Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonction causale Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct I. Fonctions causales Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct I. Fonctions causales Définition Une fonction f définie sur R est dite causale si f(t) = 0 pour t < 0. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct I. Fonctions causales Définition Une fonction f définie sur R est dite causale si f(t) = 0 pour t < 0. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction échelon-unité La fonction causale la plus utilisée est la fonction échelon-unité ou fonction de Heaviside notée U définie par : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction échelon-unité La fonction causale la plus utilisée est la fonction échelon-unité ou fonction de Heaviside notée U définie par : U (t) = 0 si t < 0 U (t) = 1 si t > 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction échelon-unité La fonction causale la plus utilisée est la fonction échelon-unité ou fonction de Heaviside notée U définie par : U (t) = 0 si t < 0 U (t) = 1 si t > 0 b Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Remarque Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par f(t) = g(t)U (t) est une fonction causale. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Remarque Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par f(t) = g(t)U (t) est une fonction causale. Exemple Soit f la fonction définie par f(t) = sin t.U (t). f est une fonction causale dont voici la courbe représentative : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Remarque Si g est une fonction définie sur R alors la fonction f définie par f(t) = g(t)U (t) est une fonction causale. Exemple Soit f la fonction définie par f(t) = sin t.U (t). f est une fonction causale dont voici la courbe représentative : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe-unité La fonction rampe-unité est la fonction t 7→ tU (t). Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe-unité La fonction rampe-unité est la fonction t 7→ tU (t). Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction avancée ou retardée Soit f une fonction et a ∈ R. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction avancée ou retardée Soit f une fonction et a ∈ R. La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction avancée ou retardée Soit f une fonction et a ∈ R. La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a. La fonction t 7→ f(t − a) est dite retardée de a. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction avancée ou retardée Soit f une fonction et a ∈ R. La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a. La fonction t 7→ f(t − a) est dite retardée de a. Par exemple, la fonction échelon retardée de 3 est la fonction t 7→ U (t − 3), voici sa représentation graphique : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction avancée ou retardée Soit f une fonction et a ∈ R. La fonction t 7→ f(t + a) est dite avancée de a. La fonction t 7→ f(t − a) est dite retardée de a. Par exemple, la fonction échelon retardée de 3 est la fonction t 7→ U (t − 3), voici sa représentation graphique : b −2 −1 1 2 3 4 5 6 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction créneau Une fonction créneau est une fonction nulle partout sauf sur un intervalle sur lequel elle est constante. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction créneau Une fonction créneau est une fonction nulle partout sauf sur un intervalle sur lequel elle est constante. Par exemple, la fonction t 7→ 2[U (t − 1) − U (t − 4)] est une fonction créneau dont voici la courbe représentative : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction créneau Une fonction créneau est une fonction nulle partout sauf sur un intervalle sur lequel elle est constante. Par exemple, la fonction t 7→ 2[U (t − 1) − U (t − 4)] est une fonction créneau dont voici la courbe représentative : b b −2 −1 1 2 3 4 5 6 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[. Zx Si lim f(t)dt est un réel A, x7→+∞ a Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[. Zx Si lim f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale x7→+∞ a Z +∞ f(t)dt converge a Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[. Zx Si lim f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale x7→+∞ a Z +∞ Z +∞ f(t)dt = A. f(t)dt converge et on a a a Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[. Zx Si lim f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale x7→+∞ a Z +∞ Z +∞ f(t)dt = A. f(t)dt converge et on a a a Si une intégrale ne converge pas alors on dit qu’elle diverge. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct II. Intégrales généralisées Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur [a, +∞[. Zx Si lim f(t)dt est un réel A, alors on dit que l’intégrale x7→+∞ a Z +∞ Z +∞ f(t)dt = A. f(t)dt converge et on a a a Si une intégrale ne converge pas alors on dit qu’elle diverge. Remarque Les propriétés connues de l’intégrale restent valables pour les intégrales généralisées. Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Etudions la convergence de Z +∞ 1 1 dt. t Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Etudions la convergence de Zx 1 dt = 1 t Z +∞ 1 1 dt. t Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Etudions la convergence de Zx h ix 1 dt = ln t = 1 1 t Z +∞ 1 1 dt. t Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t 1 Zx h ix 1 dt = ln t = ln x − ln 1 = 1 1 t Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t 1 Zx h ix 1 dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x. 1 1 t Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t 1 Zx h ix 1 dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x. 1 1 t Or lim ln x = x7→+∞ Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t 1 Zx h ix 1 dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x. 1 1 t Or lim ln x = + ∞. x7→+∞ Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t 1 Zx h ix 1 dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x. 1 1 t Or lim ln x = + ∞. x7→+∞ Z +∞ 1 Donc dt diverge. t 1 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 1 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t 1 Zx h ix 1 dt = ln t = ln x − ln 1 = ln x. 1 1 t Or lim ln x = + ∞. x7→+∞ Z +∞ 1 Donc dt diverge. t 1 y= 1 x Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Etudions la convergence de Z +∞ 1 1 dt. t2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Etudions la convergence de Zx 1 dt = 2 t 1 Z +∞ 1 1 dt. t2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Etudions la convergence de Zx h 1 ix 1 = dt = − 2 t 1 1 t Z +∞ 1 1 dt. t2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t2 1 Zx h 1 ix 1 1 = − + 1. dt = − 2 1 t t x 1 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t2 1 Zx h 1 ix 1 1 = − + 1. dt = − 2 1 t t x 1 1 − +1 = Or lim x7→+∞ x Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t2 1 Zx h 1 ix 1 1 = − + 1. dt = − 2 1 t t x 1 1 − + 1 = 1. Or lim x7→+∞ x Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t2 1 Zx h 1 ix 1 1 = − + 1. dt = − 2 1 t t x 1 1 − + 1 = 1. Or lim x7→+∞ x Z +∞ 1 Donc dt converge 2 t 1 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t2 1 Zx h 1 ix 1 1 = − + 1. dt = − 2 1 t t x 1 1 − + 1 = 1. Or lim x7→+∞ x Z +∞ Z +∞ 1 1 Donc dt converge et dt = 1. 2 2 t t 1 1 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Exemple 2 Z +∞ 1 Etudions la convergence de dt. t2 1 Zx h 1 ix 1 1 = − + 1. dt = − 2 1 t t x 1 1 − + 1 = 1. Or lim x7→+∞ x Z +∞ Z +∞ 1 1 Donc dt converge et dt = 1. 2 2 t t 1 1 y= 1 x2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct III. Transformée de Laplace Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct III. Transformée de Laplace Définition La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction Lf de la variable réelle p définie par : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct III. Transformée de Laplace Définition La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction Lf de la variable réelle p définie par : Lf (p) = Z +∞ e−pt f(t)dt 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct III. Transformée de Laplace Définition La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction Lf de la variable réelle p définie par : Lf (p) = Z +∞ e−pt f(t)dt 0 Remarques La transformée de Laplace de f existe si et seulement si R +∞ e−pt f(t)dt converge. 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct III. Transformée de Laplace Définition La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction Lf de la variable réelle p définie par : Lf (p) = Z +∞ e−pt f(t)dt 0 Remarques La transformée de Laplace de f existe si et seulement si R +∞ e−pt f(t)dt converge. 0 On note parfois F(p) ou L [f(t)](p) au lieu de Lf (p). Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p Démonstration : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p Démonstration : Zx U (t)e−pt dt = 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx e−pt dt = 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx 0 e−pt dt = − 1 −pt e p = 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx 0 e−pt dt = − 1 −pt e p 0 = 1 (−e−px + 1). p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx 0 e−pt dt = − 1 −pt e p 0 = 1 (−e−px + 1). p Or p étant strictement positif : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx 0 e−pt dt = − 1 −pt e p Or p étant strictement positif : lim x7→+∞ 0 = 1 (−e−px + 1). p 1 (−e−px + 1) = p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx 0 e−pt dt = − 1 −pt e p Or p étant strictement positif : lim x7→+∞ 0 = 1 (−e−px + 1). p 1 1 (−e−px + 1) = . p p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx U (t)e−pt dt = 0 Zx 0 e−pt dt = − 1 −pt e p Or p étant strictement positif : lim x7→+∞ 0 = 1 (−e−px + 1). p 1 1 (−e−px + 1) = . p p On a donc Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx e−pt dt = 0 − 1 −pt e p Or p étant strictement positif : lim x7→+∞ 0 = 1 (−e−px + 1). p 1 1 (−e−px + 1) = . p p On a donc L [U (t)](p) = Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx e−pt dt = 0 − 1 −pt e p Or p étant strictement positif : lim x7→+∞ On a donc L [U (t)](p) = Z +∞ = 0 1 (−e−px + 1). p 1 1 (−e−px + 1) = . p p e−pt U (t)dt = 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct IV. Transformée de Laplace des fonctions usuelles Fonction de Heaviside La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a : L [U (t)](p) = 1 p " #x Démonstration : Zx 0 U (t)e−pt dt = Zx e−pt dt = 0 − 1 −pt e p Or p étant strictement positif : lim x7→+∞ On a donc L [U (t)](p) = Z +∞ 0 0 = 1 (−e−px + 1). p 1 1 (−e−px + 1) = . p p 1 e−pt U (t)dt = . p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p Démonstration : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Il s’agit de calculer 0 e−pt tU (t)dt soit Zx te−pt dt. 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer 0 e−pt tU (t)dt soit : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx 0 te−pt dt = " − 1 −pt te p #x 0 + Zx : 1 −pt e dt 0 p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = : #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 0 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = Or lim x7→+∞ : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p − xe−px = p Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = Or lim x7→+∞ : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p − xe−px − e−px = = lim x7→+∞ p p2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = Or lim x7→+∞ : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p − xe−px − e−px = 0. = lim x7→+∞ p p2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = Or lim x7→+∞ : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p − xe−px − e−px = 0. = lim x7→+∞ p p2 On a donc L [tU (t)](p) = Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p − xe−px − e−px = 0. = lim x7→+∞ p p2 R +∞ −pt On a donc L [tU (t)](p) = 0 te U (t)dt = Or lim x7→+∞ Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction rampe La transformée de Laplace de la fonction rampe est définie pour p > 0 et on a : 1 L [tU (t)](p) = 2 p DémonstrationZ : x Zx te−pt dt. 0 u(t) = t et donc u ′ (t) = 1 On effectue une intégration par parties avec 1 e−pt v ′ (t) = e−pt et donc v(t) = − p Il s’agit de calculer e−pt tU (t)dt soit 0 Zx te−pt dt = 0 = #x Z x 1 1 −pt + te e−pt dt p 0 p 0 #x " #x " 1 − e−pt − e−pt + t p p p " − 0 = : 0 − e−px − xe−px 1 + + 2 p p2 p − xe−px − e−px = 0. = lim x7→+∞ p p2 R +∞ −pt 1 On a donc L [tU (t)](p) = 0 te U (t)dt = 2 . p Or lim x7→+∞ Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction t 7→ tn U (t) La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N est définie pour p > 0 et on a : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction t 7→ tn U (t) La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N est définie pour p > 0 et on a : L [tn U (t)](p) = n! pn+1 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction t 7→ tn U (t) La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N est définie pour p > 0 et on a : L [tn U (t)](p) = n! pn+1 Fonction t 7→ e−at U (t) La transformée de Laplace de la fonction t 7→ e−at U (t) est définie pour p > a et on a : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction t 7→ tn U (t) La transformée de Laplace de la fonction t 7→ tn U (t) pour n ∈ N est définie pour p > 0 et on a : L [tn U (t)](p) = n! pn+1 Fonction t 7→ e−at U (t) La transformée de Laplace de la fonction t 7→ e−at U (t) est définie pour p > a et on a : L [e−at U (t)](p) = 1 p+a Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction sinus Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction sinus Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a : L [sin(ωt)U (t)](p) = ω p2 + ω2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction sinus Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a : L [sin(ωt)U (t)](p) = ω p2 + ω2 Fonction cosinus Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction t 7→ cos(ωt)U (t) existe et on a : Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct Fonction sinus Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction t 7→ sin(ωt)U (t) existe et on a : L [sin(ωt)U (t)](p) = ω p2 + ω2 Fonction cosinus Soit ω ∈ R, la transformée de Laplace de la fonction t 7→ cos(ωt)U (t) existe et on a : L [cos(ωt)U (t)](p) = p2 p + ω2 Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace d’une fonct
