#170 Topologie de R Khôlles - Classes prépa Exercice 1. Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel. Partie à un seul point d'accumulation Soit A une partie bornée de R ayant un seul point d'accumulation, a. 1) Montrer que A est dénombrable. 2) On numérote les éléments de A d'une manière quelconque : A = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}. Montrer que xn − n → ∞− > a. Exercice 2. (sin(n)) est dense dans [−1, 1] Soit a ∈ R \ Q et A = {ma + n tq m ∈ Z, n ∈ N}. Montrer que A est dense dans R. Application : Montrer que tout réel de [−1, 1] est valeur d'adhérence de la suite (sin n). Exercice 3. √ m− √ n √ √ Montrer que l'ensemble A = { m − n tq m, n ∈ N} est dense dans R. Exercice 4. Unités quadratiques Exercice 5. Olympiades 1991 √ √ Soit A = {n + p 2 tq n, p ∈ N, n + p 2 > 0, n2 − 2p2 = 1}. Montrer que A est un sous-groupe discret de R+∗ . Soit a > 1. Montrer qu'il existe une suite réelle bornée, (xn ), telle que : ∀ i 6= j, |xi − xj | ≥ 1 . |i − j|a Exercice 6. un+1 − un > 0 Soit (un ) une suite réelle bornée telle que un+1 − un − n → ∞− > 0. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de (un ) est un intervalle. Exercice 7. un+1 − un > 0 f. Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] continue, u0 ∈ [0, 1] et (un ) la suite des itérées de f en u0 . On suppose que un+1 − un − n → ∞− > 0. Montrer que la suite (un ) converge vers un point xe de Exercice 8. exp(iun ) Soit (un ) une suite réelle telle que la suite (exp(iun )) converge et la suite (|un+1 − un |) est majorée par α < π . Montrer que (un ) converge. Exercice 9. exp(iun ) Soit (un ) une suite réelle telle que un+1 − un − n → ∞− > 0 et un − n → ∞− > +∞. Démontrer que la suite (exp(iun )) est dense dans U. Exercice 10. exp(iun ) u Soit (xn ) une suite réelle bornée et u > 0, v > 0. On suppose que ∈/ Q et que les suites (eiuxn ) et v (eivxn ) convergent. Montrer que la suite (xn ) converge. Exercice 11. un+p ≤ un + up Soit (un ) une suite réelle positive telle que : ∀ n, p ∈ N, un+p ≤ un + up . Montrer que la suite est convergente. 14 septembre 2015 1 u n n Thierry Sageaux Topologie de R Exercice 12. Fonctions périodiques (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP∗ 2003) 1) Déterminer toutes les fonctions f : R −→ R continues, périodiques 2) Déterminer les fonctions f : R2 −→ R2 continues telles que : de périodes 1 et pour tout X ∈ R2 , f (X) = f (X + (1, 0)) = f (X + (0, 1)) = f (AX) où A = 2 1 0 √ 2. 1 . 1 Thierry Sageaux Topologie de R Solutions des exercices Exercice 1. 1) A\]a − 1 n, a + n1 [ est ni. Exercice 3. √ √ Soient x < y : Il existe a ∈ N tel que √ n ≥ a√ ⇒ n + 1 − n < y − x. Il existe b ∈ N tel que a − b <√x. √ Alors il existe c ≥ a tel que x < c − b < y . Exercice √ 4. √ n + p 2 > 1 ⇒ n > 0, p > 0, donc A∩]1, +∞[ admet un plus petit élément : 3 + 2 2. Exercice 5. 1 1 On construit un ensemble de type Cantor dont les trous ont pour longueur 1, a , a , . . ., et on répartit 2 4 les xk de part et d'autre des trous en fonction de l'écriture décimale de k (0 → à gauche, 1 → à droite). Exercice 7. L'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle constitué de points xes de f ⇒ la suite (un ) a une seule valeur d'adhérence. Exercice 11. u Soit ` = lim inf n et ε > 0. Il existe p tel que (` − ε)p ≤ up ≤ (` + ε)p. n Alors pour n ∈ N et 0 ≤ k < p : uk + (` − ε)np ≤ unp+k ≤ uk + (` + ε)np. Exercice 12. 1) Il est supposé connu (et à savoir démontrer) le fait suivant : si G est un sous-groupe de R, alors G est monogène, soit G = R. Dans le cas de la question, le groupe G des périodes de f contient √ √ 1 et 2 donc n'est pas monogène car 2 ∈ / Q (la démonstration a été demandée à l'élève). De plus G est fermé par continuité de f , d'où f est constante. 2) D'après la première question, pour tout y ∈ R \ Q l'application x 7−→ f (x, y) est constante et il en va de même si y ∈ Q par continuité de f . Donc f est de la forme (x, y) 7−→ g(y) où g est 1-périodique. Réciproquement, toute fonction f de cette forme convient. soit 3 Thierry Sageaux