Topologie - Quelques propositions - MP

Topologie
MP - Mathématiques
November 2019
2
Propositions et Lemmes
Proposition 2.1
§ Toute suite convergente d’éléments d’un espace vectoriel normé E est
bornée.
§ Soient u P E N , `1 , `2 P E. Si u Ñ `1 et u Ñ `2 , alors `1 “ `2
Proposition 2.2 Soit E un espace vectoriel normé.
1. Toute suite constante de valeur ` P E converge vers `.
2. Si une suite converge vers ` P E, alors sa norme converge vers ||`||.
3. L’ensemble CpN, Eq des suites convergentes est un sous-espace vectoriel
de CpN, Eq et l’application lim : CpN, Eq ÝÑ E est linéaire.
Proposition 2.3 Soit E un e.v.n ; soient pun q et pvn q deux suites d’éléments
de E et pn q une suite de réels positifs, telles que
@n P N, ||un ´ vn || ď n et lim n “ 0
nÑ`8
Alors si u converge vers ` P E, alors v converge aussi vers `.
ś
Proposition 2.4 Soit E “ iPI Ei un produit fini d’espaces vectoriels normés, muni de la norme produit. Une suite u d’éléments de E, où pour tout
piq
n, un “ pun qiPI , converge vers ` “ p`piq qiPI si et seulement si pour tout i P I,
piq
la suite des iemes composantes ui “ pun q converge vers la ieme composante lpiq
de ` dans Ei .
Lemme 2.1 Parties infinies de N et fonctions extractrices
1. Soit A Ă N. A est infinie si et seulement si A n’est pas majorée.
2. Si ϕ P NN est strictement croissante, @n P N, ϕpnq ě n.
1
3. Si A Ă N est infini, il existe une unique fonction ϕ P NN strictement
croissante telle que ϕpNq “ A (dite énumération croissante de A.
Proposition 2.5 Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers
la même limite.
Proposition 2.6 Valeurs d’adhérence des suites extraites
§ Toute valeur d’adhérence d’une sous-suite de u est une valeur d’adhérence
de u
§ Si ` P E est une valeur d’adhérence de toute sous-suite de u, alors u converge vers `
Proposition 2.7 Soit a P E
1. E est un voisinage de a ; H n’est pas un voisinage de a.
2. Soient V, W Ă E. Si V Ă Vpaq et V Ă W , alors W Ă Vpaq
3. L’intersection d’une famille finie de voisinages de a est un voisinage de a
Proposition 2.8 Séparation de Hausdorff : Soient a, a1 deux points de E.
Si a ‰ a1 , alors il existe deux voisinages respectifs de a et a1 dans E d’union
disjointe (i.e d’intersection vide)
Proposition 2.9 Soit A une partie E et soit x P E. « x n’est pas adhérent à
A » équivaut à :
E ´ A P Vpxq
Proposition 2.10 Adhérence et distance à une partie
Soient A une partie non vide de E. Alors
@x P E, x P A ðñ dpx, Aq “ 0
Proposition 2.11 Intérieur, adhérence et frontière
Soit A une partie de E. Tout point intérieur de A appartient à A, et tout point
de A est adhérent à A ; l’adhérence de A est la réunion de l’intérieur et de la
frontière de A :
˝
˝
AĂAĂA
A “ A Y BA
Proposition 2.12 Intérieur et adhérence d’une boule
Soit B une boule (ouverte ou fermée) de centre a P E et rayon r ą 0.
§ L’intérieur de B est la boule ouverte de centre a et rayon r.
2
§ L’adhérence de B est la boule fermée de centre a et rayon r.
§ La frontière de B est la sphère de centre a et rayon r.
Proposition 2.13 Soient Ω une partie de E et a P Ω. Les voisinages de a
relatifs à Ω sont les "traces" sur Ω des voisinages de a (dans E) de E, c’està-dire : une partie V P Ω est un voisinage de a relatif à Ω si et seulement s’il
existe un voisinage Ṽ de a (dans E) tel que V “ Ṽ X Ω. On note
VΩ paq “ tṼ X Ω : Ṽ P VE paqu
Proposition 2.13 Soient Ω une partie de E et a P Ω. Les ouvert (resp. les
fermés) relatifs à Ω sont les "traces" sur Ω des ouverts (resp. fermés) de E,
c’est-à-dire : une partie A P Ω est un ouvert (resp. fermé) relatif à Ω si et
seulement s’il existe un ouvert (resp. un fermé) Ã de E tel que A “ Ã X Ω
Proposition 2.14 Si F est un sous-espace vectoriel d’un e.v.n E, les ouverts
(resp. fermés, voisinages) relatifs à F sont les ouverts (resp. fermés, voisinages)
par rapport à a norme induite sur F par celle de E
Proposition 2.15 Soient Ω une partie de E et a P E un point adhérent à
Ω.
1. Ω est un voisinage de a relatif à Ω ; H n’est pas un voisinage de a relatif
àΩ
2. Soient V, W Ă Ω. Si V Ă VΩ paq et V Ă W , alors W P VΩ paq
3. L’intersection d’une famille finie de voisinages de a relatifs à Ω est un
voisinage de a relatif à Ω
Proposition 2.16 Soient u “ pun qnPN une suite d’éléments de E et ` P E.
On a
lim un “ l ðñ @V P Vplq, Dn0 P N@n P N, pn ě n0 ùñ un P V q
nÑ`8
Ceci est aussi équivalent à dire que :
@V P Vplq, u´1 pV q P VN p`8q
Proposition 2.16 La relation de domination de norme est un pré-ordre (réflexive et transitive) sur l’ensemble N des normes sur E. La relation d’équivalence
de normes et une relation d’équivalence sur N .
3