Continuiteserie1 (1)

LYCEE PILOTE NABEUL
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SECTION : 3ème Science expérimentale
SERIE DE REVISION
N°1
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PROF : Mr BEN RHIM SAMI
Chapitre 1 : Continuité
MATHEMATIQUE
Date : 16/10/2014
EXERCICE N°1 :
1°) Soit f ( x )  3x  6 .
a) Peut-on parler de la continuité de f en 1 et
en 2 ?
b) Montrer que pour tous réels a et b, on a
a  b  ab
2°) Soit g( x )  2x  5 .
a) Peut-on parler de la continuité de g en –2 et en
–3 ?
2x  4
b) Montrer que 2x  5  1 
.
2x  5  1
c) Montrer que f ( x )  f (1)  3 x  1 .
c) En déduire que
d) Montrer alors que f est continue en 1.
e) Montrer de même que f est continue en 2.
d) Montrer alors que g est continue en –2.
2x  5  1  2 x  2 .
EXERCICE N°2 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i , j) . Cf est la représentation graphique d’une fonction f
Dans chacun des cas suivants, préciser si f est définie en 1, si f est continue en 1, si f est continue à
gauche en 1, si f est continue à droite en 1.
1
EXERCICE N°3 :
 f x  x 1
si x  0

si 0  x  3
Soit la fonction définie par  f  x   2x  4

si x  3
 f  x   x  1
1°) Tracer la courbe représentative de f dans
b) Justifier que la fonction f est continue sur
un repère (O , i , j )
0, 3 
2°) a) Justifier que la fonction f est continue sur
c) Justifier que la fonction f est continue sur
 , 0
3,  
EXERCICE N°4 :
3°) Justifier à l’aide du graphique, que la fonction
f n’est pas continue sur IR.
si x  0
 x
 2
Soit f : x  x
si 0  x  1
 x  1 si x  1

On désigne par c la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O , i , j )
2
1°) Tracer c.
2°) f est-elle continue en 0 ?
3°) f est-elle continue à gauche en 1 ?
4°) f est-elle continue à droite en 1 ?
5°) Sur quelle partie de IR, f est-elle continue ?
6°) Dresser le tableau de variation de f .
7°) Déterminer, l'image par f de chacun des
 1
intervalles :  ,0 ; 0,  ;1, 
 2
EXERCICE N°5 :
Dans le plan muni d’un un repère (O , i , j ) , on a représenté
la fonction f définie par : f  x   x 3  3x
1°) Justifier, graphiquement, que l’équation f  x   3 admet
une solution unique x0 dans IR et en donner un
encadrement à 103 près.
2°) Déterminer les abscisses des points d’intersection de (C)
et la droite  ': y  2
EXERCICE N°6 :
 1

On considère la fonction f définie par :  x
 2x  2

si x   , 1
si   1, 
I- 1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2°) Tracer la courbe représentative de f dans un repère (O , i , j ) .
3°) a) Justifier le continuité de la fonction f sur ; 1 et sur  1;  .
b) Vérifier, à l’aide du graphique, que la fonction f n’est pas continue sur IR.
4°) Pour chacune des équations suivantes, déterminer, à l’aide du graphique, le nombre de solutions
de l’équation : f ( x )  0 ; f ( x )  0 et f ( x )  2 .
II- 1°) Quelles sont les images par f des intervalles : I   3; 2 , J   2;1 et K  1;  .
1 
2°) Déterminer l’ensemble des antécédents par f des réels de l’intervalle  ,1 .
2 
EXERCICE N°7 :
Soit la fonction f : x
x
x ²  2x

2
x
1°) a) Déterminer l’ensemble de définition D f de
b) Montrer que f est bornée sur  4; 2
f.
b) Montrer que pour tout x  D f ;
4°) a) Calculer f(2) et f(3).
x
2
 1
2
x
2°) Montrer que f est continue sur son ensemble
de définition D f
dans [2, 3] une solution  puis déterminer une
f (x) 
3
3°) a) Étudier les variations de f sur D f .
b) En déduire que l’équation f(x) = 0 admet
valeur approchée de  à 101 près.
EXERCICE N°8 :
I- Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x )  2x 3  x  1 .
1°) Montrer que f est strictement décroissante sur IR.
2°) Quelles sont les images par f des intervalles : 1;3 ; J  2;5 ; et K  1;1 .
3°) a) Montrer que l’équation : f ( x )  0 admet une solution  dans l’intervalle 0;1 .
b) Donner une valeur approchée par défaut à 0,1 prés de .
II- Soit g la fonction définie sur IR par : g( x )  x 2  x  5 .
1°) Déterminer l’ensemble de définition de g.
2°) Etudier la continuité de g sur son ensemble de définition.
3°) a) Montrer que l’équation : g( x )  0 admet une solution  dans l’intervalle 1;2
b) Donner une valeur approchée par défaut à 0,1 prés de  .
III- On considére la fonction h définie par :

 f ( x ) si x  ; 4
h( x )  

 g( x ) si x  4; 
1°) Déterminer l’ensemble de définition de h.
2°) Etudier la continuité de h sur son ensemble de définition.
EXERCICE N°9 :
1°) f est une fonction impaire définie sur [−3,3] par :
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0,3]
{
𝑓(0) = 0
a) Compléter le traçage de Cf.
b) Etudier graphiquement la continuité de f en 0.
c) Donner un majorant et un minorant de f.
2°) On donne une fonction g paire définie par :
𝑔(𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,3].
a) Déterminer l’ensemble de définition de g noté Dg et tracer Cg sur le même repère avec une autre
couleur.
b) Etudier graphiquement les variations de g.
c) Donner l’expression de g(x) si 𝑥 ∈ [−3,0].
d) Utiliser Cg pour déterminer g([1,2]) et g(]1,3])
e) Montrer que l’équation g(x)=0 admet une seule solution 𝛼 dans [2,3] et donner un encadrement
de cette solution à 10–1 prés.
3°) On considère la fonction h définie sur IR par ℎ(𝑥 ) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 1.
a) Pour quelle valeur de x la fonction h présente un maximum ? quelle est la valeur de cette
maximum ?
b) Tracer la représentation graphique de h sur le même repère.
c) Donner un encadrement d’amplitude 1 de la solution 𝛽 de l’équation h(x)=g(x).
4°) Soit la fonction 𝑘 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 2𝑥 + 2.
a) Etudier la continuité de la fonction k sur [0,1].
b) Donner un encadrement de 𝛽 à 10-1 prés.
4