FONCTIONS USUELLES
1
FONCTIONS USUELLES
Leçon 1:
FONCTIONS LOGARITHMES,
EXPONENTIELLES ET PUISSANCES
2
FONCTIONS USUELLES
I) Logarithme népérien
1) Définition
Définition
]0, +∞[ → ]0, +∞[
est continue sur
1
x 7→
.
x
l’intervalle ]0, +∞[. Elle admet donc des primitives sur
]0, +∞[.
On appelle fonction logarithme népérien l’unique primitive de f
sur ]0, +∞[ qui s’annule en x = 1. Cette fonction est notée ln.
La fonction f :
Remarque
ln(1) = 0.
3
FONCTIONS USUELLES
2) Propriétés
Théorème :(Premières propriétés)
La fonction ln est continue sur R∗+ ;
La fonction ln est dérivable sur R∗+ et ∀x ∈ R∗+ ,
1
ln0 (x ) = ;
x
La fonction ln est de classe C ∞ sur R∗+ ;
La fonction ln est concave R∗+
Corollaire
Soient I est un intervalle de R et u : I → R∗+ une fonction
dérivable. La fonction x 7→ ln(u(x )) est derivable sur I et,
pour tout x ∈ I
u 0 (x )
(ln ◦u)0 (x ) =
.
u(x )
4
FONCTIONS USUELLES
Proposition :(Propriétés algébriques)
Pour tout x , y ∈ R∗+ et n ∈ Z,
1
ln(xy ) = ln(x ) + ln(y )
1
2
ln( ) = − ln(x )
x
x
3
ln( ) = ln(x ) − ln(y )
y
4
ln(x n ) = n ln(x )
Proposition
[Inégalité de convexité] ∀x ∈] − 1, +∞[, ln(1 + x ) ≤ x .
5
FONCTIONS USUELLES
Limites
Proposition
1
lim ln(x ) = +∞;
x →+∞
2
lim ln(x ) = −∞;
x →0
x >0
3
4
ln(x )
= 0;
x →+∞ x
lim x ln(x ) = 0;
lim
x →0
x >0
5
6
ln(x )
= 1;
x →1 x − 1
ln(x + 1)
lim
= 1.
x →0
x
lim
6
FONCTIONS USUELLES
Définition (Nombre de Néper)
On appelle nombre de Néper l’unique réel e vérifiant ln(e) = 1.
Remarque
L’existence du nombre de Néper est une conséquence du
théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité est une
conséquence directe continuité et de la stricte monotonie de ln.
Remarque
La tangente en (e, 1) passe par l’origine du repère.
7
FONCTIONS USUELLES
Tableau de variations et courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme
népérien :
8
FONCTIONS USUELLES
9
FONCTIONS USUELLES
Logarithme de base quelconque
Définition (Logarithme de base a)
Soit a un réel strictement positif et différent de 1 :
a ∈ R∗+ \{1}. On appelle logarithme de base a l’application
notée loga définie par
R∗+ → R
loga :
7→
x
ln(x ) .
ln(a)
Remarque
Si a = 10, on obtient le logarithme décimal qu’on note
log;
Si a = e, loga = ln;
loga (1) = 0 et loga (a) = 1.
10
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Soient a ∈ R∗+ \{1}, x , y ∈ R∗+ et n ∈ Z.
1
loga (xy ) = loga (x ) + loga (y )
1
2
loga ( ) = − loga (x )
x
x
3
loga ( ) = loga (x ) − loga (y )
y
4
loga (x n ) = n loga (x )
11
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Pour tout a ∈ R∗+ \{1}, la fonction loga est de classe C 1 sur
R∗+ et
1
.
∀x ∈ R∗+ ,
log0a (x ) =
x ln(a)
Si a ∈]1; +∞[, loga est strictement croissante et concave;
Si a ∈]0; 1[, loga est strictement décroissante et convexe.
12
FONCTIONS USUELLES
II) Exponentielle népérienne
1) Définition - propriétés
Proposition
La fonction ln définie une bijection de R∗+ sur son image R.
L’application réciproque est appelée fonction exponentielle
népérienne et est notée exp.
exp :
∀x ∈ R∗+ ,
R → R∗+
.
y 7→ exp(y )
exp(ln(x )) = x
et
∀y ∈ R,
ln(exp(y )) = y .
La fonction exp
est strictement croissante et strictement positive;
est continue R;
13
FONCTIONS USUELLES
est dérivable sur R et ∀x ∈ R, exp0 (x ) = exp(x );
est de classe C 1 sur R.
Remarque
exp(0) = 1 et exp(1) = e.
Proposition :(Propriétés algébriques)
Pour tout x , y ∈ R et n ∈ Z
1
exp(x + y ) = exp(x ) exp(y );
1
2
exp(−x ) =
;
exp(x )
exp(x )
3
exp(x − y ) =
;
exp(y )
4
exp(nx ) = (exp(x ))n .
14
FONCTIONS USUELLES
Notation
D’après la formule 4, exp(n) = exp(1.n) = (exp(1))n = e n , on
conviendra de noter pour tout x ∈ R, e x = exp(x ).
Proposition
∀x ∈ R, exp(x ) ≥ 1 + x .
15
FONCTIONS USUELLES
2) Limites
Proposition
1
lim exp(x ) = +∞;
x →+∞
2
lim exp(x ) = 0;
x →−∞
3
exp(x )
= +∞;
x
lim x exp(x ) = 0;
lim
x →+∞
4
x →−∞
5
exp(x ) − 1
= 1.
x →0
x
lim
16
FONCTIONS USUELLES
3) Tableau de variations et courbe représentative
17
FONCTIONS USUELLES
III) Exponentielle de base a
1) Définition - propriétés
Définition
Soit a un nombre réel strictement positif. On appelle fonction
exponentielle de base a la fonction notée expa définie par
expa :
R → R∗+
.
x
7→
ax
où ax = e x ln(a) .
18
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Soit a ∈ R∗+ \{1}. La fonction loga définie une bijection de R∗+
sur R. La fonction expa définie de R dans R∗+ est la bijection
réciproque de loga .
De plus, expa est C ∞ sur R et
∀x ∈ R,
exp0a (x ) = ln(a) expa (x ).
19
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Pour tout a, b ∈ R∗+ \{1}, x , y ∈ R et n ∈ Z:
1
expa (0) = 1 et expa (1) = a
2
expa (x + y ) = expa (x ) expa (y )
expa (x )
3
expa (x − y ) =
expa (y )
4
expa (nx ) = (expa (x ))n
5
expa (x ) expb (x ) = expab (x )
expa (x )
6
= exp a (x )
expb (x )
b
20
FONCTIONS USUELLES
Remarque
On retrouve la notation précédente exp(x ) = e x .
Remarquons aussi que 1x = exp(x ln 1) = 1.
21
FONCTIONS USUELLES
La propriété précédente peut être donnée sous la forme
Proposition
Pour tout a, b ∈ R∗+ \{1}, x , y ∈ R et n ∈ Z:
1
a0 = 1 et a1 = a
2
ax +y = ax ay
ax
3
ax −y = y
a
4
anx = (ax )n
5
ax b x = (ab)x
ax
a
6
= ( )x .
x
b
b
22
FONCTIONS USUELLES
2) Limites
Proposition
Si a > 1 alors :
lim ax = +∞
x →+∞
Si 0 < a < 1 alors :
lim ax = 0
x →+∞
et
lim ax = +∞.
et
x →−∞
23
FONCTIONS USUELLES
lim ax = 0;
x →−∞
3) Tableau de variations et courbe représentative
24
FONCTIONS USUELLES
IV) Fonctions puissances
1) Définition - propriétés
Définition
Soit a ∈ R On appelle fonction puissance d’exposant a la
fonction définie sur R∗+ par
ϕa :
R∗+ → R
.
x 7→ x a = exp(a ln(x ))
Remarque
ϕ0 est la fonction constante égale à 1.
ϕ1 = Id.
25
FONCTIONS USUELLES
Proposition :(Propriétés algébriques des fonctions puissances)
Pour tout a, b ∈ R, x , y ∈ R∗+
1
x a+b = x a x b
1
2
x −a = a
x
3
(xy )a = x a y a
4
(x a )b = x ab
5
x 0 = 1 et 1a = 1
6
ln(x a ) = a ln(x ).
26
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Soit a ∈ R. La fonction ϕa :
1
2
3
4
R∗+ → R
est
x 7→ x a = exp(a ln(x ))
continue sur R∗+
dérivable sur R∗+ et ∀x ∈ R∗+ , ϕ0a (x ) = ax a−1 .
de classe C ∞ sur R∗+ .
si a > 0, ϕa est croissante, ϕa (x ) −→+ 0 et
x →0
ϕa (x ) −→ +∞.
x →+∞
27
FONCTIONS USUELLES
5
6
Si a = 0, ϕa : x 7→ x 0 = 1 est constante.
Si a < 0, ϕa est décroissante, a(x ) −→+ +∞ et
x →0
ϕa (x ) −→ 0.
x →+∞
7
Si a > 1 ou si a < 0, ϕa est convexe et si 0 < a < 1, ϕa
est concave.
28
FONCTIONS USUELLES
Remarque
Si a > 0, on peut prolonger ϕa par continuité en 0 en
posant ϕa (0) = 0.
Si a > 1, ϕa est même dérivable en 0 : ϕ0a (0) = 0.
Si 0 < a < 1, ϕ0a (x ) −→ +∞ et le graphe de ϕa possède
x →0
une tangente verticale à l’origine.
29
FONCTIONS USUELLES
Remarque
Pour dériver une fonction de la forme w (x ) = u(x )v (x ) ( là où
elle est définie et dérivable...), il faut au préalable la mettre
sous la forme w (x ) = exp(v (x ) ln(u(x ))) puis utiliser la
formule de dérivation des fonctions composées. A titre
d’exercice, on montrera que :
u 0 (x )
w (x ) = w (x ) v (x ) ln(u(x )) + v (x )
.
u(x )
!
0
0
30
FONCTIONS USUELLES
2) Courbe représentative
31
FONCTIONS USUELLES
4) Comparaison des fonctions logarithmes,
puissances et exponentielles
Proposition :(Croissance comparée)
Pour tout α, β > 0, pour tout γ ∈ R
xα
1
= +∞
lim
x →+∞ (ln(x ))β
e αx
2
= +∞
lim
x →+∞ x γ
3
lim+ x α | ln(x )|β = 0
x →0
4
lim |x |γ e αx = 0
x →−∞
32
FONCTIONS USUELLES
Leçon 2:
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
ET HYPERBOLIQUES
33
FONCTIONS USUELLES
I) Fonctions circulaires directes
Proposition;(Rappels et formulaire de trigonométrie
circulaire)
On a :
1
∀x ∈ R, cos2 (x ) + sin2 (x ) = 1;
π
sin(x )
2
∀x ∈ R \ ( + πZ), tan(x ) =
;
2
cos(x )
cos(x )
3
∀x ∈ R \ (πZ), cotan(x ) =
;
sin(x )
4
les fonctions cos, sin, tan et cotan sont de classe C ∞ sur
leur ensemble de définition.;
π
1
5
∀x ∈ R \ ( + πZ), tan0 (x ) = 1 + tan2 (x ) =
;
2
cos2 (x )
34
FONCTIONS USUELLES
6
∀x ∈ R \ (πZ), cotan0 (x ) = −1 − cotan2 (x ) = −
7
pour tout (a; b) ∈ R2 ,
cos(a + b)
cos(a − b)
sin(a + b)
sin(a − b)
8
=
=
=
=
1
;
sin (x )
cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b);
cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b);
sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a);
sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a).
lorsque ces expressions ont un sens :
tan(a) + tan(b)
1 − tan(a) tan(b)
tan(a) − tan(b)
tan(a − b) =
1 + tan(a) tan(b)
tan(a + b) =
35
FONCTIONS USUELLES
2
Tableau récapitulatif
36
FONCTIONS USUELLES
Tableau récapitulatif
37
FONCTIONS USUELLES
II) Fonctions circulaires réciproques
1) Fonction arcsin
π π
L’application sin : [− ; ] → [−1; 1] est continue, strictement
2 2
croissante. C’est donc une bijection continue strictement
π π
croissante de [− ; ] dans [−1; 1]. La fonction sin admet
2 2
donc une fonction réciproque, notée
π π
arcsin : [−1; 1] → [− ; ]. On a ainsi
2 2
π π
∀(x , y ) ∈ [−1; 1] × [− ; ],
2 2
y = arcsin(x ) ⇔ sin(y ) = x .
arcsin est impaire.
38
FONCTIONS USUELLES
π π
De plus, comme sin est dérivable sur ] − ; [ et que
2 2
π π
0
∀x ∈] − ; [, sin (x ) = cos(x ) > 0, arcsin est dérivable et
2 2
arcsin0 (x ) =
1
1
1
=
=√
.
sin (arcsin(x ))
cos(arcsin(x ))
1 − x2
0
Il en résulte que arcsin est de classe C ∞ sur ] −
39
FONCTIONS USUELLES
π π
; [.
2 2
Exemple
arcsin(0) = 0
arcsin(1/2) =
√
3
π
)=
arcsin(
2
3
40
π
6
1
π
arcsin( √ ) =
4
2
arcsin(1) =
π
.
2
FONCTIONS USUELLES
2) Fonction arccos
L’application cos : [0; π] → [−1; 1] est continue, strictement
décroissante. C’est donc une bijection continue strictement
décroissante de [0; π]dans[−1; 1]. La fonction cos admet donc
une fonction réciproque, notée arccos : [−1; 1] → [0; π]. On a
ainsi
∀(x , y ) ∈ [−1; 1] × [0; π],
= arccos(x ) ⇔ cos(y ) = x .
arccos n’est ni paire ni impaire. De plus, comme cos est
dérivable sur ]0; π[ et que ∀x ∈]0; π[, cos0 (x ) = − sin(x ) < 0,
arccos est dérivable et
arccos0 (x ) =
1
cos0 (arccos(x ))
=
1
−1
=√
.
− sin(arccos(x ))
1 − x2
Il en résulte que arccos est de classe C ∞ sur ]0; π[.
41
FONCTIONS USUELLES
3) Fonction arctan
π π
L’application tan :] − ; [→ R est continue, strictement
2 2
croissante,
lim tan(x ) = −∞
π
x →−
2
et
lim tan(x ) = +∞.
π
x →+
2
C’est donc une bijection continue strictement croissante de
π π
] − ; [ dans R. La fonction tan admet donc une fonction
2 2
π π
réciproque, notée arctan : R →] − ; [. On a ainsi
2 2
∀(x , y ) ∈ R×] −
π π
; [,
2 2
y = arctan(x ) ⇔ tan(y ) = x .
arctan est impaire.
42
FONCTIONS USUELLES
π π
De plus, comme tan est dérivable sur ] − ; [ et que
2 2
π π
0
2
∀x ∈] − ; [, tan (x ) = 1 + tan (x ) > 0, arctan est dérivable
2 2
π π
et ∀x ∈] − ; [,
2 2
arctan0 (x ) =
1
tan0 (arctan(x ))
=
1
.
1 + x2
Il en résulte que arctan est de classe C ∞ sur R.
43
FONCTIONS USUELLES
Proposition
On a la formule suivante :
∀x ∈ R∗ ,
arctan(x ) + arctan(1/x ) =
44
π
signe(x ).
2
FONCTIONS USUELLES
45
FONCTIONS USUELLES
III) Fonctions hyperboliques directes
Définition
On appelle:
1) sinus hyperbolique l’application sinh : R → R
définie par
e x − e −x
sinh x =
.
2
2) cosinus hyperbolique l’application cosh : R → R
définie par
e x + e −x
cosh x =
.
2
46
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Les fonctions cosh et sinh sont de classe C ∞ sur R De plus :
1) ∀x ∈ R,, sinh0 (x ) = cosh(x ) et
cosh0 (x ) = sinh(x );
2) La fonction sinh est impaire, strictement
croissante sur R, strictement négative sur R∗− et
strictement positive sur R∗+ et s’annule en 0.
3) La fonction cosh est paire, strictement positive
sur R, strictement décroissante sur R∗− et
strictement croissante sur R∗+ ;
4) ∀x ∈ R, cosh(x ) ≥ 1.
47
FONCTIONS USUELLES
Proposition
On a :
∀x ∈ R,
cosh(x )+sinh(x ) = e x ,
∀x ∈ R,
et
cosh(x )−sinh(x ) = e −x ,
cosh2 (x ) − sinh2 (x ) = 1.
Remarque
Si l’on considère l’hyperbole (H) d’équation x 2 − y 2 = 1, la
proposition précédente montre(qu’elle admet une
x (t) = ε cosh(t)
représentation paramétrique :
avec
y (t) = sinh(t)
ε = ±1 selon que l’on veuille paramétrer la branche "haute"
ou la branche "basse".
48
FONCTIONS USUELLES
Définition
On appelle :
1) tangente hyperbolique l’application tanh : R → R
définie par
tanh x =
sinh(x )
e 2x − 1
e x − e −x
=
= x
.
cosh(x )
e + e −x
e 2x + 1
2) cotangente hyperbolique l’application
coth : R∗ → R définie par
coth x =
e x + e −x
e 2x + 1
cosh(x )
= x
=
.
sinh(x )
e − e −x
e 2x − 1
49
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Les fonctions tanh et coth sont de classe C ∞ sur R et R∗
respectivement. De plus :
1
1
∀x ∈ R, tanh0 (x ) =
= 1 − tanh2 (x ) et
2
cosh (x )
1
0
= 1 − coth2 (x ),
∀x ∈ R∗ , coth (x ) = −
2
sinh (x )
2
tanh et coth sont impaires.
50
FONCTIONS USUELLES
Proposition
Pour tout a, b ∈ R, on a :
1
cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b)
2
cosh(a − b) = cosh(a) cosh(b) − sinh(a) sinh(b)
3
sinh(a + b) = cosh(a) sinh(b) + cosh(b) sinh(a)
4
sinh(a − b) = − cosh(a) sinh(b) + cosh(b) sinh(a)
tanh(a) + tanh(b)
5
tanh(a + b) =
1 + tanh(a) tanh(b)
tanh(a) − tanh(b)
6
tanh(a − b) =
1 − tanh(a) tanh(b)
51
FONCTIONS USUELLES
Tableaux de variations et courbes représentatives
52
FONCTIONS USUELLES
53
FONCTIONS USUELLES
IV) Fonctions hyperboliques réciproques
1) Fonction argsh
L’application sinh : R → R est continue, strictement
croissante et lim sinh(x ) = −∞ et lim sinh(x ) = ∞.
n→+∞
n→−∞
C’est donc une bijection continue strictement croissante de R
dans R. La fonction sinh admet donc une fonction réciproque,
notée argsh : R → R. On a ainsi
∀(x , y ) ∈ R2 ,
y = argsh(x ) ⇔ sinh(y ) = x .
argsh est impaire. De plus, comme sinh est dérivable sur R et
que ∀x ∈ R, sinh0 (x ) = cosh(x ) ≥ 1,
54
FONCTIONS USUELLES
argsh est dérivable et ∀x ∈ R,
argsh0 (x ) =
1
1
1
=
=√
.
sinh (argsh(x ))
cosh(argsh(x ))
1 + x2
0
Il en résulte que argsh est de classe C ∞ sur R.
Proposition;(expression logarithmique de argsh)
On a :
∀x ∈ R,
argsh(x ) = ln(x +
55
√
1 + x 2 ).
FONCTIONS USUELLES
2) Fonction argch
L’application cosh : [0; +∞[→ [1; +∞[ est continue,
strictement croissante et lim cosh(x ) = +∞. C’est donc
n→+∞
une bijection continue strictement croissante de [0; +∞[ dans
[1; +∞[. La fonction cosh admet donc une fonction
réciproque, notée argch : [1; +∞[→ [0; +∞[. On a ainsi
∀(x , y ) ∈ [1; +∞[×[0; +∞[,
y = argch(x ) ⇔ cosh(y ) = x .
De plus, comme cosh est dérivable sur [0; +∞[ et que
∀x ∈]0; +∞[, cosh0 (x ) = sinh(x ) > 0,
56
FONCTIONS USUELLES
argch est dérivable et ∀x ∈ [1; +∞[,
argch0 (x ) =
1
1
1
=
=√ 2
.
cosh (argch(x ))
sinh(argch(x ))
x −1
0
Il en résulte que argch est de classe C ∞ sur ]1; +∞[.
Proposition:(expression logarithmique de argch)
On a :
∀x ∈]1; +∞[,
argsh(x ) = ln(x +
57
√
x 2 − 1).
FONCTIONS USUELLES
3) Fonction argth
L’application tanh : R →] − 1; 1[ est continue, strictement
croissante, lim tanh(x ) = −1 et lim tanh(x ) = 1. C’est
n→+∞
n→−∞
donc une bijection continue strictement croissante de R
dans] − 1; 1[. La fonction tanh admet donc une fonction
réciproque, notée argth :] − 1; 1[→ R. On a ainsi
∀(x , y ) ∈ R × R,
y = argth(x ) ⇔ tanh(y ) = x .
argth est impaire. De plus, comme tanh est dérivable sur R et
que ∀x ∈ R, tanh0 (x ) = 1 − tanh2 (x ) > 0,
58
FONCTIONS USUELLES
argth est dérivable et
∀x ∈] − 1; 1[,
argth0 (x ) =
1
1
.
=
tanh (argth(x ))
1 − x2
0
Il en résulte que argth est de classe C ∞ sur R.
Proposition:(expression logarithmique de argth)
On a :
∀x ∈] − 1; 1[,
argth(x ) =
59
1 1+x
ln
.
2 1−x
FONCTIONS USUELLES
