Devoir de maison

Devoir de maison
EXERCICE 01
1) Soit dans l’ensemble C l’équation (E) suivante :
(E) Z3 + 2 ( 2 - 1) Z² + 4 (1 - 2 ) Z – 8 = 0.
a) Monter que (E) admet une racine réelle Z0 = 2.
b) Résoudre alors l’équation (E). On notera Z1 la racine dont la partie
imaginaire et positive et Z2 l’autre racine.
c) Déterminer le module et un argument de Z1 et Z2.
2) Le plan complexe étant rapporté a un repère orthonormé directe.
rr
(0,u,v) , on considère les points A, B et C d’affixes respectives
2 ; - 2 + 2 i ; - 2 - 2 i et I = A* B.
a) Placer sur une figure les points A, B et C.
b) Monter que le triangle OAB est isocèle. En déduire une mesure de
r
l’angle (u,OI) .
c) Calculer l’affixe ZI du point I.
( ) ( )
d) Déduire les valeurs de cos 3p et sin 3p
8
8
EXERCICE 02 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+
x
2
.
x +1
1) Etudier les variations de f.
2) Monter que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on
précisera. Exprimer f-1 (x) pour x Î J.
3) construire les courbes (C) et (C’) représentatives de f et f-1 dans un
rr
même repère orthonormé (0, i ,J) : (unité 2 cm).
4) Soit h la fonction définie sur IR par : h (x) = f (x) – x
Montrer en utilisant les variations de h sur IR que l’équation f(x) = x
] [
admet une seule solution a dans IR et que aÎ 7 ,2 .
4
ìg(x)= 1
ï
f(tg(x)
5) Soit g la fonction définie sur - p , p par : í
.
2 2
p
1
ïg =
î 2 2
] [
()
] ]
a) Montrer que pour tout xÎ - p , p on a :
2 2
g(x)= 1 .
1+sin x
] ]
b) Montrer que g est une bijection de - p , p sur un intervalle K que l’on
2 2
précisera.
()
-1
-1
c) Déterminer g (2) et g 1 .
2
-1
d) Montrer que sinæç g (x) ö÷=1- x pour tout x ³ 1 .
2
è
ø x
Retrouver alors la valeur de g-1(2).
6) Etudier la dérivabilité de g-1 sur K et déterminer (g-1)¢ (x).
EXERCICE 03:
1-Mettre sous forme algébrique : (1+2i)2.
2-Résoudre dans £ l’équation (E) : z2 +z+(1-i) = 0.
3-Soit f(z) = z3 -z2 -(1+i)z-2+2i.
a-Montrer que l’équation f(z) = 0 admet une solution réelle z0 que l’on
déterminera.
b- déterminer les nombres complexes a,b et c tel que :
f(z) = (z-z0)(a z2 +b z+c).
c--Résoudre dans £ l’équation f(z) = 0.
4-Soit A(2), B(i) et C(-1-i).
rr
a- Placer dans un repère orthonormé (o, i, j ) les points A, B et C.
b- Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
c- Déterminer l’affixe du point D pour que ABCD soit un carré.