichlet) — Soit x ∈ R \ Q. Pour tout ε > 0, M ≥ 1, il existe un nombre rationnel r = p / q, p ∧ q = 1 tel que p ε et q > M x − < q q En particulier, Q est dense dans R. [6], Sect. 1.4 Théorème 3.7 (ensemble triadique de Cantor) — Soient I = [0, 1] et (K n )n≥0 la suite définie par K0 = I et la relation de récurrence i [ h [ bk − a k i h bk − a k Kn+1 = ak , a k + où Kn = [ak , bk ] ∪ ak + 2 , bk 3 3 k k Alors l’ensemble triadique de Cantor K = \ Kn n≥0 est un compact de mesure nulle ayant la puissance du continu. [3], Sect. 1.6 Références [1] Jean-Pierre Escofier. Théorie de Galois, cours et exercices corrigés. Dunod, 1997. [2] Hervé Francinou, Serge Gianella. Exercices de mathématiques pour l’agrégation, algèbre 1. Masson, 1995. [3] Xavier Gourdon. Les maths en tête. Analyse. Ellipses, 1994. [4] Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès. Cours de Mathématiques. Tome 2. Analyse. Dunod, 1996. [5] Daniel Perrin. Cours d’algèbre. Ellipses, 1996. [6] Alain Pommellet. Agrégation de mathématiques. Cours d’analyse. Ellipses, 1994.