BOULE DE PÉTANQUE et BALLE DE TENNIS

BOULE DE PÉTANQUE et BALLE DE TENNIS
« L'expérience du tube de Newton est la plus belle expérience qu'un professeur de lycée peut
montrer à ses élèves »
Phrase attribuée à Einstein, créateur de la
théorie de la relativité générale.
On étudie l'influence des forces de frottement visqueux due à l'air, proportionnelle au carré de
la vitesse, sur le mouvement de chute verticale d'un solide.
On compare les résultats obtenus avec une boule de pétanque et une balle de tennis.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à une boule de masse m, placée dans le
champ de pesanteur terrestre g, et soumise à la force de frottement –  v 2, s'écrit :
dv
m
= m*.g –  v 2
dt
v : vitesse du centre de masse
m* : masse grave (grandeur caractérisant la capacité qu'a un corps d'être attiré par un autre,
ici la Terre). La masse grave peut être choisie identique à la masse inerte m qui
caractérise la capacité d'un corps à résister à une modification de son mouvement, la
propriété d'inertie de la matière.
 : coefficient proportionnel à la masse volumique  du milieu, à l'aire S de la surface
S
perpendiculaire à la direction du mouvement et du facteur Cx. :  = Cx..
2
Par projection sur l'axe vertical descendant, on peut écrire :
dv
dv  v 2 

= g – v2
soit
g 1  
dt
m
dt  v l2 
avec vl 
2mg
Cx  S
L'équation n'étant pas linéaire, on l'intègre en la mettant sous la forme :
dv
dv
dv
dv
2g

 g dt
soit :


dt
v
v
v
 v
 v
l
1
1
2 1  2 1 
v
vl
v
v
l
l 
l 


v

1  
vl  2 g t
Il vient :
ln 


v 
vl
1  
vl 

puisque initialement, v = 0, on obtient :
v
1
2g t
g t
vl
 soit :
 exp 
v  vl tanh  
v
 vl 
 vl 
1
vl
vl a la signification d'une vitesse limite. Lorsque X tend vers l'infini, tanh(X) tend vers 1.
On retrouve le cas de la chute libre sans frottement en faisant vl infini :
gt
v  vl
=gt
vl
Dans le cas d'un objet sphérique, le nombre de Reynolds prend de grande valeur, de l'ordre de
10 000, ce qui permet d'adopter une valeur de Cx de 0,44 couramment admise dans ce cas.
[P.REBUFFET : «Aérodynamique expérimentale» - tome 1, DUNOD, 1969, p.295]
Boule de pétanque : m1 = 700 g, D1 = 7,6 cm d'où vl,1 = 72,75 m.s – 1
Balle de tennis : m2 = 58 g, D2 = 6,7 cm d'où vl,2 = 23,75 m.s – 1
Déterminons la distance parcourue :
2
gt
 vl tanh g t dt = vl  tanh w dw
x=
v
dt
=
en posant :
w=



vl
g
vl

vl2
vl2
gt
en intégrant :
x=
ln cosh w + Cte
soit :
x=
ln cosh
g
g
vl
puisque x = 0 lorsque w = 0, on retrouve le cas de la chute libre sans frottement en
vl2
g2 t2 
g t2
faisant vl infini : x 
ln 1 +
2 
g
2 vl 
2

Boule de pétanque et boule de tennis
La boule de pétanque atteint le sol la première au bout de la durée 1 telle que :
vl21
vl1
g h1
g 1
g 1
h1 =
ln cosh 
arg cosh  2 
avec : v1 = Vl1 tanh 
 soit : 1 =

g
v
g
v
 l 1
 l1 
 vl1 
La balle de tennis atteint le sol au bout d'une durée plus grande 2, telle que :
vl2
g h1
g 2
2 =
arg cosh  2 
avec la vitesse :
v2 = vl2 tanh 

g
v
 l 2
 vl2 
Représentation
Différence des durées de chute  = 2 – 1 en fonction de la hauteur de chute h1
Vitesses finales de chute en fonction de h1
L'écart h = h1 – h2 qui sépare les deux boules, lorsque la plus lourde touche le sol, en
fonction de h1